Математика : Контрольная работа: Модификация модели М. Калецкого
Контрольная работа: Модификация модели М. Калецкого
Содержание
Введение……………………………………………………….............…………..2
1. Модификация
модели М. Калецкого, описывающей динамику капитала....5
2. Пример
1………………………………………………………………….........10
3. Пример
2………………………………………………………………….........12
Выводы……………………………………………………………………...........15
Перечень
ссылок………………………………………………………................16
Введение
В работе приведена модель динамики капитала, предложенная
выдающимся польским ученым Михаилом Калецким. Эта модель модифицирована с
учетом распределенных опозданий во время реализации инвестиций. Получено интегро-дифференциальное
уравнение для описания динамики капитала, выполнен экономико - математичний
анализ выявленных циклических изменений в нагромождении капитала и инвестиций.
Мировой финансово-экономический кризис вызвал
необходимость в разработке новых экономических концепций и развитии уже
признанных трактовок особенностей современного капитализма. Отечественная наука
призвана активно включиться в эту работу также ввиду низкой эффективности
рыночных преобразований, реализованных на основе монетаризма, в абсолютной
уверенности, что англосакский путь экономической эволюции есть неоспоримый
эталон. Как известно, выполняя рекомендации западных институтов, наши
реформаторы существенно ослабили роль государства в экономике. Предполагалось,
что стремительно появившийся вследствие всеобъемлющей приватизации класс
предпринимателей немедленно возьмет на себя заботу о народном благе и
осуществит долгожданное "национальное экономическое чудо". Как
известно, ожидания не оправдались. Вполне очевидны различия в практических
установках "новых украинцев" и западных предпринимателей: ведь
мировоззрение последних сформировалось на базе прочных либеральных
демократических традиций и глубокого понимания социальной ответственности
бизнеса перед обществом. Сегодня как никогда остро Украина нуждается в
эффективной государственной политике, ориентированной на устойчивый
экономический рост, который обеспечит достижение европейских стандартов
качества жизни граждан. В этом убеждают как рецессионные явления в хозяйстве,
так и возможные новые угрозы во многих сферах хозяйствования. Такая политика
должна опираться на точный прогноз направлений поступательного развития,
исходящий из научных исследований динамики капитала.
Тезис о неразрывной связи политики и экономики не
нуждается в доказательствах. Для принятия обоснованных долгосрочных
политических решений по управлению государством следует использовать уже
апробированные инвестиционные теории. В этой связи, по нашему мнению,
заслуживают самого пристального внимания теоретические идеи и экономико-математические
модели выдающегося польского ученого Михаила Калецкого (1899—1970). Если
принять во внимание, что Дж Кейнс и М. Калецкий, оттолкнувшись от диаметрально
противоположных точек зрения, в анализе реальных экономических процессов пришли
к весьма близким выводам, то есть основания говорить о приложимости этих
концепций, соответствующим образом модифицированных, к отечественным условиям.
Попутно заметим, что, по мнению Дж Робинсон, М. Калецкий даже лучше, чем Дж
Кейнс, изучил такие аспекты, как несовершенная конкуренция и эффективный спрос.
Идеи М. Калецкого можно с успехом использовать для
разработки стратегии развития государства, направленной на достижение
максимальной занятости трудоспособного населения путем выбора самого
рационального варианта инвестиционных программ и планов, нацеленных на
сбалансированный рост валового продукта и благосостояния.
Многие специалисты вполне заслуженно считают М. Калецкого
одним из главных создателей теории, которая получила имя Дж Кейнса. В традициях
классиков политэкономии польский ученый развил марксистские начала в
экономических реалиях середины XX ст. и фактически предвосхитил главные идеи
кейнсианства. В академических кругах Запада, особенно в Англии, его наследие
получило широкое признание. В Советском Союзе труды М. Калецкого были известны
меньше (правда, в год смерти ученого вышла его книга о теории роста
социалистической экономики). В современных российских и украинских учебниках по
экономической теории его имя упоминается крайне редко. Исключением являются уже
названное учебное пособие и две статьи, где содержится полное жизнеописание М.
Калецкого и дана надлежащая оценка его научным достижениям, а между тем
библиография ученого насчитывает свыше 550 публикаций.
Цель настоящей работы - раскрыть определяющую роль инвестиций
в накоплении капитала. Для этого подробно рассмотрен первоначальный вариант
разработанной М. Калецким динамической модели, представленный в книге Р.
Аллена.
1. Модификация модели М. Калецкого, описывающей динамику
капитала
Следуя Р. Аллену и сохраняя его терминологию, мы приняли
допущение о том, что условием действия модели служит известное разложение величины
объема выпуска продукции через "доход" Y на потребление С, накопление
I и независимые расходы G.
Y=C + I + G, (1)
где С=cY(c — предельная склонность к потреблению) и G -
заданные величины. Доход определяется взаимодействием капиталовложений и статистического
мультипликатора без запаздываний, то есть планируемые затраты полностью
совпадают во времени с реальными инвестициями:
 (2)
Величина I(t) есть не что иное, как фактические чистые
затраты на капиталовложения; как правило, она имеет денежное выражение.
Ключевой переменной с позиции капиталовложений является
величина B(t), определяющая программу инвестирования в момент времени t. М.
Калецкий высказывает предположение, что в соответствии с решениями об
инвестировании (по существу, с формированием портфеля заказов на капитальное
оборудование) через планируемый интервал времени Q реализуются поставки и
производятся финансовые расчеты в течение периода производства и ввода в
эксплуатацию необходимого оборудования.
Обозначим через K(t) величину основного капитала в момент
времени t и допустим, что скорость поставок нового оборудования является
производной по времени величины капитала, то есть составит dK/dt. Тезис о том,
что капиталовложения запаздывают, приводит к следующим уравнениям связи:
I(t) =  (3)
 (4)
Уравнения (3) и (4) отражают важную идею М. Калецкого о
существенных различиях между плановыми инвестиционными проектами B(t) и
фактически реализованными инвестициями I(t). Заметим, что в уравнениях (3) и
(4) присутствует величина единственного фиксированного значения временного
запаздывания Q, и это, на наш взгляд, весьма упрощает механизмы планирования и
реализации инвестиционных программ.
Мы предлагаем, в отличие от М. Калецкого, рассмотреть
взаимосвязи между капиталом K, решениями об инвестициях В и фактическими капиталовложениями
I с использованием распределенных запаздываний. Формулы (3) и (4) получат
следующий вид:
I(t) =  (5)
K(t) = K0+ (6)
где К0- значение величины капитала в момент времени t=0; φ(t,
τ) - ядро интегрального преобразования (5), имеющее смысл
"экономической памяти" о всех прошлых значениях планируемых
инвестиций на интервале времени τ  [1, t]; ψ(t,τ) -
ядро интегрального преобразования (6), интерпретируемое как реакция капитала на
мгновенный скачок реальных инвестиций.
Часто в экономической теории, пренебрегая амортизацией
капитала, полагают ψ(t, τ)=1. В таком случае уравнение (6)
равносильно с начальным условием K(t = 0) = К0 дифференциальному уравнению
 (7)
Далее рассматриваются предпосылки, на основании которых
формируется структура плановых инвестиций B(t). Здесь мы солидарны с М. Калецким
и Р. Алленом и утверждаем, что
B=aS-βK+ε, (8)
где S=(1—c)Y— сбережения, влияющие на В в прямом
направлении; α, β— положительные константы; ε— слагаемое,
отражающее автономную тенденцию планирования инвестиций.
Не нарушая единства, положим ε=const. Кроме того,
отметим, что положительность коэффициента β характеризует в формуле (8)
отрицательную корреляцию между величинами В и К. При этом β имеет
размерность, обратную единице времени, а является безразмерной величиной.
Используя формулу (2), исключим из (8) зависимость от
уровня дохода Y:
В=а1-βк+ε. (9)
Таким образом, уравнения (5), (7), (9) определяют
функциональную взаимосвязь между переменными K(t), B(t), I(t). В данном случае
наиболее просто вывести интегро-дифференциальное уравнение для динамики капитала:
 (10)
Интегро-дифференциальное уравнение (10) вместе с
начальным условием К(t=0)=К0 целиком описывает эволюцию капитала в данной
экономической системе. Сложность исследования поведенческих свойств уравнения
(10) во многом определяется явным видом ядра — функции φ (t, τ).
Рассмотрим случай, когда оно является вырожденным, то
есть
φ (t, τ) = ξ(t)η(τ).
При такой структуре функции φ (t, τ) базовое
интегро-дифференциальное уравнение (10) путем дифференцирования по времени с
помощью несложных преобразований получает вид обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Для простоты примем, что G — постоянное число, тогда
величина А= также является постоянной.
Целесообразно ввести в рассмотрение переменную x(t) =
K(t) — А, имеющую смысл отклонения величины капитала от некоего характерного
постоянного значения А. В такой ситуации уравнение (10) примет следующую форму:
 = dτ
(11)
Отдифференцировав (11) по независимой переменной t и
выполнив необходимые тождественные преобразования, получим искомое обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка по переменной X(t):
 (12)
где
ρ(t) = 
q(t)=βξ(t)η(t)
с ненулевыми начальными условиями;
X(0)=K0 – A, (13)
Дифференциальное уравнение (12) занимает особое место в
общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и совершенно невозможно
дать исчерпывающий обзор свойств решения этого уравнения.
По поводу дифференциального уравнения (12) известный
американский математик Р. Беллман утверждал, что значение уравнений указанного
вида в физике трудно переоценить. Существует много исследований, связанных с
данным уравнением. С математической точки зрения оно представляет собой
постоянный вызов искусству аналитика: надо получать всевозможные свойства решений
этого уравнения, не пользуясь такой роскошью, как явное представление последних
через коэффициенты р и q.
Из-за многообразия возможных случаев и вытекающей отсюда
трудности объединения их в общей теории мы ограничимся рассмотрением некоторых
частных примеров, которые, кроме того что представляют экономико-математический
интерес, иллюстрируют применение разработанных основных методов к исследованию
задач экономической динамики.
2. Пример 1
При реализации планируемых инвестиционных проектов
(формула (5)) с учетом распределенных запаздываний (взаимосвязь капитала,
решений об инвестициях и фактических капиталовложений) используется функция φ1(t,τ)=be(τ-t),
где b>0 есть некоторая постоянная времени. С экономической точки зрения
такой выбор ядра интегрального преобразования (5) означает, что весовой
коэффициент решения об инвестировании в момент времени τ(0<τ<t)
возрастает с приближением к моменту времени t (когда инвестиции реализуются) и
убывает, когда величина τ находится ближе к нулю.
Данный подход отражает реальное поведение инвесторов,
когда принимаются решения об инвестировании.
Поскольку
φ1(t,τ)= ξ1(t)η1(τ),
то для определенности выберем
ξ1(t)= е-ы
η1(τ)= bеы.
Далее, после элементарных преобразований выражение (12)
трансформируется к виду дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами:
 (14)
Коэффициенты уравнения (14) есть строго положительные
числа, так как 0 < α < 1, следовательно, решения X(t) будут
устойчивыми.
Структура решений (14) имеет следующий вид:
X(t) =  (15)
где
λ1,2= 
R1, R2 — произвольные постоянные, зависящие от начальных
условий.
Таким образом, все решения X(t) дифференциального
уравнения (14) экспоненциально стремятся от заданного начального условия Х0 к
равновесному значению Х=0 (К=А). При этом характер движения X(t) к равновесию
при условии b =  является монотонным, а п | 
