рефераты
рефераты рефераты
 логин:   
 пароль:  Регистрация 

МЕНЮ
   Архитектура
География
Геодезия
Геология
Геополитика
Государство и право
Гражданское право и процесс
Делопроизводство
Детали машин
Дистанционное образование
Другое
Жилищное право
Журналистика
Компьютерные сети
Конституционное право зарубежныйх стран
Конституционное право России
Краткое содержание произведений
Криминалистика и криминология
Культурология
Литература языковедение
Маркетинг реклама и торговля
Математика
Медицина
Международные отношения и мировая экономика
Менеджмент и трудовые отношения
Музыка
Налоги
Начертательная геометрия
Оккультизм и уфология
Педагогика
Полиграфия
Политология
Право
Предпринимательство
Программирование и комп-ры
Психология - рефераты
Религия - рефераты
Социология - рефераты
Физика - рефераты
Философия - рефераты
Финансы деньги и налоги
Химия
Экология и охрана природы
Экономика и экономическая теория
Экономико-математическое моделирование
Этика и эстетика
Эргономика
Юриспруденция
Языковедение
Литература
Литература зарубежная
Литература русская
Юридпсихология
Историческая личность
Иностранные языки
Эргономика
Языковедение
Реклама
Цифровые устройства
История
Компьютерные науки
Управленческие науки
Психология педагогика
Промышленность производство
Краеведение и этнография
Религия и мифология
Сексология
Информатика программирование
Биология
Физкультура и спорт
Английский язык
Математика
Безопасность жизнедеятельности
Банковское дело
Биржевое дело
Бухгалтерский учет и аудит
Валютные отношения
Ветеринария
Делопроизводство
Кредитование



Главная > Математика > Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Математика : Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

2

Фрунзенский район

Технологическая гимназия №13 г. Минска

Авторы:

Кравченко Арсений Борисович

ученик 9”Д” класса

ул. Горецкого 69-263

д.т. 215-84-33

Ермолицкий Алексей Александрович

ученик 9”Д” класса

ул. Сухаревская 7-46

д.т. 215-62-23

Тема:

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Секция: математика
Научный руководитель:

Буйницкая Инесса Мечеславовна

учитель высшей категории

Минск 2004

Содержание

Общая теоретическая часть………………………………………00

Графический метод………………………………………………..00

Функциональный метод…………………………………………...00

Метод функциональной подстановки…………………………..00

Цели и задачи научной работы…………………………………..00

Практикум………...…………………………………………………00

Список литературы………………………………………………..00

Общая теоретическая часть

Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.

Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y - два произвольных множества.

Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Определение. Задать функцию - это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной, или универсальной подстановки.

Определение. Решить данное уравнение - значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.

В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.

Графический метод.

На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек

x, f(x) координатной плоскости.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде

f(x)=g(x),

где f(x) и g(x) - некоторые функции. Функция f(x) является левой частью, а g(x) - правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1, у1), то решением системы будет х=х1, у=у1). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика функции g(x).

Функциональный метод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) - снизу так, что f(x)мах=А g(x)мin=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

f(x)=x (1)

(2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) - возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) - убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:

Следствие 1. Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)?a, g(x)?a, где а - некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)?a, g(x)?b, то данное уравнение равносильно системе

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки - самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ѓ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическое уравнение вида

R(sinkx, cosnx, tgmx, ctglx) = 0 (3)

где R - рациональная функция, k,n,m,lZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sinx, cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

sinx= cosx=

1+tgІ(x/2) 1+tgІ(x/2)

(4)

2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

tgx= ctgx=

1-tgІ(x/2) 2tg(x/2)

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=р+2рk, kZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=р+2рk, kZ корнями исходного уравнения.

Практикум

sinx +v2-sinІx + sinxv2-sinІx = 3

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть u = sinx и v = +v2-sinІx . Так как -1?u?1 и v?1, то u+v?0. Кроме того, имеем uІ + vІ =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

u + v + uv = 3

uІ + vІ =2

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

r + s = 3

rІ - 2s = 2

Отсюда с учетом того, что r?0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

u + v = 2

uv = 1

u = v = 1

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = р/2+2рk, kZ

Ответ: x = р/2+2рk, kZ

cos=x2+1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

cos?1 x2+1?1 =>

cos=1

x2+1=1 x=0

Ответ: х=0

5sinx-5tgx

+4(1-cosx)=0

sinx+tgx

Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = р/2+рk, kZ, а sinx+tgx=0 при x = рk, kZ, то углы x = рk/2, kZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачи t?0;±1, тогда получим

2t 2t

5 -

1+tІ 1-tІ 1-tІ

+4 1- =0

2t 2t 1+tІ

+

1+tІ 1-tІ

Так как t?0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

8tІ

-5tІ + = 0 -5-5tІ + 8 = 0

1+tІ

откуда t = ±v3/5,. Следовательно, x = ±2arctgv3/5 +2рk, kZ

Ответ: x = ±2arctgv3/5 +2рk, kZ

tgx+ctgx+tgІx+ctgІx+tgіx+ctgіx=6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx+ctgx, тогда tgІx+ctgІx=yІ-2, tgіx+ctgіx=yі-3y

yі+yІ-2y-8=0

y=2

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = р/4+рk, kZ

Ответ: x = р/2+2рk, kZ

2cos рx=2x-1

Данное уравнение рационально решать графическим методом.

Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Ответ: х=0,5

3+(х-р)2=1-2cosx

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

(х-р)2+2=-2cosx

(х-р)2+2?2 -2cosx?2

=> x=р, при k=0

Ответ: x=р

10|sinx|=10|cosx|-1

Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.

Т.к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:

|sinx|=|cosx|-1

Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.

Ответ: х=




Информационная Библиотека
для Вас!



 

 Поиск по порталу:
 

© ИНФОРМАЦИОННАЯ БИБЛИОТЕКА 2010 г.