Математика : Анализ надёжности и резервирование технической системы

Анализ надёжности и резервирование технической системы

2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра: «Электроснабжение железнодорожного транспорта»

Дисциплина: «Основы теории надёжности»

Курсовая работа

«Анализ надёжности и резервирование

технической системы»

Вариант-079

Выполнил:

студент группы ЭНС-04-2

Иванов А. К.

Проверил:

канд. техн. наук, доцент

Герасимов Л. Н.

Иркутск 2008

Введение

В сложных технических устройствах без резервирования никогда не удается достичь высокой надежности, даже используя элементы с высокими показателями безотказности.

Система со структурным резервированием - это система с избыточностью элементов, т. е. с резервными составляющими, избыточными по отношению к минимально необходимой (основной) структуре и выполняющими те же функции, что и основные элементы. В системах с резервированием работоспособность обеспечивается до тех пор, пока для замены отказавших основных элементов имеются в наличии резервные.

По способу включения резервных элементов резервирование подразделяют на два вида:

· активное (ненагруженное) - резервные элементы вводятся в работу только после отказа основных элементов;

· пассивное (нагруженное) - резервные элементы функционируют наравне с основными (постоянно включены в работу). Этот вид резервирования достаточно широко распространен, т.к. обеспечивает самый высокий коэффициент оперативной готовности.

Кратко остановимся на расчете надежности систем с ограничением по нагрузке. Если условия функционирования таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы по меньшей мере r элементов из n были работоспособны, то число необходимых рабочих элементов равно r, резервных - (n - r). Отказ системы наступает при условии отказа (n - r + 1) элементов. Число r, в общем случае, зависит от многих факторов, но в большинстве расчетов надежности требуется обеспечить пропускную (или нагрузочную) способность системы в заданном режиме эксплуатации. При этом отказы можно считать независимыми только тогда, когда при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа.

Задание на расчёт

Для заданной основной схемы электротехнического объекта следует:

· Определить вероятность работоспособного состояния объекта (ВБР) для расчетного уровня нагрузки и построить зависимость данного показателя надежности от нагрузки.

· Обеспечить заданный уровень надежности объекта резервированием его слабых звеньев с учетом требований минимальной избыточности и стоимости резервирования.

В результате расчета должна быть получена схема объекта с резервированием, обеспечивающим нормативный уровень надежности для заданной расчетной нагрузки при минимальных затратах на реконструкцию исходной схемы.

Состав исходных данных:

· Ns - номер схемы системы электроснабжения (основная система);

· [A,B,C] - множество типов элементов;

· Zi - пропускная способность или производительность элементов;

· рi - вероятность работоспособного состояния (коэффициенты готовности) элементов (три типа);

· ci - удельная стоимость элементов (три типа);

· Zmax - максимальный уровень нагрузки (в условных единицах) ;

· Zн - заданный расчетный уровень нагрузки;

· P норм - требуемый (нормативный) уровень надежности объекта.

Любой тип определяется своими параметрами, так, обозначение A(Zi, рi, ci ) полностью описывает характеристики элемента типа A.

Удельные стоимостные характеристики и коэффициенты готовности элементов зависят от их показателя надежности (pi) - чем выше надежность и пропускная способность элемента, тем выше его стоимость.

При определении зависимости надежности электроснабжения от уровня нагрузки следует рассмотреть ряд значений нагрузки от 0 до Zmax с шагом примерно в 10% - 15% от Zmax . При этом нагрузка в Zн единиц, выбираемая при проектировании в пределах 50% Zmax < Zн < Zmax , считается основной расчетной нагрузкой, для которой должен быть обеспечен требуемый (нормативный) уровень надежности объекта.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Схема установки представлена на рис. 1.

Рис. 1.

Вероятности работоспособного состояния (коэффициенты готовности) pi и пропускной способности (производительности) Zi элементов установки приведены в таблице 1.

Таблица 1

Расчетная нагрузка установки: Zн = 70 ед., максимальная - Zmax = 160 ед. Нормативный показатель надежности установки принят равным P норм = 0.98.

Для резервирования схемы предлагается использовать элементы типа А, В или С; их параметры даны в таблице 2.

Таблица 2

Данные элементов резервирования

Вычисление структурных функций

Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид

S(Z) = ?1( ?(?2( х1 х2)х3?3( х5 х6)) х4 ).

В этом выражении операция ?2 предполагает преобразование двух элементов х1,х2 в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим - ?2), ?3 состоит также из двух элементов х5, х6 (которые тоже будут преобразованы в один элемент - ?3). Операция ? предполагает преобразование двух эквивалентных структурных элементов ?2,?3 и одного элемента х3. При этом эквивалент ? и элемент х4 вместе образуют два параллельно соединенных (в смысле надежности) элемента, которые посредством операции ?1 превращаются в один эквивалентный элемент с соответствующей функцией распределения вероятностей состояний.

Вычислим выражения для каждого эквивалента:

?2 = (p1[40]+q1[0])( p2[60]+q2[0]) =

= p1 p2[40+60] + p1 q2[40+0] + q1 p2[0+60] + q1 q2[0+0] =

= 0,9*0,9[100] + 0,9*0,1[40] + 0,1*0,9[60] + 0,1*0,1[0] =

= 0,81[100]+0,09[40] + 0,09[60]+0,01[0]= 1 (проверка).

Т.к. элементы х5 и х6 полностью идентичны элементам х1 и х2, то операция ?3:

?3 = 0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0].

?= (0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0])*(0,9[70]+0,1[0]) * (0,81[100]+ +0,09[60] + 0,09[40] +0,01[0]) = (0,81*0,9[min{100;70}]+ 0,81*0,1[min{100;0}] + 0,09*0,9[min{60;70}] + 0,09*0,1[min{60;0}] + 0,09*0,9[min{40;70}] + +0,09*0,1[min{40;0}]+0,01*0,9[min{0;70}] + 0,01*0,1[min{0;0}]) * (0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0]) =

=(0,729[70]+ 0,081[0] + 0,081[60]+0,009[0] + 0,081[40] +0,009[0]+0,009[0] + +0,001[0]) * (0,81[100] + 0,09[60] +0,09[40]+0,01[0])=

=(0,729[70]+0,081[60]+0,081[40]+0,109[0]) * (0,81[100]+0,09[60]+ +0,09[40]+0,01[0]) =0,729*0,81[min{70;100}]+ 0,729*0,09[min{70;60}] + 0,729*0,09[min{70;40}] + 0,729*0,01[min{70;0}] + 0,081*0,81[min{60;100}]+ 0,081*0,09[min{60;60}] + 0,081*0,09[min{60;40}] + 0,081*0,01[min{60;0}]+ 0,081*0,81[min{40;100}]+ 0,081*0,09[min{40;60}] + 0,081*0,09[min{40;40}] + 0,081*0,01[min{40;0}]+ 0,109*0,81[min{0;100}]+ 0,109*0,09[min{0;60}] + 0,109*0,09[min{0;40}] + 0,109*0,01[min{0;0}] =

= 0,59049[70]+ 0,06561[60] + 0,06561[40] + 0,00729[0] + 0,06561[60]+ 0,00729[60] + 0,00729[40] + 0,00081[0]+ 0,06561[40]+ 0,00729[40] + 0,00729[40] + 0,00081[0]+ 0,08829[0]+ 0,00981[0] + 0,00981[0] + 0,00109[0]=

(складываем вероятности при одинаковой пропускной способности)

= 0,59049[70]+0,13851[60]+0,15309[40]+0,11791[0] =1 (проверка).

S(Z) =?1( ? х4 ) = (0,59049[70]+0,13851[60]+0,15309[40]+0,11791[0]) *

(0,95[90]+ 0,05[0]) =

= 0,59049*0,95[70+90] + 0,59049*0,05[70+0] + 0,13851*0,95[60+90] + 0,13851*0,05[60+0] + 0,15309*0,95[40+90] + 0,15309*0,05[40+0] + 0,11791*0,95[0+90] + 0,11791*0,05[0+0]=

= 0,56097[160] + 0,02952[70] + 0,13159[150] + 0,00692[60]+ 0,14544[130]+ 0,00765[40] + 0,11202[90] + 0,00589[0] =

(суммируем и упорядочим вероятности по значению пропускной способности)

= 0,56097[160]+ 0,13159[150]+ 0,14544[130] + 0,11202[90]+ 0,02952[70] + +0,00692[60]+ 0,00765[40]+ 0,00589[0]= 1.

Оценка расчетных состояний

Полученная функция S(Z) позволяет построить зависимость показателя надежности объекта (ВБР) от уровня нагрузки - P[Z ? Zнk]. Для этого следует просуммировать только те слагаемые функции S(Z), для которых значение нагрузки больше или равно заданной.

Расчеты удобно представить в виде табл. 3. По данным таблицы построен график.

Таблица 3

Зависимость ВБР системы от нагрузки

Рис. 2. Показатели надежности установки в зависимости от нагрузки

Анализ графика в контрольных точках показывает:

· область вблизи номинальной нагрузки, до 70 ед., обеспечена пропускной способностью системы с вероятностью не менее 0,97954;

· максимальная нагрузка равна предельной пропускной способности и вероятность ее обеспечения минимальна.

Обеспечение нормативного уровня надежности установки

Из таблицы 2 следует, что при расчетной нагрузке 70 ед. вероятность безотказной работы установки P[Z ? 70] = 0.97954 не соответствует заданному нормативному уровню P норм = 0.98. Следовательно, требуется повышение надежности установки, которое в данном случае может быть обеспечено вводом дополнительных элементов. Следует определить тип элементов (по значению вероятности и пропускной способности), их место на схеме и количество дополнительных - резервных, - элементов. При этом затраты на резервирование должны быть минимальными.

Для усиления этой схемы добавим один резервный элемент параллельно х3. Получившаяся схема с резервированием изображена на рисунке 3.

Рис. 3. Схема с резервирован