Математика : Алгоритмы с многочленами

Алгоритмы с многочленами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ

АЛГОРИТМЫ С МГНОГОЧЛЕНАМИ

/дипломная работа/

Набережные Челны

2006 год

Содержание

Введение

1. Многочлены

2. Деление многочленов

2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости

2.2. Деление многочленов с остатком

2.3. Наибольший общий делитель многочленов

2.4. Алгоритм Евклида

3. Кратные корни

4. Производная от многочлена

5. Кратные множители

5.1. Выделение кратных множителей

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Тема моей дипломной работы: «Алгоритмы с многочленами».
Целью данной работы является изучение многочленов, алгоритмов с ними, рассмотрение возможностей составления различных программ. Для достижения поставленной цели необходимо рассмотреть следующие вопросы:
- делимость многочленов;
- деление многочленов с остатком;
- наибольший общий делитель, алгоритм Евклида;
- кратные корни;
- кратные множители, выделение кратных множителей;
- производные от многочленов.
Для выполнения дипломной работы я поставила следующие задачи:
1. изучить литературу о многочленах;
2. применить теорию высшей алгебры в решении задач элементарной математики;
3. составить программы для нахождения частного и остатка при делении многочленов, наибольшего общего делителя двух многочленов, производной многочлена; разложения многочленов на кратные множители.

1. Многочлены

Общий вид уравнения n-ной степени (где n некоторое положительное число) есть

. (1.1)

Коэффициенты этого уравнения мы будем считать произвольными комплексными числами, причем старший коэффициент должен быть отличным от нуля.

Если написано уравнение (1.1), то всегда предполагается, что требуется его решить, найти такие числовые значения для неизвестного x, которые удовлетворяют этому уравнению, то есть после подстановки вместо неизвестного и выполнения всех указанных операций обращают левую часть уравнения (1.1) в нуль.

Целесообразно заменить задачу решения уравнения (1.1) более общей задачей изучения левой части этого уравнения

, (1.2)

называемой многочленом n-ной степени от неизвестного х. Многочленом называется лишь выражение вида (1.2), то есть лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное x с отрицательными или дробными показателями. Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее.

2. Деление многочленов

Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя внешне эти две теории не имеют ничего общего. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и, что еще более важно, деление с остатком.

2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости

Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен , что выполняется равенство

(2.1)

Например, из равенства следует, что делится на многочлен и на многочлен .

Многочлен в равенстве (2.1) определяется однозначно. Если бы существовал многочлен , удовлетворяющий равенству (2.1), то мы получили бы, что

(2.2)

откуда

Но многочлен по условию ненулевой, и в силу утверждения или нулевом является многочлен , т.е. многочлен совпадает с .

Многочлен в равенстве (2.1) называется частным от деления на , а - делителем.

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов.

1. Если делится , а делится на , то будет делиться на .

В самом деле, по условию и , а поэтому .

2. Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на .

Из равенств и вытекает .

3. Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на .

Если , то .

Из 2. и 3. вытекает следующее свойство:

4. Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться и многочлен , где - произвольные многочлены.

5. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

Если , а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то .

6. Если делится на , то делится и на с, где с - произвольное число отличное от нуля.

Из равенства следует равенство .

7. Многочлены , , и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и .

Действительно, . То есть делится на .

Если делится на , причем степени и совпадают, то степень частного от деления на должна быть равной нулю, то есть , , откуда .

Отсюда вытекает следующее свойство:

8. Тогда и только тогда многочлены , одновременно делятся друг на друга, если , .

Из 1. и 8. вытекает свойство:

9. Всякий делитель одного из двух многочленов , , где , будет делителем и для другого многочлена.

Свойства делимости многочленов могут быть применены для изучения делимости в множестве целых чисел. Выясним, например, для каких целых чисел n числоявляется простым.

Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя; целое отрицательное число k называется простым, если число -k простое.

Для ответа на поставленный вопрос заметим, что справедливо равенство

(2.3)

и поэтому число делится на и на Следовательно, оно может быть простым только в случае, когда один из этих делителей равен 1 или -1, т.е. выполняется хотя бы одно из равенств

Остается проверить следующие значения n: 3, 1, 0, -3, -1 и -2. При этих значениях n рассматриваемое число равно соответственно 19, -5, 3, 4, так что искомое множество чисел есть

Может возникнуть вопрос: откуда взялось равенство (2.3)? Как мы догадались, что многочлен таким образом раскладывается на множители? Для нахождения разложений такого типа необязательно прибегать к искусственным группировкам, это можно сделать с помощью теории, которая будет изложена ниже.

Из этого примера видно, что уже для решения задач, связанных с делимостью целых чисел, полезно уметь выяснять, делится ли данный многочлен на некоторый другой многочлен (раскладывается ли на множители).Ответ на такой и многие другие вопросы можно найти с помощью деления многочлена с остатком.

2.2. Деление многочленов с остатком

Для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком.

Теорема о делении с остатком. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x , что

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

Если разности f(x)-r(x) и обе делятся на g(x), то их разность также делится на g(x). Если бы многочлен s(x) был ненулевым, то он имел бы степень меньшую, чем g(x), и не мог бы тогда делится на g(x). Следовательно, s(x)=0, так что .

В практической деятельности для нахождения частного и остатка применяют способ вычисления, называемый «деление углом». Покажем его на примере.

Пример. Найти частный и остаток от деления на .

1. и

|

Частным от деления на является многочлен , остатком - .

2. и

¦

Частным от деления на является многочлен , остатком - .

Это правило в общем виде можно сформулировать так:

1) разделить старший член многочлена f(x) на старший член g(x) и записать результат «под длинной стороной угла»;

2)умножить g(x) на результат действия 1) и записать произведение под многочленом f(x);

3) вычесть из f(x) записанный под ним многочлен;

4) проверить имеет ли результат действия 3) степень меньшую, чем степень g(x); если да (или результат нулевой), то он является остатком, а под длинной стороной угла записано частное, если нет, то применить к этому результату действие 1), рассматривая его как многочлен f(x).

Я составила программу для нахождения частного и остатка.

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

type

TForm1 = class(TForm)

SGd1: TStringGrid;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit5: TEdit;

Edit6: TEdit;

Button1: TButton;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

i,n,m,step,j,f:integer;

d,l,s:string;

a,a2,b,b2,k:array[0..100] of integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

n:=StrToInt(Edit1.Text);

m:=StrToInt(Edit2.Text);

for i:=n+1 downto 1 do begin

a[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[n-(i-1),0]);

end;

for i:=m+1 downto 1 do begin

b[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[m-(i-1),1]);

end;

s:='f1(x)=';

for i:=n+1 downto 1 do begin

if a[i]<>0 then begin if(a[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(a[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(a[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

Edit3.Text:=s;

s:='f2(x)=';

for i:=m+1 downto 1 do begin

if b[i]<>0 then begin if(b[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(b[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(b[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

Edit4.Text:=s;

for j:=N+1 downto 1 do begin

a2[j]:=a[j];

b2[j]:=0;

end;

step:=n-m;

f:=n+2;

for i:=step+1 downto 1do begin

f:=f-1;

k[i]:=a2[f];

for j:=m+1 downto 1do begin

b2[j]:=k[i]*b[j];

end;

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]*b[m+1];

end;

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]-b2[j+1-i];

b2[j]:=0;

end;

s:='h(x)=';

for i:=f downto 1 do begin

if k[i]<>0 then begin if(k[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(k[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(k[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

Edit5.Text:=s;

s:='r(x)=';

for i:=n downto 0 do begin

if a2[i]<>0 then begin if(a2[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(a2[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(a2[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

Edit6.Text:=s;

end;

end.

2.3. Наибольший общий делитель многочленов

Пусть даны произвольные многочлены и . Многочлен будет называться общим делителем для и , если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Свойство 5. показывает, что к числу общих делителей многочленов и принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называются взаимно простыми.

В общем же случае многочлены и могут обладать делителями, зависящими от , и введем понятие о наибольшем общем делителе этих многочленов.

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов и называется такой многочлен , который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов и символом .

Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов и . Ответ на этот вопрос положительный. Существует метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов, называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида.

2.4. Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида - метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного. Он первоначально был изложен в «Началах» Евклида в геометрической форме как способ нахождения общей меры двух отрезков. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, как в кольце целых чисел, так и в кольце многочленов от одного переменного является частным случаем некого общего алгоритма в евклидовых кольцах.

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов и состоит в последовательном делении с остатком на , затем на первый остаток , затем на второй остаток и так далее. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы дойдем до такого места, на котором деление совершится нацело и процесс остановится. Последний отличный от нуля остаток , на который нацело делится предыдущий остаток , и является наибольшим общим делителем многочленов и .

Для доказательства запишем изложенное в виде следующей цепочки равенств:

(2.4)

Последнее равенство показывает, что служит делителем для . Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на , а поэтому будет делителем и для . Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы получим, что является делителем и для , …, , . Отсюда ввиду второго равенства, будет следовать, что служит делителем для , а поэтому, на основании первого равенства, - и для .

Возьмем теперь произвольный общий делитель многочленов и . Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств делятся на , то также будет делится на . Переходя ко второму и следующему равенствам, таким же способом получим, что на делятся многочлены , , … Наконец, если уже будет доказано, что и делятся на , то из предпоследнего равенства получим, что делится на . Таким образом, на самом деле будет наибольшим общим делителем для и .

Мы доказали, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ его вычисления. Этот способ показывает, что если многочлены и имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными, хотя у этих многочленов могут существовать и такие делители, не все коэффициенты которых рациональны (действительны).

Если есть наибольший общий делитель многочленов и , то, как показывают свойства 8. и 9., в качестве наибольшего общего делителя этих многочленов можно было бы выбрать также многочлен , где - произвольное число, отличное от нуля. Иными словами, их наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до множителя нулевой степени. Ввиду этого можно условиться, что старший коэффициент наибольшего общего делителя двух многочленов будет всегда считаться равным единице. Используя это условие можно сказать, что два многочлена тогда и только тогда взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен единице. В самом деле, в качестве наибольшего общего делителя двух взаимно простых многочленов можно взять любое число, отличное от нуля, но, умножая его на обратный элемент, получим единицу.

Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на любое не равное нулю число, причем не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что при разыскании наибольшего общего делителя допускается.