Информатика программирование : Курсовая работа: Метод Крамера
Курсовая работа: Метод Крамера
Зміст
Вступ
1. Теоретична частина
1.1 Постановка задачі
1.2 Методи роз взування
задачі
2. Практична частина
2.1 Архітектура програми
2.2 Опис програми
2.3 Контрольний приклад
та результат машинного експерименту
Висновки
Список використано
літератури
Додатки
Вступ
Обчислювальну
техніку останніми роками широко застосовують у всіх сферах діяльності людини.
Вона стала каталізатором науково-технічного прогресу. Бурхливий розвиток ЕОМ
сприяв широкому процесу математизації науки, техніки і господарства в цілому.
Саме розробка і застосування математичних методів розв’язування прикладних
задач на базі ЕОМ є предметом сучасної математики.
Математика
одна з найдавніших наук – виникла з практичних потреб людини. Розвиток
математики сприяв загальному науково-технічному прогресу цивілізації, а потреби
природознавства, техніки і практичної діяльності людей становили перед математикою
нові задачі і стимулювали її розвиток.
Розвиток
обчислювальної математики тісно пов’язаний з розвитком програмування, яке йде
шляхом спрощення способів спілкування людини з комп’ютером. На сучасному етап
розвитку виникають мови програмування наближені до природних, розвиваються
проблемно орієнтовані мови програмування, засоби візуального програмування,
створюються пакети прикладних програм. Виникають і інтенсивно розвиваються
структурне програмування і спеціалізовані мови для розробки структурованих
програм.
Завдання
на курсовий проект передбачає розробку програмного забезпечення для розв’язку
задачі математичного характеру. Для її реалізації я вибрав мову Turbo Pascal
7.0.
Паскаль
гнучка і розвиненута в відношенні типів даних мова. Привабливі його
рекурсивні можливості, а також підтримка технології об’ектно-орієнтовного
програмування.
Розробником
ціїє мови був швейцарський вчений Ніклаус Вірт, який створив Паскал ще в 70-х
роках. Турбо Паскаль фірми Borland являється розширенням стандарта Мови і ма
також інтегроване середовище, яке набагато прискорює і полегшує процес розробки
програм. Цей прграмний продукт пройшов через 6 версій, після чого і появився
Турбо Паскаль 7.0.
Головн
особливості мови Turbo Pascal:
Широкий
спектр даних.
Можливість
обробки стрічкових та структурних даних.
Достатній
набір операторів керування розгалуженнями та циклами.
Добре
розвинутий апарат підпрограм.
Зручн
конструкції роботи з файлами.
Велик
можливості керування всіма ресурсами комп’ютера.
Різноманітн
стикування з мовою Асемблера.
Підтримка
дей об’єктно-орієнтовного програмування.
Курсовий
проект складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку використано
літератури та додатків. Текст пояснювальної записки набрано та роздруковано з
використанням текстового редактора Word.
1. Теоретична частина
1.1 Постановка задачі
Нехай
дано систему п лінійних алгебраїчних рівнянь з п змінними
(I=1.2…..n) (1)
Систему
(1) можна записати у вигляді одного матричного рівняння
AX=B,
(2)
де
матриця
коефіцієнтів (індекс і вказує рівняння, якому
належить коефіцієнт, а індекс j – змінну, при якій він стоїть),
,
відповідно
стовпець вільних членів і стовпець змінних.
Упорядкована
сукупність п чисел , яка, будучи підставленою в
систему (1) замість , перетворює всі рівняння в
правильні числові рівності, називається розв’язком системи (1)
то
вона має єдиний розв’язок. Його можна обчислити за формулами Крамера.
(k=1,2,…,n),
де
матрицю дістають
з матриці А, замінивши її k-й стовпець стовпцем вільних членів.
Методи
розв’язування систем лінійних рівнянь можна поділити на дві групи: точні й
тераційні.
Точними
називають такі методи, які дають змогу знайти точний розв’язок системи (1) за
допомогою виконання скінченої кількості арифметичних операцій у припущенні, що
всі обчислення виконуються точно (без округлень), а коефіцієнти системи
вільні члени – точні числа. Але на практиці всі обчислення виконуються з
обмеженою кількістю десяткових розрядів, а ірраціональні коефіцієнти і вільн
члени, якщо такі є, замінюються раціональними числами. Тому в процес
обчислення вдаються до округлень, а це означає, що розв’язки, які обчислюються
за точними методами, фактично є наближеними числами з певними похибками
(похибками округлень). До точних належать метод Гаусса, метод квадратних
коренів, правило Крамера тощо.
Інтераційними
називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв’язок системи (1)
з заздалегідь вказаною точністю шляхом виконання скінченої кількост
арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень,
а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв’язок
системи (1) за допомогою ітераційних методів може знайти тільки теоретично як
границю збіжного нескінченного процесу. Розв’язуючи системи рівнянь
тераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати похибку
методу. До ітераційних належать метод ітерації, метод Зейделя тощо.
В
завданні на курсовий проект передбачено розробку програмного забезпечення для
розв’язування системи лінійних рівнянь за формулами Крамера.
Програма
повинна забезпечувати виконання таких операцій:
ввід
коефіцієнтів системи рівнянь та вільних членів;
обчислення
визначників системи та знаходження розв’язків системи;
вивід
систем рівнянь та її розв’язків на екран.
Для
реалізації поставленого завдання в середовищі Turbo Pascal 7.0 розроблено
програму KRAMER.PAS. Перелічені вище операції реалізуються в програмі за
допомогою процедур.
1.2 Методи розв’язування задачі
Розглянемо
систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
(1)
Систему
(1) можна також записати так:
,
=1, 2, 3.
Тут -
деякі задані числа, а x, y, z – невідомі, які потрібно знайти.
Як
нам вже відомо, тройка чисел називаються рішенням системи (1),
якщо при підстановці їх в рівняння системи замість x, y і z вийдуть вірн
числові рівності.
Розглянемо
спочатку випадок, коли всі коефіцієнти рівнянь системи (1) рівні нулю:
і=1, 2, 3.
В
цьому випадку, якщо всі вільні члени рівнянь системи рівні нулю:
,
то
очевидно, люба тройка чисел (x; y; z) являється розв’язком цієї системи. Якщо ж
вільні члени рівнянь рівні нулю, то система не має рішень.
Розглянемо
тепер більш цікавий випадок, коли не всі коефіцієнти рівнянь системи (1) рівн
нулю. Нехай, наприклад, . Тоді система еквівалентна
наступній:
Останн
рівняння цієї системи помножимо на і вилучаємо почленно із першого
рівняння, в результаті получимо рівняння
. (2)
Аналогічно,
помножив останнє рівняння на і вилучаючи почленно із другого
рівняння будемо мати
. (3)
Очевидно,
що система
(4)
у
якої перше рівняння виходить із (2), а друге із (3) множенням на, еквівалентна систем
(1).
Таким
чином, якщо 0,
то дослідження системи (1) зводиться до дослідження системи двох лінійних
рівнянь з двома невідомими:
(5)
Розглянемо
спочатку випадок, коли всі коефіцієнти рівнянь системи (5) дорівнюють нулю.
Тоді, якщо вільні члени рівнянь системи (5) рівні нулю, то люба пара чисел
(x;y) являється рішенням системи (5) і, отже, люба трійка чисел (x;y;z), де
,
являється
рішенням системи (1). Якщо ж хоча б у одного із рівнянь системи (5) вільний
член не дорівнює нулю, то система (5), то і система (1) не мають рішень.
Розглянемо
випадок, коли не всі коефіцієнти рівнянь системи (5) рівні нулю. Нехай,
наприклад,
Перше
рівняння системи (5) помножимо на , друге – на - і додамо; після
очевидних перетворень отримаємо рівняння
де
Таким
чином, якщо , то система (5) еквівалентна
системі
Якщо , то очевидно,
люба пара чисел (x;y), де
, (6)
являється
рішенням системи (5).
Із
(6) і останнього рівняння системи (4) знаходимо
(7)
Аналогічно,
якщо і , то люба
трійка чисел (x;y;z), де , а y та z знаходяться в формулах
(6) і (7), являється рішенням системи (1).
Якщо , а , то система
(5), а також і система (1) не мають розв’язків.
Нехай
тепер .
Тоді
.
Підставивши
це значення х в друге рівняння системи (5), знайдемо
,
де
Підставивши
отримані значення x і y в третє рівняння системи (4), отримаємо
,
де
.
Випливає,
якщо , то
система (1) має одне рішення, яке знаходиться за формулами:
.
Ц
формули і називаються формулами Крамера.
2. Практична частина
2.1
Архітектура програми
Представлена
програма реалізується програмою Kramer. Написана на мові Паскаль. Вона включа
в себе ряд процедур, які забезпечують виконання вводу, обчислень та виводу на
екран розв’язку задачі.
Для
зменшення обсягу тіла програми використовується модуль zast.tpu (лістінг модуля
додається до проекту), в якому знаходяться всі головні компоненти, як
використовують процедури (інтерфейси, описи тощо).
Перед
описом процедур здійснюється опис міток (розділ міток) і змінних (розділ
змінних). Потім (після опису процедур) іде розділ операторів (тіло програми),
що заключається в операторні дужки, тобто Begin…End. В ньому вказується
послідовність дій, що повинні використовуватись ЕОМ.
Запуск
програми здійснюється таким чином:
Спосіб.
З середовища будь-якої операційної оболонки шляхом запуску Kramer.exe
(попередньо програма має бути відкомпільована з опцією Destination Memory).
Спосіб.
З головного меню інтегрованого середовища Turbo Pascal шляхом вибору опції Run
(програма попередньо повинна бути завантажена в ОП – File, Open, Kramer.pas).
Після
запуску програми будь-яким методом вона видасть на екран головне меню, яке
пропонує одну із опцій:
Про
програму
Ввід
коефіцієнтів
Результати
Вихід
При
виборі певного пункту активізується відповідна процедура. Завершення роботи
програми і повернення в середовище системи програмування Turbo Pascal
здійснюється при виборі пункту меню “Вихід”. Програма здійснює обчислення
системи рівнянь методом Крамера та виводить результати на екран дисплею.
В
програмі використовуються такі процедури:
Vvid
призначена для вводу значень.
Vyvid
призначена для обчислень та виводу результатів.
2.2 Опис програми
заголовок
програми
підключення
зовнішніх модулів
опис
міток
{004}-{007}
опис змінних
{008}
заголовок процедури vvid
початок
процедури
відключення
графічного режиму
очистка
екрану
встановлення
кольору шрифта
вивід
таблиці вводу
{014}-{025}
ввід лівої і правої частини рівняння в відповідні клітинки
кінець
процедури vvid
заголовок
процедури vivid
початок
процедури
відключення
графічного режиму
очистка
екрану
встановлення
кольору
вивід
таблиці виводу
обчислення
дельта для рівняння
обчислення
дельта ікс
обчислення
дельта ігрик
обчислення
дельта зет
обчислення
кс
обчислення
грика
обчислення
зет
вивід
дельта
вивід
дельта ікс
вивід
дельта ігрик
вивід
дельта зет
вивід
кса
вивід
грика
вивід
зет
порожній
ввід
кінець
процедури vivid
початок
головного блоку програми
встановлення
мітки pt
присвоєння
змінній rob 1
підключення
графічного режиму оператором ini
вивід
меню оператором zas
поки
змінна q не буде дорівнювати *
якщо
натиснута будь-яка клавіша то виконуються наступні дії
читання
натиснутої клавіші і присвоєння їй змінній q
початок
циклу по розпізнані натиснутої клавіші
стрілочка
вниз” то якщо rob>4 тоді rob=1,якщо rob<4 тоді rob=rob+1
стрілочка
вверх” то якщо rob>1 тоді rob=rob-1,якщо rob<1 тоді rob=4
клавіша
Ентер” тоді: розпізнання змінної rob якщо rob=1 то на екран з модуля zas
виводиться процедура about, яка виводить інформацію про програму, а також
здійснюється перехід на мітку pt
якщо
змінна rob=2 тоді то на екран з модуля zas виводиться процедура vvid в якій
описуються всі змінні для процедури vvid програми, а також вивід рамки для
вводу змінних. Перехід на мітку pt
якщо
змінна rob=3 тоді то на екран з модуля zas виводиться процедура vyvid в якій
описуються всі змінні для процедури vyviid програми, а також вивід рамки для
вводу змінних. Перехід на мітку pt
якщо
змінна rob=3 то здійснюється вихід в систему
кінець
розпізнаня змінної rob
кінець
циклу визначення натиснутої клавіші
цикл
якщо rob дорівнює
1
тоді очистка екрану і виконаня процедури punkt1
2
тоді очистка екрану і виконаня процедури punkt2
3
тоді очистка екрану і виконаня процедури punkt3
4
тоді очистка екрану і виконаня процедури punkt4
кінець
циклу “якщо rob дорівнює”
кінець
циклу “якщо натиснута клавіша”
кінець
циклу “поки q не буде дорівнювати *”
кінець
головного блоку програми
Опис модуля zas.tpu
Інтерфейсна
секція модуля
unit
zast;
{$n+}
interface
procedure
ini;
procedure
about;
procedure
clear;
procedure
punkt1;
procedure
punkt2;
procedure
punkt3;
procedure
punkt4;
procedure
vivyd;
procedure
vid;
procedure
zas;
Процедура
ini використовується для підключення графічних модулів, а також графічного
режиму.
Процедура
about дає користувачу інформацію про призначення програми та розробника.
Процедура
clear повертає пункти меню в початковий вигляд.
Процедури
punkt1, punkt2, punct3, punct4 маркірують відповідно пункти меню у другий колір
для вигляду переходу курсору по пунктам меню.
Процедури
vvid та vyvid забезпечують вивід рамок для вводу та виводу даних в програму/з
прорами.
Процедура
zas виводить малюнок головного меню.
2.3
Контрольний приклад та результат машинного експерименту
Випробування
будь-якої системи є найбільш відповідальний та пов’язаний з найбільшими
труднощами і найбільшими втратами часу.
Відладка
тестування – найважливіші етапи життєвого циклу програм. Не можна зробити
висновки про правильність виконання програми тільки на підставі того, що вона
відкомпільована і видає якісь числові дані, адже в ній все ж ще можуть
міститись логічні помилки. Тому необхідно здійснити “ручну” перевірку машинних
результатів.
Отже
задача: Розв’язати систему лінійних рівнянь з трьома невідомими за допомогою
формул Крамера
Знайдемо
Так,
як 0, то система
має одне рішення.
Тепер
знайдемо
Підставивши
знайдені визначники в формули Крамера будемо мати:
Висновки
Зваживши
на велику вартість готових формових пакетів, надзвичайно важливо вміти
самостійно складати програми для роз’язку окремих типів задач, хоча створення
програмного забезпечення зараз являється не областю для програмістів
одинаків, а високотехнічною структурою. Більшість комерційних програмних
продуктів являються дуже складними витворами та створені колективами, в як
часто входять десятки висококваліфікованих програмістів. Значно більше людей в
фірмах – розробниках програмного забезпечення зайнятих організацією продажу,
маркетингом, кур’єрством, консультаційним обслуговуванням покупців і т.д.
Найбільш відомою є фірма Microsoft, яка займається розробкою програмного
забезпечення як для користувацьких програм так і для апаратного програмування.
В
даному курсовому проекті розроблено та описано програму отримання результатів
розв’язку системи лінійних рівнянь методом Крамера. Програма відладжена з використанням
набору текстових даних. Контрольний приклад розроблений вручну для перевірки
роботоздатності програми та результат машинного експерименту повністю співпали.
Тому можна використовувати дану програму на практиці.
Вибір
алгоритмічної мови Паскаль для реалізації поставленої задачі повністю виправдав
себе. В процесі розробки програмного забезпечення зроблено висновок про
можливість оформлення функції обчислення визначника другого порядку у вигляд
програмного модуля, оскільки задача обчислення визначників вищих порядків дуже
часто зустрічається при розв’язуванні задач матричної алгебри і може бути
зведена до багатократного обчислення визначника другого порядку.
Список використаної літератури
Turbo pascal(учебник) /
С.А. Немнюгин – СПБ: Издательство “Питер”, 2000.
М.Я. Ляшенко, М.С.
Головань. Чисельні методи. К.:”Либідь”, 1996 – 285 с.
Математика для техникумов
Алгебра и начала анализа.
Додаток
1
(*******************************************************)
(* *)
(* Програма:
KRAMER *)
(* *)
(* Автор:
Фiлоненко Сеpгiй *)
(* Copyrigth
(c) 2003, S.Filonenko *)
(* Дата
створення: беpезень 2003 *)
(* *)
(* Використовуванi
процедури i функцii: *)
(* vvid
*)
(* vyvid
*)
(* *)
(********************************************************)
program
kramer;
uses
graph,crt,dos,zast;
label
pt;
var
rob:integer;
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,a,b,c:integer;
d,dx,dy,dz,x,y,z:real;
q:char;
procedure
vvid;
begin
closegraph;
clrscr;
textcolor(lightblue);
vid;
gotoxy(9,2);
readln (x1);
gotoxy(26,2);
readln(x2);
gotoxy(42,2);
readln(x3);
gotoxy(57,2);
readln(a);
gotoxy(9,4);
readln(x4);
gotoxy(26,4);
readln(x5);
gotoxy(42,4);
readln(x6);
gotoxy(57,4);
readln(b);
gotoxy(9,6);
readln(x7);
gotoxy(26,6);
readln(x8);
gotoxy(42,6);
readln(x9);
gotoxy(57,6);
readln(c);
end;
procedure
vyvid;
begin
closegraph;
clrscr;
textcolor(yellow);
vivyd;
d:=x1*x5*x9+x2*x6*x7+x4*x8*x3-x3*x5*x7-x2*x4*x9-x8*x6*x1;
dx:=a*x5*x9+x2*x6*c+b*x8*x3-x3*x5*c-x2*b*x9-x8*x6*a;
dy:=x1*b*x9+a*x6*x7+x4*c*x3-x3*b*x7-a*x4*x9-c*x6*x1;
dz:=x1*x5*c+x2*b*x7+x4*x8*a-a*x5*x7-x2*x4*c-x8*b*x1;
x:=dx/d;
y:=dy/d;
z:=dz/d;
gotoxy(9,2);
writeln (d);
gotoxy(9,4);
writeln(dx);
gotoxy(9,6);
writeln(dy);
gotoxy(9,8);
writeln(dz);
gotoxy(9,10);
writeln(x);
gotoxy(9,12);
writeln(y);
gotoxy(9,14);
writeln(z);
readln;
end;
begin
pt:
rob:=1;
ini;
zas;
while
q<>'*' do begin
if
keypressed then begin
q:=readkey;
case
q of
#80:
begin if rob>4 then rob:=1;if rob<4 then rob:=rob+1;end;
#72:
begin if rob>1 then rob:=rob-1;if rob<1 then rob:=4; end;
#13:
begin if rob=1 then begin about;goto pt;end;
if
rob=2 then begin vvid; goto pt; end;
if
rob=3 then begin vyvid; goto pt; end;
if
rob=4 then halt;
end;
end;
case
rob of
1:begin
clear;punkt1;end;
2:begin
clear;punkt2;end;
3:begin
clear;punkt3;end;
4:begin
clear;punkt4;end;
end;
end;
end;
end.
Додаток
2
D |
1.6000000000E+01 |
DX |
3.2000000000E+01 |
DY |
4.8000000000E+01 |
DZ |
1.6000000000E+01 |
X |
2.0000000000E+00 |
Y |
3.0000000000E+00 |
Z |
1.0000000000E+00 |
|