Информатика программирование : Контрольная работа: Эконометрика
Контрольная работа: Эконометрика
Институт экономики и предпринимательства
(ИНЭП)
Контрольная
работа по дисциплине
«Эконометрика»
Вариант 1
Выполнил:
студент группы №
Проверил:
преподаватель ИНЭП,
кандидат технических наук
Ю.М. Давыдов
г. Лосино-Петровский
2008-2009 уч.
год
1. Цель работы
Цель контрольной работы
демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических
навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической
статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной
(ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших
квадратов (МНК).
Для проведения расчетов
использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.
2. Исследование
линейных моделей парной (ЛМПР) и
множественной регрессии
(ЛММР) методом наименьших
квадратов (МНК).
2.1 Контрольная задача
1
2.1.1. Исследуем зависимость производительности
труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).
Исходные данные для 14
однотипных предприятий приводятся в таблице 1:
Таблица 1
xi |
32 |
30 |
36 |
40 |
41 |
47 |
56 |
54 |
60 |
55 |
61 |
67 |
69 |
76 |
yi |
20 |
24 |
28 |
30 |
31 |
33 |
34 |
37 |
38 |
40 |
41 |
43 |
45 |
48 |
2.1.2
Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):
Y^ = X* A^ (1),
где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;
xi1
предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;
ранг матрицы X = n + 1= 2 < k =
14 (2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 32 ) (20 )
( 1 30) (24 )
( 1 36) (28 )
( 1 40 ) (30 )
(1 41 ) (31 )
( 1 47 ) (33)
X = (1
56) Y = (34 )
(1 54) (37 )
(1 60 ) (38 )
(1 55 ) (40 )
( 1 61 ) (41 )
( 1 67 ) (43)
(1 69 ) (45 )
( 1 76 ) (48 )
Значение параметров А^ = (а0, а1)
T и s2 – нам
неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших
квадратов.
Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной,
а обратную матрицу Х-1 можно рассчитать только для квадратной
матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A,
умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х Т.
Получим XT* X * A^ = X T * Y ,
откуда A^ = (XT * X ) –1 *( XT * Y) (3),
где (XT * X ) –1 - обратная матрица.
2.1.2.
Решение.
а) Найдем
транспонированную матрицу ХТ :
( 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 )
XT = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61
67 69 76 )
в) Находим произведение
матриц XT *X :
( 14 724 )
XT * X = ( 724 40134)
г) Находим произведение
матриц XT * Y:
( 492 )
XT * Y = ( 26907 )
д) Вычисляем обратную
матрицу ( XT * X) –1 :
( 1,064562 -0,0192 )
( XT * X) –1 = (-0,0192 0,000371)
е) Умножаем обратную
матрицу ( XT * X) –1 на произведение
матриц (XT *Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a
0 , a 1)T
:
( 7,0361 )
A^ = ( XT * X) –1 * (XT * Y) = (
0,543501).
Уравнение парной
регрессии имеет следующий вид:
уi^ = 7,0361 + 0,543501* xi1 (4).
уi^ (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39,
646.
2.1.3 Оценка качества найденных параметров
Для оценки качества
параметров Â применим коэффициент детерминации R2 . Величина R2 показывает, какая часть (доля)
вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует
экспериментальные данные.
Q = ∑(yi - y¯)2 (5) – общая сумма квадратов отклонений
зависимой переменной от средней; QR = ∑(y^i - y¯)2 (6) – сумма квадратов, обусловленная
регрессией; Qе = ∑(yi – y^i)2 (7) – остаточная сумма
квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = QR + Qе (8).
Q = 847,714; QR = 795,453; Qе = 52,261.
Q = QR + Qе = 795,453 + 52,261 = 847,714.
R2 = QR / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.
R2 = 1 – Qe / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.
В нашем примере коэффициент
детерминации R2, очень высокий, что показывает на хорошее качество
регрессионной модели (4).
2.2 Контрольная задача
2
2.2.1. Исследуем зависимость урожайности
зерновых Y от ряда переменных, характеризующих
различные факторы:
Х1
количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);
Х2 -
количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .
Исходные данные для 5
районов области приводятся в таблицах:
Таблица 2
I
(номер района) |
yi
|
хi 1
|
хi 2
|
1 |
9,7 |
0,32 |
0,14 |
2 |
8,4 |
0,59 |
0,66 |
3 |
9,3 |
0,3 |
0,31 |
4 |
9,6 |
0,43 |
0,59 |
5 |
9,6 |
0,39 |
0,16 |
2.2.2.
Матричная форма записи ЛММР:
Y^ = X* A^ (1),
где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;
хi 1 , хi 2 – предопределенные (объясняющие)
переменные, n = 2;
Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5
(2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1 0,32 0,14 ) (9,7)
( 1 0,59 0,66 ) ( 8,4
X = (
1 0,3 0,31 ) Y = (9,3 )
( 1 0,43 0,59 ) (9,6)
(1 0,39 0,16 ) (9,6)
Значение параметров А^ = (а0, а1,
а 2 ) T и s2 – нам неизвестны и их требуется определить (
статистически оценить ) методом наименьших квадратов.
Для нахождения параметров A^ применим формулу (3) задачи № 1
A^ = (XT * X ) –1 * XT * (3),
где (XT * X ) –1 - обратная матрица.
2.2.3. Решение.
а) Найдем
транспонированную матрицу ХТ :
( 1 1 1 1 1
)
XT = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )
( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13
).
в) Находим произведение
матриц XT *X :
( 5 2,11 2,05 )
XT * X = ( 2,11 0,932 0,94 )
( 2,05 0,94 1,101).
г) Находим произведение
матриц XT * Y:
( 46,6 )
XT * Y = ( 19,456 )
( 18,731 ).
д) Вычисляем обратную
матрицу ( XT * X) –1 :
( 5,482 - 15,244 2,808
)
( XT * X) –1 = ( -15,244 50,118 -14,805 )
( 2,808 -14,805 7
,977 ).
е) Умножаем обратную
матрицу ( XT * X) –1 на произведение
матриц XT * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a
0 , a 1, a 2)T :
( 11, 556 )
A^ = (XT * X) –1 * (XT * Y) = (
-5, 08 )
( 0, 0219 )
Уравнение множественной
регрессии имеет следующий вид:
yi^ = 11,456 - 5,08 * xi1 - 0,0219 * xi2
(4) .
2.2.4. Оценка качества найденных параметров
Для оценки качества
найденных параметров а^0 , a^1 .a^2
необходимо найти оценку дисперсии по формуле
1
s^2 = ------------ (Y – X * A^)T
* (Y – X * A^),
k – n - 1
после чего можно найти
среднеквадратические ошибки SL по формуле SL = s^√hii , где hii элементы главной диагонали матрицы (XT * X) –1 .
А. Произведение матриц X * A^:
( 9,833 )
( 8,472 )
Y^ =X * A^ = (
9,536 )
( 9,283 )
(9,476 ).
Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) :
( -0,132 )
( - 0,072 )
( Y - X * A^ )
=(-0,036 )
( 0,116 )
( 0,0835 ).
В. ( Y - X * A^ )T =
(-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )
Г. Произведение ( Y - X * A^ )T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .
С учетом того, что в
нашем примере к = 5 и n = 2
1 1
s^2 = ------------ (Y – X * A^)T
*(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.
k – n - 1
2
s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .
Г. Среднеквадратические
ошибки оценок параметров будут равны:
S 0 = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;
S 1 = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;
S 2 = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .
Среднеквадратические
ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что
связано с малым количеством статистических данных.
3. Контрольная задача
3
Оценки параметров трендовой
модели.
3.1. По данным о
розничном товарообороте региона нужно
произвести анализ
основной тенденции развития товарооборота.
Таблица 3
Год |
Объем розничного товарооборота,
млрд. руб. |
Темп роста по годам, % |
Абсолютный прирост по годам,
млрд. руб. |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
18,4 |
- |
- |
2 |
18,9 |
103,5 |
0,5 |
3 |
19,8 |
105,3 |
0,9 |
4 |
20,3 |
102,6 |
0,5 |
5 |
21,1 |
104,4 |
0,8 |
В среднем |
19,7 |
103,9 |
0,67 |
3.2. Решение задачи будем производить
методом множественной регрессии с оценкой параметров а0, а1,
а2, а3 , так как: во-первых, абсолютный прирост
неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то
есть необходимо оценивать параметры а2 и а3 .
Матрица Х размерами 5×4
и вектор-столбец Y размерами 5×1,
будут иметь следующий вид:
( 1 1 1 1 )
(1,84E+10 )
( 1 2 4 8 )
( 1,89E+10 )
X = ( 1 3 9 27) Y = ( 1, 98E+10)
( 1 4 16 64) (2,
03E+10)
( 1 5 25 125)
( 2,11E+10 )
Решение задачи с помощью
п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки
параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:
(а0 ) (
1,79E+10 ) (1, 838E+10 )
(а1 ) (
3,976E+08 ) ( 1,899E+10 )
 = (а2
) = ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 )
(а3 ) (-
8,333E+06) ( 2, 039E+10)
( 2, 108E+10).
Отрицательное значение
параметра а3 = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста)
замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.
3.3. Анализ полученной трендовой модели
на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R2 .
Значение коэффициента
детерминации R2 = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой
модели
yt (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t2 – 0,008333*t3 .
|