Финансы деньги и налоги : Финансовая математика
Финансовая математика
7 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Кафедра «Финансы и кредит» КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Финансовая математика» Севастополь 2007 Цель контрольной работы: изучить основные методы проведения финансовых расчетов на уровне предприятий, банковских учреждений, страховых организаций; научиться рассчитывать параметры финансовых операций; научиться проводить сравнительный анализ вариантов осуществления финансовых сделок. Вариант №5 Задача 1 Вывести формулу для определения современной ценности р-срочной финансовой ренты с начислением процентов m раз в год. Сумма членов геометрической прогрессии (P) определяется по формуле , где b1 - первый член геометрической прогрессии; q - знаменатель прогрессии; n - число членов прогрессии. Если платежи производятся не один, а m раз в году, то размер платежа равен R/p. Члены ренты образуют ряд . Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+j/m)-m/p, первым членом прогрессии и числом членов прогрессии nmp. Подставив данные в вышеуказанную формулу получаем сумму дисконтированных платежей или современную стоимость (Р) p-срочной ренты: Приведя последнее выражение к общему знаменателю, и упростив его, получим формулу для расчета современной ценности р-срочной финансовой ренты с начислением процентов m раз в год: Задача 2 Клиент внес в банк 14 000 д.ед. на срок с 14 февраля по 23 июля. На вклады «до востребования» сроком больше месяца банк начисляет 24 % простых годовых. Определите наращенную сумму при расчете по: а) точным процентам с точным числом дней; б) банковскому методу; в) обыкновенным процентам с приближенным числом дней. Год не високосный. Решение: Дано: Р = 14 000 срок c 14.02 по 23.07 i = 24 % (0,24) Найти: S -? Наращенная сумма вычисляется по формуле (декурсивный метод начисления простых процентов): S = P + I, где S - наращенная сумма или сумма задолженности, подлежащая погашению по окончании кредитного/депозитного договора, д.ед.; Р - первоначальная сумма капитала или размер предоставленного кредита/депозита, д.ед.; I -сумма процентов, начисленных за весь срок операции, д.ед. Сумма начисленных процентов вычисляется по формуле I = P * i * n, где n - срок операции или период действия кредитного договора в годах; i - простая процентная ставка для конверсионного периода, равного одному году, %. Формула наращения по простым процентам S = P + P*i*n = P*(1+i*n). В случае, если n не равно целому количеству лет применяют формулу S = P*(1+i*t/k), где t - срок финансовой операции; k - временная база (12 мес., 4 квартала, 360 /365 дней). а) Определим наращенную сумму при расчете по точным процентам с точным числом дней в течение финансовой операции. Это Английская практика расчетов. В нашей задаче временная база k = 365 (год не високосный). Посчитаем точное число дней в сроке с 14.02 (включая) по 23.07 (не включая). t = 15 + 31 + 30 + 31 + 30 + 22 = 159 (дней) Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 365) = 15 463,67 (д.ед.) б) Определим наращенную сумму при расчете по банковскому методу, или обыкновенные % с точным числом дней в течение финансовой операции. Это Французская практика расчетов. Временная база k = 360 дней. Точное число дней рассчитывается аналогично первому варианту и равно t = 159 (дн.) Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 360) = 15 483,99 (д.ед.) в) Определим наращенную сумму при расчете по обыкновенным процентам с приближенным числом дней в течение финансовой операции. Временная база k = 360 дней. Расчет числа дней операции производится исходя из предположения, что в каждом месяце 30 дней. t = (14,15,16,…30) + 30 +30 + 30 + 30 + 22 = 159 (дней) Тогда S = 14 000 * (1+ 0,24 * 159 / 360) = 15 483,99 (д.ед.) Ответ: а) 15 463,67 д.ед.; б) 15 483,99 д.ед.; в) 15 483,99 д. ед. Задача 3 Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно. Решение: Дано: Р S = 2 P m = 4, 12 Найти: j - ? Наращение по сложным процентам вычисляется по формуле (декурсивный метод начисления по сложным процентам): Sn = P* (1+ i)n , где Sn - наращенная сумма на конец n - го года, д.ед.; P - первоначальная сумма денежных средств, д.ед.; i - ставка сложных процентов, %; n - срок операции наращения в годах; (1+i)n - множитель наращения сложных процентов. В случае если проценты начисляются чаще одного раза в год, то применяют формулу S = P * ( 1 + j / m )mn где j - годовая процентная ставка (номинальная), %; m - число периодов капитализации процентов в течение года. По условию задачи должно произойти удвоение вклада, т.е. S = 2 P, тогда формула начисления процентов имеет вид: 2 P = P * ( 1 + j / m )mn, отсюда j = m * ( mn 2P/ P - 1) а) Проценты начисляются поквартально, т.е. m = 4, тогда j = 4 * ( 4*12P/ P - 1) = 4 * ( 4 2 - 1) = 4 * (1,189 - 1) = 0,76 (%) б) Проценты начисляются ежемесячно, т.е. m = 12, тогда j = 12 * ( 12*1 2P/ P - 1) = 12 * (12 2 - 1) = 12 * (1,06 - 1) = 0,72 (%) Ответ: j = 0,76%; 0,72 % Задача 4 Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 3 500 000 д.ед. через 2 месяца после покупки, 3 000 000 - ещё через 2 месяца и 5 200 000 - ещё через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Чему равен этот платёж, если на деньги начисляется 8 % годовых? Решение: Дано: 3 500 тыс. 3 000 тыс. А0 -? 5 200 тыс. * * * * * 0 2 мес. 4 мес. 5 мес. 7 мес. 60 дн. 120 дн. 150 дн. 210 дн. n0 i = 8% годовых Найти: А0 - ? Если в задаче не указано, то количество дней в году принимаем - 360 и количество дней в каждом месяце будет - 30. (Применим немецкую практику расчета). Для решения данной задачи используется уравнение эквивалентности, в котором сумма платежей по первоначальным условиям приводится к выбранному моменту времени и приравнивается к сумме платежей по новым условиям по этому же моменту времени.В нашем случае совокупность платежей заменяется одним новым платежом и если известен срок объединенного платежа, то нахождение суммы объединенного платежа при известном сроке и начислении простых процентов вычисляется по формуле:где Аj - суммы объединенных платежей, сроки выплат которых меньше нового срока, (nj < n0 ), д.ед.; tj - разница между сроком выплаты объединенного платежа и сроком выплаты каждого объединенного платежа (tj = n0 - nj), дни; Аk - суммы объединенных платежей со сроками, превышающими срок объединенного платежа (nk > n0), д.ед.;tk - период времени между сроком погашения по первоначальным условиям контракта и сроком погашения по новым условиям контракта (tk = nk-n0), дни.Тогда, подставив заданные значения получаем: А0 = 3 500 000*(1+0,08*(150-60)/360) + 3 000 000*(1+0,08*(150- 120)/360) + 5 200 000*(1+0,08*(210-150)/360)-1 = 3 500 000*1,02 + 3 000 000*1,01 + 5 200 000*1,01-1 = 11 748 514,85 Ответ: Новый платеж через пять месяцев равен 11 748 514,85 д.ед. Задача 5 Пенсионер вкладывает в начале каждого месяца в банк по 50 д.ед. под 60 % годовых. Определите, через какое время он накопит сумму, достаточную для покупки холодильника стоимостью 3000 д.ед. Проценты начисляются ежемесячно. Решение: Дано: R/р = 50 д.ед. i = 0,6 % S = 3 000 д.ед. р= m = 12 Найти: n - ? Пусть рента выплачивается p = m = 12 раз в году равными суммами, процент начисляется ежемесячно по условию задачи. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Члены ренты образуют ряд Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)m/p, первым членом прогрессии R/p и числом членов прогрессии nmp. Расчет наращенной суммы (S) p-срочной ренты производится по формуле: где R/p - элемент (член) p-срочной ренты, д.ед.; p - количество платежей за год; Из этой формулы находим n и подставим наши данные: Ответ: n = 2,3 года, или необходимую сумму в 3 000 д.ед. можно накопить в течение 2 лет 3 месяцев, если ежемесячно вносить в банк 50 д.ед. под 60 % годовых. Задача 6 Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет иметь возможность снимать со счёта каждые два года по 1000 д.ед., исчерпав весь счёт к концу этого срока, если банк начисляет на деньги, находящиеся на счёте, 10 % годовых? Решение: Дано: R = 1 000 д.ед. i = 0,1 % n = 26 лет r = 2 года Найти: P - ? Современная стоимость (Р) финансовой ренты с периодом больше года (r-срочная рента) определяется по формуле , где R - элемент (член) r- срочной ренты, д.ед. r - периодичность осуществления платежей Подставив все заданные в задаче данные в формулу можем рассчитать современную стоимость финансовой ренты: Ответ: В банк нужно положить 4361,9 д.ед.
|