Экономико-математическое моделирование : Зависимость цены от качества
Зависимость цены от качества
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА по эконометрике Вариант № 1 Омск, 2010 г. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ По данным, представленным в табл.1, изучается зависимость цены колготок от их плотности, состава и фирмы-производителя в торговых точках Москвы и Таблица 1. |
№ | prise | DEN | polyamid | lykra | firm | | | Y | X1 | X2 | X3 | X4 | | 1 | 49,36 | 20 | 86 | 14 | 0 | | 2 | 22,51 | 20 | 97 | 3 | 1 | | 3 | 22,62 | 20 | 97 | 3 | 1 | | 4 | 59,89 | 20 | 90 | 17 | 0 | | 5 | 71,94 | 30 | 79 | 21 | 0 | | 6 | 71,94 | 30 | 79 | 21 | 0 | | 7 | 89,9 | 30 | 85 | 15 | 1 | | 8 | 74,31 | 40 | 85 | 13 | 1 | | 9 | 77,69 | 40 | 88 | 10 | 1 | | 10 | 60,26 | 40 | 86 | 14 | 1 | | 11 | 111,19 | 40 | 82 | 18 | 0 | | 12 | 73,56 | 40 | 83 | 14 | 1 | | 13 | 84,61 | 40 | 84 | 16 | 0 | | 14 | 49,9 | 40 | 82 | 18 | 1 | | 15 | 89,9 | 40 | 85 | 15 | 0 | | 16 | 96,87 | 50 | 85 | 15 | 0 | | 17 | 39,99 | 60 | 98 | 2 | 1 | | 18 | 49,99 | 60 | 76 | 24 | 0 | | 19 | 49,99 | 70 | 83 | 17 | 1 | | 20 | 49,99 | 70 | 88 | 10 | 1 | | 21 | 49,99 | 70 | 76 | 24 | 0 | | 22 | 49,99 | 80 | 42 | 8 | 1 | | 23 | 129,9 | 80 | 50 | 42 | 0 | | 24 | 84 | 40 | 82 | 18 | 0 | | 25 | 61 | 20 | 86 | 14 | 0 | | 26 | 164,9 | 30 | 16 | 30 | 1 | | 27 | 49,9 | 40 | 82 | 18 | 1 | | 28 | 89,9 | 30 | 85 | 15 | 1 | | 29 | 129,9 | 80 | 50 | 42 | 0 | | 30 | 89,9 | 40 | 86 | 14 | 1 | | 31 | 105,5 | 40 | 85 | 15 | 1 | | 32 | 79,9 | 15 | 88 | 12 | 1 | | 33 | 99,9 | 20 | 88 | 12 | 1 | | 34 | 99,9 | 30 | 73 | 25 | 1 | | 35 | 119,9 | 20 | 85 | 12 | 1 | | 36 | 109,9 | 20 | 83 | 14 | 1 | | 37 | 59,9 | 20 | 86 | 14 | 0 | | 38 | 79,9 | 40 | 82 | 18 | 0 | | 39 | 82,9 | 20 | 86 | 14 | 0 | | 40 | 111,8 | 40 | 82 | 18 | 0 | | 41 | 83,6 | 40 | 82 | 18 | 0 | | 42 | 60 | 20 | 86 | 14 | 0 | | 43 | 80 | 40 | 82 | 18 | 0 | | 44 | 90 | 50 | 76 | 24 | 0 | | 45 | 120 | 70 | 74 | 26 | 0 | | |
Московской области весной 2006. Цена колготок - это зависимая переменная Y. В качестве независимых, объясняющих переменных выбраны: плотность (DEN) Х1, содержание полиамида Х2 и лайкры Х3, фирма-производитель Х4. Описание переменных содержится в таблице 2. Требуется: 1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии. 2. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения проверить с помощью F-критерия; оценить качество уравнения регрессии с помощью коэффициента Таблица 2. |
Переменная | Описание | | | | № | номер торговой точки | | price | цена колготок в рублях | | DEN | плотность в DEN | | | polyamid | содержание полиамида в % | | lykra | содержание лайкры в % | | firm | фирма-производитель: 0 - Sanpellegrino, 1 - Грация | | | | | |
детерминации. 3. Построить уравнение множественной регрессии только со статистически значимыми факторами. 4. Отобразить графически исходные данные и расчетные значения. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии. Сначала нужно отобрать факторы, которые должны войти в модель. Для этого строится матрица коэффициентов парной корреляции (табл.3.) Таблица 3. |
| Y | X1 | X2 | X3 | X4 | | Y | 1 | | | | | | X1 | 0,071711 | 1 | | | | | X2 | -0,55678 | -0,42189 | 1 | | | | X3 | 0,607569 | 0,435579 | -0,66726 | 1 | | | X4 | -0,12119 | -0,10354 | 0,060901 | -0,43912 | 1 | | |
Анализ показал, что независимые переменные Х2 (полиамид) и Х3 (лайкра) имеют тесную линейную связь с результативным фактором Y. Проверяем наличие мультипликативности: ¦ ¦= 0,66726. Считается, что две переменных явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если ? 0,7. Х2 и Х3 могут включаться в модель, т.к. мультипликативности нет. Х1 и Х4 в незначительной степени влияют на Y, их отбрасываем. Коэффициенты множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов. Для упрощения работы эти коэффициенты можно получить в Excel с помощью отчета по регрессии. Получаем уравнение линейной модели: у = -0,476х1-0,588х2+2,245х3+7,554х4+ 104,163. Это означает, что с увеличением лайкры в составе колготок на 1%, их цена поднимется на 2,245 у.е. А при увеличении полиамида в составе колготок на 1%, их цена упадет на 0,588 у.е. 2. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения проверить с помощью F-критерия; оценить качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации. Подставляя значения факторов Х в уравнение регрессии, вычисляем урасч, а записываем ряд остатков, составляем таблицу 4. Таблица 4. |
№ | prise | polyamid | lykra | у расч. | остатки | | | Y | X2 | X3 | | | | 1 | 49,36 | 86 | 14 | 75,4920707 | -26,1321 | | 2 | 22,51 | 97 | 3 | 51,8771925 | -29,3672 | | 3 | 22,62 | 97 | 3 | 51,8771925 | -29,2572 | | 4 | 59,89 | 90 | 17 | 79,8758598 | -19,9859 | | 5 | 71,94 | 79 | 21 | 90,5623507 | -18,6224 | | 6 | 71,94 | 79 | 21 | 90,5623507 | -18,6224 | | 7 | 89,9 | 85 | 15 | 81,1152196 | 8,78478 | | 8 | 74,31 | 85 | 13 | 71,8598003 | 2,4502 | | 9 | 77,69 | 88 | 10 | 63,359152 | 14,33085 | | 10 | 60,26 | 86 | 14 | 73,5171042 | -13,2571 | | 11 | 111,19 | 82 | 18 | 77,2971365 | 33,89286 | | 12 | 73,56 | 83 | 14 | 75,2814724 | -1,72147 | | 13 | 84,61 | 84 | 16 | 71,6300376 | 12,97996 | | 14 | 49,9 | 82 | 18 | 84,8513019 | -34,9513 | | 15 | 89,9 | 85 | 15 | 68,7964882 | 21,10351 | | 16 | 96,87 | 85 | 15 | 64,0319222 | 32,83808 | | 17 | 39,99 | 98 | 2 | 29,9853791 | 10,00462 | | 18 | 49,99 | 76 | 24 | 84,769301 | -34,7793 | | 19 | 49,99 | 83 | 17 | 67,7240545 | -17,7341 | | 20 | 49,99 | 88 | 10 | 49,065454 | 0,924546 | | 21 | 49,99 | 76 | 24 | 80,004735 | -30,0147 | | 22 | 49,99 | 42 | 8 | 66,8636812 | -16,8737 | | 23 | 129,9 | 50 | 42 | 130,949041 | -1,04904 | | 24 | 84 | 82 | 18 | 77,2971365 | 6,702864 | | 25 | 61 | 86 | 14 | 75,4920707 | -14,4921 | | 26 | 164,9 | 16 | 30 | 155,377089 | 9,522911 | | 27 | 49,9 | 82 | 18 | 84,8513019 | -34,9513 | | 28 | 89,9 | 85 | 15 | 81,1152196 | 8,78478 | | 29 | 129,9 | 50 | 42 | 130,949041 | -1,04904 | | 30 | 89,9 | 86 | 14 | 73,5171042 | 16,3829 | | 31 | 105,5 | 85 | 15 | 76,3506536 | 29,14935 | | 32 | 79,9 | 88 | 12 | 79,7614203 | 0,13858 | | 33 | 99,9 | 88 | 12 | 77,3791373 | 22,52086 | | 34 | 99,9 | 73 | 25 | 110,626959 | -10,727 | | 35 | 119,9 | 85 | 12 | 79,1435056 | 40,75649 | | 36 | 109,9 | 83 | 14 | 84,8106044 | 25,0894 | | 37 | 59,9 | 86 | 14 | 75,4920707 | -15,5921 | | 38 | 79,9 | 82 | 18 | 77,2971365 | 2,602864 | | 39 | 82,9 | 86 | 14 | 75,4920707 | 7,407929 | | 40 | 111,8 | 82 | 18 | 77,2971365 | 34,50286 | | 41 | 83,6 | 82 | 18 | 77,2971365 | 6,302864 | | 42 | 60 | 86 | 14 | 75,4920707 | -15,4921 | | 43 | 80 | 82 | 18 | 77,2971365 | 2,702864 | | 44 | 90 | 76 | 24 | 89,533867 | 0,466133 | | 45 | 120 | 74 | 26 | 85,6718339 | 34,32817 | | | Расчет остатков связан с тем, что изменение уi будет неточно описываться изменением Х, поскольку присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели. В Excel находим t-критерий для х2 и х3. =-1,763; =3,270. Сравним с табличным (0,05;42)=2,023. При ¦tрасч¦>tб связь существует и коэффициент корреляции является статистически значимым. В данном случае значимым является только а3. На практике на а2 (коэффициент содержания полиамида в составе колготок при определении цены) опираться не стоит, т.к. этот коэффициент не является статистически значимым. Приступая к оценке значимости уравнения множественной регрессии через критерий Фишера, найдем Fрасч (есть в отчете по регрессии)=9,589 и Fтабл(0,05;2;42)=3,220. Т.к. Fрасч> Fтабл, то модель является в целом надежной и по ней можно строить прогноз. Оценить коэффициенты регрессии можно также с помощью коэффициента детерминации R2. В данном случае он равен 0,4895 (из отчета по регрессии). Это говорит о том, что 48,95% всех случайных изменений у зависят от х и объясняются регрессионной моделью и учтены в ряде остатков. Для практического применения модели это очень маленький процент, и от нее следует отказаться. Для множественной регрессии применяют также скорректированный коэффициент детерминации 1-(1-R2) = 0,4385. Модель имеет низкую точность. 3. Построить уравнение множественной регрессии только со статистически значимыми факторами. Ранее был сделан вывод о том, что плотность колготок (х1) и фирма-производитель (х2) незначительно влияют на изменение цены (у) продукции. Таким образом, эти факторы можно отбросить. В п.2. данной работы был проведен анализ коэффициентов корреляции, который показал, что а2 - коэффициент фактора содержания полиамида в составе колготок (х2) - не является статистически значимым. Его также отбрасываем. Уравнение принимает вид: у = 2,245х3+ 104,163. Таким образом, наиболее значимым фактором в изменениях цены (у) является содержание лайкры в составе колготок (х3). 4. Отобразить графически исходные данные и расчетные значения. Для отображения графически исходные значения цены и рассчитанные по модели цены лучше всего использовать Excel (диаграммы).
|