Экономико-математическое моделирование : Вычисление наибольшей прибыли предприятия
Вычисление наибольшей прибыли предприятия
6 Содержание - Задача 1 2
- Задача 2 4
- Задача 3 6
- Задача 1
- Пусть х (млн. шт.) - объем производства, С(х)=2х3-7х и D(x)=2х2+9х+15 - соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль р(х)? какова эта прибыль?
- Решение
- Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:
- ,
- ,
- .
- Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .
- - не удовлетворяет условию задачи,
- .
- График функции прибыли представлен на рисунке 1.
- Рисунок 1 - График функции прибыли
- Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:
- млн. у.е.
- Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.
- Задача 2
- Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 - объемы некоторых ресурсов; цены р1=1 и р2=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма-производитель получит наибольшую прибыль?
- Решение
- Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :
- при .
- ,
- .
- Найдем максимум функции графически.
- Рисунок 2 - График функции
- Как видно, функция достигает максимального значения при х1=90.
- ,
- .
- Ответ: фирма-производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1=90 и х2=60.
- Задача 3
- Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).
- Таблица 1 - Исходные данные
|
| х | у | | 1 | 5 | 70 | | 2 | 11 | 65 | | 3 | 15 | 55 | | 4 | 17 | 60 | | 5 | 2 | 50 | | 6 | 22 | 35 | | 7 | 25 | 40 | | 8 | 27 | 30 | | 9 | 30 | 25 | | 10 | 35 | 32 | | |
- 1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.
- 2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.
- 3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.
- 4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.
- 5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.
- 6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.
- 7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1.
- 8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1.
- 9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X.
- 10) Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата.
- Решение.
- 1) Корреляционное поле случайных величин X и Y
- 2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации
- Таблица 2 - Вспомогательные расчеты
|
| х | у | х2 | y2 | xy | | 1 | 5 | 70 | 25 | 4900 | 350 | | 2 | 11 | 65 | 121 | 4225 | 715 | | 3 | 15 | 55 | 225 | 3025 | 825 | | 4 | 17 | 60 | 289 | 3600 | 1020 | | 5 | 2 | 50 | 4 | 2500 | 100 | | 6 | 22 | 35 | 484 | 1225 | 770 | | 7 | 25 | 40 | 625 | 1600 | 1000 | | 8 | 27 | 30 | 729 | 900 | 810 | | 9 | 30 | 25 | 900 | 625 | 750 | | 10 | 35 | 32 | 1225 | 1024 | 1120 | | сумма | 189 | 462 | 4627 | 23624 | 7460 | | средн | 18,9 | 46,2 | 462,7 | 2362,4 | 746 | | |
- Математическое ожидание:
- ,
- .
- Дисперсия:
- ,
- .
- Среднеквадратическое отклонение:
- ,
- .
- Размах вариации:
- ,
- .
- 3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции
- Ковариация:
- .
- Коэффициент корреляции:
- .
- 4) Уравнение линейной регрессии Y на X
- ,
- ,
- .
- 5) Уравнение линейной регрессии X на Y
- ,
- ,
- .
- 6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии
- Точка пересечения (18,4;46,9).
- 7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1
- Таблица 3 - Вспомогательные расчеты
|
| х | у | x' | y' | x-xcp | y-ycp | (x-xcp)2 | (y-ycp)2 | | 1 | 5 | 70 | 5,572 | 62,975 | -13,028 | 16,775 | 169,7288 | 281,4006 | | 2 | 11 | 65 | 8,3645 | 55,745 | -10,2355 | 9,545 | 104,7655 | 91,10702 | | 3 | 15 | 55 | 13,9495 | 50,925 | -4,6505 | 4,725 | 21,62715 | 22,32562 | | 4 | 17 | 60 | 11,157 | 48,515 | -7,443 | 2,315 | 55,39825 | 5,359225 | | 5 | 2 | 50 | 16,742 | 66,59 | -1,858 | 20,39 | 3,452164 | 415,7521 | | 6 | 22 | 35 | 25,1195 | 42,49 | 6,5195 | -3,71 | 42,50388 | 13,7641 | | 7 | 25 | 40 | 22,327 | 38,875 | 3,727 | -7,325 | 13,89053 | 53,65563 | | 8 | 27 | 30 | 27,912 | 36,465 | 9,312 | -9,735 | 86,71334 | 94,77023 | | 9 | 30 | 25 | 30,7045 | 32,85 | 12,1045 | -13,35 | 146,5189 | 178,2225 | | 10 | 35 | 32 | 26,795 | 26,825 | 8,195 | -19,375 | 67,15803 | 375,3906 | | сумма | 189 | 462 | 188,643 | 462,255 | 2,643 | 0,255 | 711,7565 | 1531,748 | | средн | 18,9 | 46,2 | 18,8643 | 46,2255 | 0,2643 | 0,0255 | 71,17565 | 153,1748 | | |
- Для линии регрессии Y на X:
- ,
- ,
- .
- Для линии регрессии X на Y:
- ,
- ,
- .
- 8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1
- Для б=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,31
- Для линии регрессии Y на X:
- , коэффициент значим,
- , коэффициент значим.
- Для линии регрессии X на Y:
- , коэффициент значим,
- , коэффициент значим.
- 9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X
- Доверительный интервал для b0:
- <a0<,
- <a0<,
- 54,97<a0<83,03.
- Доверительный интервал для b1:
- <a1<,
- <a1<,
- -1,23<a1<-1,17.
- 10) Коэффициент детерминации R2 :
- .
- Коэффициент детерминации R2=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов - 32,76%.
|