Экономико-математическое моделирование : Теория вероятностей в производстве
Теория вероятностей в производстве
15 Задача №1 Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью р1 = 0,6. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна р2 = 1/3. Известно также, что с вероятностью р3 = 0,1 может случиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит. Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счет в банке на 5 единиц; если оба не выполнят - снимет со счета 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит - увеличит счет только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит свой счет на 1 единицу. Требуется: 1) определить вероятность выполнения плана цехом В; 2) выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В; 3) найти вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке; 4) определить, на сколько и в какую сторону (увеличения или уменьшения) изменится в среднем счет предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счета в банке). Решение 1) Указанные в задаче события представим графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна. 15 Рисунок 1 - Диаграмма Эйлера-Венна Справедливы равенства: По условию Р(А) = 0,6; РА(В) = 1/3; Р() = 0,1. Найдем Р(В): ; , следовательно Р(А·В) = 0,2 Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А·В) = 1 - Р Р(В) = Р(А+В) - Р(А) + Р(А·В) Р(А+В) = 1 - 0,1 = 0,9 Р(В) = 0,9 - 0,6 + 0,2 = 0,5. Вероятность выполнения цехом В плана Р(В) = 0,5. 2) Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,5; Р(А·В) = 0,2; Р(А) · Р(В) = 0,3 Так как Р(А·В) ? Р(А·В), то события А и В зависимы. Выполнение плана цехом А зависит выполнит или нет свой план цех В. 3) Предприятию придется снимать деньги в банке если: а) оба цеха не выполнят свой план, ; б) если цех А не выполнит план, а цех В-выполнит, . Найдем вероятности этих событий: Р() = 0,1 - по условию; Р() = Р(В) - Р(А·В) = 0,5 - 0,2 = 0,3 Р() = 0,1 + 0,3 = 0,4. Вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке равна 0,4. 4) По условию задачи следует, что по своему характеру изменение счета предприятия в банке величина х - дискретная. Множество ее возможных значений состоит из четырех элементов, которые целесообразно расположить в порядке возрастания и обозначить соответственно через: х1 = - 4; х2 = - 1; х3 = 2; х3 = 5. Таблица 1 - Ряд распределения случайной величины х |
хi | - 4 | - 1 | 2 | 5 | | рi | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | | |
р1 = Р() = 0,1 - по условию; р2 = Р() = 0,3; р3 = Р() = Р(А) - Р(А·В) = 0,6 - 0,2 = 0,4; р4 = Р(А·В) = 0,2. Зная ряд распределении случайной величины х, ее математическое ожидание mх найдем по формуле: mх = - 4 · 0,1 - 1 · 0,3 + 2 · 0,4 + 5 · 0,2 = 1,1. Значит, в среднем предприятие увеличит свой счет в банке на 1,1 единицы. Ответ: 1) вероятность выполнения цехом В плана Р(В) = 0,5; 2) события А и В зависимы; 3) вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке равна 0,4; 4) в среднем предприятие увеличит свой счет в банке на 1,1 единицы. Задача №2 Оптовая база заключает договора с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью р = 0,3, причем независимо от других магазинов. Требуется: 1) определить минимальное количество магазинов (nб), с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее б = 0,95 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день; 2) при найденном в пункте 1 значении nб определить: а) наиболее вероятное число заявок (m*) на обслуживание на очередной день и вероятность поступления такого количества заявок; b) вероятность поступления не менее (n - 1) заявок; с) математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день. Решение 1) Минимальный объем nб серии испытаний, при котором вероятность наступления события А хотя бы один раз будет не менее 0,95, определим из условия, с помощью неравенства: Получим: Отсюда nб = 9. Минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,95 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день равна 9. 2) а) Наиболее вероятное значение m* случайной величины х найдем из условия: В нашем случае n = 9, р = 0,3, q = 1 - р = 1 - 0,3 = 0,7 оно принимает вид: Отсюда m* = 3, тогда по формуле Бернулли: Наиболее вероятное значение числа заявок на обслуживание на очередной день m* = 3 и вероятность Р(х = 3) поступления такого количества заявок равна 0,2668. b) Найдем вероятность поступления не менее 8 заявок. Воспользуемся формулой: Вычислим вероятности, стоящие в этом равенстве справа. Вероятность поступления не менее 8 заявок с) Для случайной величины х, распределенной по биноминальному закону с параметрами n и р, ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам: Получим: Ответ: 1) минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,95 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день равна 9; 2) а) m* = 3; Р(х = 3) = 0,2668; b) с) Задача №3 В автосалоне ежедневно выставляются на продажу автомобили двух марок - А и В. В течение дня продается Х машин марки А и Y машин марки В, причем независимо от того, сколько их было продано в предыдущие дни. Машина марки А стоит 5 ед., машина марки В - 7 ед. Закон распределения вероятностей системы (Х; Y) задан таблицей 2. Таблица 2 - Распределение вероятностей системы (Х; Y) |
хi | pi | | | 0 | 1 | 2 | | 0 | P11 = 0,08 | P12 = 0,09 | P13 = 0,04 | | 1 | P21 = 0,08 | P22 = 0,27 | P23 = 0,19 | | 2 | P31 = 0,04 | P32 = 0,16 | P33 = 0,05 | | |
Требуется: 1) определить, какая марка машин пользуется в автосалоне наибольшим спросом; 2) выяснить, зависит ли число проданных автомашин марки А от числа проданных автомашин марки В; 3) найти ожидаемую (среднюю) дневную выручку автосалона; 4) оценить (с помощью дисперсии) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения. Пояснение: считать, что если Р(Х>Y) > P(Y>X), то машины марки А пользуются большим спросом, чем машины марки В. Решение 1) Найдем вероятность Р(X>Y) и P(Y>X). Р(X>Y) = Р (х = 1, у = 0) + Р (х = 2, у = 0) + Р (х = 2, у = 1); Р(X>Y) = 0,08 + 0,04 + 0,16 = 0,28. P(Y>X) = Р(х = 0, у = 1) + Р (х = 0, у = 2) + Р (х = 1, у = 2); P(Y>X) = 0,09 + 0,04 + 0,19 = 0,32. Таким образом Р(X>Y)< P(Y>X), так как 0,28<0,32. Следовательно машины марки В пользуются в автосалоне наибольшим спросом. 2) Случайная величина х определяет число проданных в течение дня машин марки А, случайная величина у - число проданных машин марки В. Найдем распределение случайной величины х: х1 = 0; х2 = 1; х3 = 2. Р(х = х1) = р1 = 0,08 + 0,09 + 0,04 = 0,21; Р(х = х2) = р2 = 0,08 + 0,27 + 0,19 = 0,54; Р(х = х3) = р3 = 0,04 + 0,16 + 0,05 = 0,25. Таблица 3 - Ряд распределения случайной величины х Составляем распределение случайной величины у: у1 = 0; у2 = 1; у3 = 2. Р(y = y1) = р1 = 0,08 + 0,08 + 0,04 = 0,2; Р(y = y2) = р2 = 0,09 + 0,27 + 0,16 = 0,52; Р(y = y3) = р3 = 0,04 + 0,19 + 0,05 = 0,28. Таблица 4 - Ряд распределения случайной величины y Если pi · pj = pij для всех (i; j), то случайные величины х и у являются независимыми. Например: для i = 1 и j = 1 pi · pj = 0,21 · 0,2 = 0,042, а p11 = 0,08. Так как p1 · p1 ? p11, то случайные величины х и у являются зависимыми. 3) Пусть случайная величина z определяет дневную выручку автосалона. так как по условию задачи машина марки А стоит 5 ед., машина марки В - 7 ед., то величина z будет иметь вид z = 5 · х + 7 · у. mz = 5 · mx + 7 · my mz = 5 · 1,04 + 7 · 1,08 = 5,2 + 7,56 = 12,76 (ед.). Ожидаемая (средняя) дневная выручка автосалона составит 12,76 ед. 4) Найдем дисперсию случайной величины z = ах + bу по формуле: В нашем случае а = 5, b = 7. Dх = 02 · 0,21 + 12 · 0,54 + 22 · 0,25 - 1,042 = 0,54 + 1 - 1,0816 = 0,4584, Dу = 02 · 0,2 + 12 · 0,52 + 22 · 0,28 - 1,082 = 0,52 + 1,12 - 1,1664 = 0,4736, используя исходные данные таблицы 2, получим: , Возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения равны 6,16 ед. Ответ: 1) машины марки В пользуются в автосалоне наибольшим спросом; 2) число проданных автомашин марки А зависит от числа проданных автомашин марки В; 3) ожидаемая (средняя) дневная выручка автосалона составит 12,76 ед.; 4) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения равны 6,16 ед. Задача №4 Торговая фирма располагает разветвленной сетью филиалов и есть основания считать, что ее суммарная дневная выручка х является нормально распределенной случайной величиной. Выявленные значения этой величины по 100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда (таблица 5). Таблица 5 - интервальный ряд |
I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | (xi-1; хi) | (0; 5) | (5; 10) | (10; 15) | (15; 20) | (20; 25) | (25; 30) | (30; 35) | (35; 40) | | ni | 3 | 5 | 20 | 24 | 22 | 15 | 7 | 4 | | |
Требуется: 1) построить гистограмму относительных частот; 2) определить несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания mx и дисперсии , случайной величины х; 3) найти 95-процентные доверительные интервалы для mx и дх. Решение 1) Все восемь интервалов выборки имеют одну и туже длину ?х = 5. Плотность частот на этих интервалах найдем по формуле: Площадь каждого i-ого прямоугольника равна относительной частоте i-ого интервала, определяемой по формуле: Получим таблицу 6. Таблица 6 - Расчетная таблица для построения гистограммы |
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | (xi-1; хi) | (0; 5) | (5; 10) | (10; 15) | (15; 20) | (20; 25) | (25; 30) | (30; 35) | (35; 40) | | ni | 3 | 5 | 20 | 24 | 22 | 15 | 7 | 4 | | | 0,03 | 0,05 | 0,20 | 0,24 | 0,22 | 0,15 | 0,07 | 0,04 | | | 0,006 | 0,01 | 0,04 | 0,048 | 0,044 | 0,03 | 0,014 | 0,008 | | |
Рисунок 2 - Гистограмма приведенных относительных частот Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение вероятностей нормальным. 2) Несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания mx и дисперсии , случайной величины х найдем по формулам: где хi - середина i-ого интервала. mx=0,01· (2,5·3+7,5·5+12,5·20+17,5·24+22,5·22+27,5·15+32,5·7+37,5·4)= = 0,01· (7,5+37,5+250+420+495+412,5+227,5+150) = = 0,01 · 2000 = 20 усл. ден. ед. (усл. ден. ед.)2 3) Доверительный интервал для неизвестного mx имеет вид: Так как выборка взята из нормальной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, то величина дх определяется по формуле: где n = 100, а есть аргумент функции Лапласа Ф(х), при котором По таблице находим Тогда: Доверительный интервал для имеет вид: где s = 7,96, а величина q = 0,143 определяется по таблице по г = 0,95 и n = 100. Ответ: 1) рисунок 2; 2) mx = 20 усл. ден. ед.; (усл. ден. ед.)2; Задача №5 По результатам n = 16 замеров времени Х изготовления детали определены выборочное среднее и исправленная дисперсия s2 = 16. Полагая распределение случайной величины Х нормальным, на уровне значимости б = 0,1 решить, можно ли принять а0 = 90 в качестве нормативного времени изготовления детали. Пояснение: Основную гипотезу Н0: mx = а0 проверить при альтернативной гипотезе На: mx ? а0. Решение 1. Н0: mx = а0 = 90. 2. На: mx ? 90. 3. Так как выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с не известными mx и ух, то в качестве критерия проверки гипотез выберем распределение Стьюдента с k = n - 1 = 16 - 1 = 15 степенями свободы. 4. По виду Н0, На и К заключаем, что критическая область в данном случае будет двусторонней. 5. Тогда 1,75, находим по критическим точкам распределения Стьюдента (Приложение), при уровне значимости 0,1 и 15 степенями свободы. 1,75; 1,75 6. Вычислим наблюдаемое значение критерия К: 7. Так как || >, 2,16 > 1,75 - гипотеза Н0 отвергается. Ответ: Нулевая гипотеза отвергается. Список использованной литературы 1. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 9-е изд.- М.: Высшая школа, 2004. - 404 с. 2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1998. - 542 с. 3. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов / Е.С. Венцель. - 6-е изд. стер. - М.: Высшая школа, 1999. - 576 с. 4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 498 с. 5. Сизова, Т.М. Статистика: Учебное пособие / Т.М. Сизова. - СПб.: СПб ГУИТМО, 2005. - 80 с.
|