Экономико-математическое моделирование : Статистические задачи
Статистические задачи
ЗАДАЧА 1 По исходным данным вычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам): а) средний уровень ряда динамики; б) абсолютный прирост; в) темп роста; г) темп прироста; д) абсолютное значение 1% прироста; е) средний темп роста и средний темп прироста. Средний уровень интервального ряда определим по формуле: где Yi - значение грузооборота; n - число значений в динамическом ряду. Абсолютный прирост относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле: ДYi=Yi-Y0 Абсолютный прирост грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле: ДYi=Yi-Yi-1 Темп роста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле: Темп роста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле: Темп прироста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле: Темп прироста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле: Средний темп роста грузооборота определим по формуле: Средний темп прироста грузооборота определим по формуле: Абсолютное значение одного процента прироста определим по формуле: Результаты расчёта аналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1 Таблица 1 - Основные аналитические показатели ряда динамики |
Показатель | Схема счета | Периоды | | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | Уровень ряда | | 1199 | 1253 | 1573 | 1385 | 1276 | 1385 | 1266 | 1358 | | Средний уровень ряда | | 1336,875 | | | | | | | | | Абсолютный прирост | Базисная | 100 | 54,0 | 374,0 | 186,0 | 77,0 | 186 | 67 | 159 | | | Цепная | 100 | 54,0 | 320,0 | -188,0 | -109,0 | 109,0 | -119,0 | 92,0 | | Темп роста | Базисная | 100 | 104,5 | 131,2 | 115,5 | 106,4 | 115,5 | 105,6 | 113,3 | | | Цепная | 100 | 104,5 | 125,5 | 88,0 | 92,1 | 108,5 | 91,4 | 107,3 | | Темп прироста | Базисная | 100 | 4,5 | 31,2 | 15,5 | 6,4 | 15,5 | 5,6 | 13,3 | | | Цепная | 100 | 4,5 | 25,5 | -12,0 | -7,9 | 8,5 | -8,6 | 7,3 | | Абсолютное значение 1% прироста | | | 11,99 | 12,53 | 15,73 | 13,85 | 12,76 | 13,85 | 12,66 | | Средний темп роста | | 101,79 | | | | | | | | | Средний темп прироста | | 1,79 | | | | | | | | | |
Произведем сглаживание данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней, централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным трех лет, и построим график сезонной волны. Сглаживание рядов динамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методами аналитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам: ; и т.д. - нецентрализованная - централизованная Коэффициент сезонности определяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле: Средний коэффициент сезонности за рассматриваемый период находим по формуле: где n - количество рассчитанных коэффициентов сезонности по одноименным месяцам. Расчет скользящей средней и коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2. Простроим график сезонной волны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1. Рисунок 1 - График сезонной волны Таблица 2 - Расчет коэффициента сезонности |
Год | Месяц | Уровень ряда | Скользящая средняя | Коэффициент сезонности | Средний коэффициент сезонности | | | | | нецентрированная | центрированная | | | | 1994 | 1 | 21,1 | | | | | | | 2 | 22,8 | | | | | | | 3 | 23,9 | | | | | | | 4 | 23,8 | | | | | | | 5 | 24,5 | | | | | | | 6 | 24,6 | 23,550 | | | | | | 7 | 25,9 | 23,492 | 23,521 | 104,016 | | | | 8 | 25,7 | 23,617 | 23,554 | 103,213 | | | | 9 | 24,2 | 23,783 | 23,700 | 97,189 | | | | 10 | 25,5 | 23,942 | 23,863 | 102,410 | | | | 11 | 22,3 | 24,067 | 24,004 | 89,558 | | | | 12 | 18,3 | 24,217 | 24,142 | 73,494 | | | 1995 | 1 | 20,4 | 24,308 | 24,263 | 81,928 | 81,53 | | | 2 | 24,3 | 24,408 | 24,358 | 97,590 | 97,39 | | | 3 | 25,9 | 24,500 | 24,454 | 104,016 | 107,23 | | | 4 | 25,7 | 24,592 | 24,546 | 103,213 | 107,03 | | | 5 | 26 | 24,608 | 24,600 | 104,418 | 107,83 | | | 6 | 26,4 | 24,750 | 24,679 | 106,024 | 110,84 | | | 7 | 27 | 24,733 | 24,742 | 108,434 | 106,22 | | | 8 | 26,9 | 24,725 | 24,729 | 108,032 | 105,62 | | | 9 | 25,3 | 24,858 | 24,792 | 101,606 | 99,40 | | | 10 | 26,6 | 25,017 | 24,938 | 106,827 | 104,62 | | | 11 | 22,5 | 25,158 | 25,088 | 90,361 | 89,96 | | | 12 | 20 | 25,358 | 25,258 | 80,321 | 76,91 | | 1996 | 1 | 20,2 | 25,517 | 25,438 | 81,124 | | | | 2 | 24,2 | 25,942 | 25,729 | 97,189 | | | | 3 | 27,5 | 26,325 | 26,133 | 110,442 | | | | 4 | 27,6 | 26,367 | 26,346 | 110,843 | | | | 5 | 27,7 | 26,467 | 26,417 | 111,245 | | | | 6 | 28,8 | 26,400 | 26,433 | 115,663 | | | | 7 | 28,9 | | | | | | | 8 | 32 | | | | | | | 9 | 29,9 | | | | | | | 10 | 27,1 | | | | | | | 11 | 23,7 | | | | | | | 12 | 19,2 | | | | | | Итого: | 896,4 | | | | | | Средняя: | 24,90 | | | | | | |
Из графика видно, что коэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце - уменьшается. Наибольшее отклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц. ЗАДАЧА 2 Произвести аналитическое выравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родам грузов: а) при равномерном развитии y = a0 + a1t ; б) при развитии с переменным ускорением (замедлением) yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ; в) при изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов yt = a0 + (ak cosRt + bk sinRt) . Результаты расчётов представить в виде таблиц и графиков. 1. Способ отсчета времени от условного начала, когда ?t=0, дает возможность определить параметры математической функции по формулам: Результаты вычислений приведем в таблице 3: Таблица 3 - Вычисление параметров функции y=a0+a1t и y=a0+a1t+a2t2+a3t3 |
Год | t | y | tІ | ty | t4 | t6 | tІy | tіy | Yti* | Yt | (Yti*-y)І | (Yt-y)І | | 1 | -4 | 1199 | 16 | 256 | 4096 | -4796 | 19184 | -76736 | 1324,2 | 1175,2 | 15677,13 | 566,75 | | 2 | -3 | 1253 | 9 | 81 | 729 | -3759 | 11277 | -33831 | 1327,4 | 1354,3 | 5531,64 | 10254,93 | | 3 | -2 | 1573 | 4 | 16 | 64 | -3146 | 6292 | -12584 | 1330,5 | 1432,5 | 58786,04 | 19730,33 | | 4 | -1 | 1385 | 1 | 1 | 1 | -1385 | 1385 | -1385 | 1333,7 | 1438,1 | 2630,84 | 2817,52 | | 5 | 1 | 1276 | 1 | 1 | 1 | 1276 | 1276 | 1276 | 1340,0 | 1343,3 | 4101,34 | 4532,35 | | 6 | 2 | 1385 | 4 | 16 | 64 | 2770 | 5540 | 11080 | 1343,2 | 1299,2 | 1746,54 | 7364,77 | | 7 | 3 | 1266 | 9 | 81 | 729 | 3798 | 11394 | 34182 | 1346,4 | 1294,6 | 6460,14 | 820,27 | | 8 | 4 | 1358 | 16 | 256 | 4096 | 5432 | 21728 | 86912 | 1349,5 | 1357,8 | 71,54 | 0,05 | | итого | 0 | 10695 | 60 | 708 | 9780 | 190 | 78076 | 8914 | 10695,0 | 10695,0 | 95005,21 | 46086,98 | | |
Тогда: Уравнение при равномерном развитии: y = 1336,88 - 3,17 • t 2. Для вычисления параметров функции y=a0+a1t+a2t2+a3t3 : Тогда: Уравнение при развитии с переменным ускорением (замедлением): yt= 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t2 + 4,68 t3; 3. По рассмотренным моделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2. Рисунок 2 - График фактических и теоретических уровней ряда Рассчитаем стандартизированную ошибку аппроксимации - 4. При изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов необходимо рассчитать параметры: Результаты расчётов сведём в таблицу 4 Таблица 4 - Выравнивание ряда динамики y=a0+(aкcosRt+ bкsinRt), 1998 год |
Месяц | ti | yi | cos ti | sin ti | yi•cos ti | yi•sin ti | yti | | 1 | 0 | 21,10 | 1 | 0 | 21,1 | 0 | 21,21 | | 2 | (1:6)р | 22,80 | 0,86616 | 0,5 | 19,748 | 11,4 | 21,66 | | 3 | (1:3) р | 23,90 | 0,5 | 0,866 | 11,95 | 20,6974 | 22,62 | | 4 | (1:2) р | 23,80 | 0 | 1 | 0 | 23,8 | 23,82 | | 5 | (2:3) р | 24,50 | -0,5 | 0,866 | -12,25 | 21,217 | 24,96 | | 6 | (5:6) р | 24,60 | -0,866 | 0,5 | -21,3 | 12,3 | 25,71 | | 7 | р | 25,90 | -1 | 0 | -25,9 | 0 | 25,89 | | 8 | (7:6) р | 25,70 | -0,866 | -0,5 | -22,26 | -12,85 | 25,44 | | 9 | (4:3) р | 24,20 | -0,5 | -0,866 | -12,1 | -20,9572 | 24,48 | | 10 | (3:2) р | 25,50 | 0 | -1 | 0 | -25,5 | 23,28 | | 11 | (5:3) р | 22,30 | 0,5 | -0,866 | 11,15 | -19,3118 | 22,14 | | 12 | (11:6) р | 18,30 | 0,866 | -0,5 | 15,848 | -9,15 | 21,39 | | | - | 282,6 | | | -14,01 | 1,6454 | 282,60 | | | Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3. Рисунок 3 - График фактических и теоретических уровней ряда выравнивания Фактические и теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа на гармоническую функцию. Поэтому функцию можно использовать для выравнивания ряда динамики. ЗАДАЧА 3 По данным таблицы определить: 1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом; 2) сводный индекс расхода топлива на дороге; 3) изменение среднего удельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топлива на 10000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборота по отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно; 4) абсолютный размер экономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, за счет изменения удельного расхода топлива на отделениях. Таблица 10 - Грузооборот и удельный расход топлива по отделениям железной дороги |
Отделение | Удельный расход топлива, кг/10000 т·км брутто. | Грузооборот брутто, млн. т·км | Выполнение норм удельного расхода топлива, % | Расход топлива, тонн | | | Норма | Факти-чески | Норма | Факти-чески | % выпол-нения | | План | Факт | Отчетного по удельному расходу базисного | | 1 | 50 | 47 | 200 | 113 | 56,5 | 94,0 | 10000 | 5311 | 5650 | | 2 | 55 | 57 | 320 | 102 | 31,9 | 103,6 | 17600 | 5814 | 5610 | | 3 | 48 | 45 | 400 | 101 | 25,3 | 93,8 | 19200 | 4545 | 4848 | | | | | 920 | 316 | 113,6 | | 46800 | 15670 | 16108 | | |
1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороги в целом Iи=?и1q1 / ?и0q1 =15670 / 16108 = 0,973 2) Сводный индекс расхода топлива Iиq=?и1q1 / ?и0q0 =15670 / 46800 = 0,335 3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава Iи = ?и1q1/?q1 : ?и0q0/?q0 = ?и1q1/?и0q1= 15670/316 : 46800/920 = 0,975 Индекс удельного расхода топлива постоянного состава Iи=?и1q1/?q1 : ?и0q1/?q1= ?и1q1/?и0q1 = 15670 / 16108 = 0,973 Индекс структурных сдвигов Iстр= ?и0q1/?q1 : ?и0q0/?q0 = 16108/316 : 46800/920 = 1,002 4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода Диq=?и1q1-?и0q1= 15670 - 16108 = -438 кг за счет изменения грузооборота Диqq=?и0q1-?и0q0= 16108 - 46800 = -30692 кг ЗАДАЧА 4 № 1. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих: |
Часовая выработка, шт. | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 | | Число рабочих | 2 | 8 | 24 | 50 | 12 | 4 | | |
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода. Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле: Дисперсия где хi - часовая выработка - средняя часовая выработка по всем рабочим выборки; fi - сумма всех частот |
Часовая выработка, шт. | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 | | | Число рабочих | 2 | 8 | 24 | 50 | 12 | 4 | 100 | | | 40 | 176 | 576 | 1300 | 288 | 120 | 2500 | | (xi - )2 | -10 | -24 | -24 | 50 | 36 | 20 | 48 | | |
?х = ± t · мx ?х = ± 3 · 0,66 = 2 шт. Ответ: с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% - 66%. Литература 1. Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическими указаниями. - Гомель: БелГУТ, 2000. - 30 с. 2. Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическими указаниями. - Гомель: БелГУТ, 2000. - 31 с. 3. Общая теория статистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова, Н.И. Яковлева. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 279 с., ил.
|