Экономико-математическое моделирование : Статистическая детерминированная модель управления запасами без дефицита

Статистическая детерминированная модель управления запасами без дефицита

19

Кафедра АСУ

Курсовой проект

Статистическая детерминированная модель управления запасами без дефицита

Рязань, 2004

В курсовой работе рассматривается детерминированная модель управления запасами без дефицита и примеры ее реализации. Решается несколько типов задач с различными исходными данными. Делаются выводы об оптимальных значениях параметров для минимизации затрат.

В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвения капитала и т. п.) и затраты на штрафы.

Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения и расхода запасов, при которой функция затрат принимает минимальное значение.

В курсовом проекте рассматривается простейшая модель управления запасами - управление запасами без дефицита. В ней функции A(t), B(t), R(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0, t]. В моделях управления запасами обычно используются производные этих функции по времени a(t), b(t), r(t), называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса запасаемого продукта.

Если функции a(t), b(t), r(t) - не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одно из них носит случайный характер - стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические - в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решении с учетом происходящих изменений.

В настоящее время широко развиты информационные технологии. Они продолжают совершенствоваться и становятся все более доступны для широкого круга людей. Их применение облегчает работу сотрудников многих фирм, которым требуется производить множество расчетов, строить модели и др. При помощи информационных технологий можно смоделировать множество процессов, существенно ускорить и упростить обработку информации. В курсовом проекте также применяются информационные технологии для моделирования экономической задачи управления запасами без дефицита

19

Рис.1

На временном интервале [0, T] уровень запаса уменьшается по прямой

J(t) = n - b*t от значения n до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент T уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения n за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J(t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью T (см. Рис.1).

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса - через С1, затраты на хранение запаса - через С2 и найдем эти величины за весь промежуток времени Т.

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны с1, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени - с2. Так как за время необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема n, то число таких партий k равно:

, (3)

Отсюда получаем

, (4)

Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны с2*J(t). Значит, за промежуток времени [0, T] они составят

или, учитывая (2):

Средний запас за промежуток [0, T] равен (n*T)/2, т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

Учитывая периодичность функции J(t) (всего за промежуток времени будет k = N/n «зубцов», аналогичных рассмотренному на отрезке [0, T]), и формулу (3), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени равны:

, (5)

Нетрудно заметить, что затраты С1 обратно пропорциональны, а затраты С2 прямо пропорциональны объему партии n. Графики функций С1(n) и C2(n), а также функции суммарных затрат

, (6)

приведены на Рис.2:

Рис.2

В точке минимума функции C(n) ее производная

, откуда

, (7)

или, учитывая (1):

, (8)

Формула (8), называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение С1*С2 = 0,5*с1*с2*N* есть величина постоянная, не зависящая от n. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, т.е. С1 = С2 или

, (9)

откуда получаем (7).

Из (9) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигает тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

, (10)

откуда, учитывая (7) и (1), получим

или , (11)

Число оптимальных партий за время с учетом (3), (7) и (1) равно:

.

Время расхода оптимальной партии на основании (2) с учетом (7) и (1) равно

, (12)

или

, (13).

2. Выбор программных средств

Для разработки программной модели использовалось приложение Microsoft Excel. Потому что оно позволяет производить вычисления без написания специального программного кода, а это важно для людей, не очень хорошо разбирающихся в программировании, или для тех, кому нужно быстро решить одну проблему. Это значительно облегчает задачу, так как, введя исходные данные, нам нужно просто описать формулы, по которым они будут обрабатываться, а приложение само вычислит результат.

3. Разработка программной модели

Программная модель - это рабочий документ (книга) Microsoft Excel. В определенные ячейки таблицы мной были введены исходные данные, используемые при решении задачи. Для получения результатов, в соответствующих ячейках таблицы я ввел формулы, описанные в анализе предметной области данной курсовой работы.

Следовательно, в роли программной модели в данном случае выступает электронная таблица, в одних ячейках которой находятся исходные данные, а в других - результаты. Связывают исходные данные и результаты - соответствующие формулы.

Ниже приведен алгоритм работы разработанной программной модели:

4. Тестирование модели

Например, рассмотрим задачу: потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120 000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 денежных единиц в сутки, а поставка партии -- 10 000. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок).

По условию затраты на одну партию составляют с1 = 10 000 денежных единиц, затраты хранения единицы запаса в сутки с2 = = 0,35 денежных единиц. Общий промежуток времени = 1 год = 365 дней, а общий объем запаса за этот период N = 120 000 деталей. По формуле (7)

деталей, а по (12)

дней.

Итак, наиболее экономичный объем партии равен 4335 деталей, а интервал между поставками 13 дней.

Решим данную задачу с помощью электронных таблиц Excel.

Исходные данные:

Рассчитаем количество партий, затраты на все партии и на хранение товара на складе, а также оптимальный объем партии n0:

Рассчитаем интервал между поставками:

По условиям предыдущей задачи, определим, на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса, по сравнению с минимальными затратами, при объеме заказываемых партий 5000 деталей.

Относительное изменение объема партии по сравнению с оптимальным n0 = 4335 составляет

Дn/n0 = (5000-4335)/4335 = 0,153.

В соответствии с формулой:

относительное изменение суммарных затрат составит ДС/С0 = 0,1532/2 ? 0,012 или лишь 1,2%.

Достоверные результаты, полученные при решении аналогичных задач в используемом мной учебном пособии, и результаты, полученные в результате работы программной модели, при одинаковых исходных данных совпадают. Отсюда следует вывод, что разработанная программная модель функционирует правильно. Значит, ее можно использовать для решения сходных задач управления запасами без дефицита, используя собственные исходные данные.

5. Использование разработанного программного средства

Построим график уровня запаса в зависимости от времени при постоянной величине поставки. Исходные данные введем в следующие ячейки:

t (сут) {A2:A3767},

T(сут) {B2:B3767}.

Результаты будем выводить в ячейки J(t) {C2:C3767}.

По полученным данным построим диаграмму:

В данном случае мы предполагали, что поставщик не допускает задержки поставок, и запас мгновенно пополняется при достижении им нулевого уровня. Также предполагалось, что величина поставки и интенсивность потребления остаются неизменными.

Рассмотрим случай, когда величина поставки каждый раз меняется по случайному закону:

n = 5000 + (Rnd(2000) -1000).

Исходные данные введем в следующие ячейки:

t(сут) {A2:A3767},

nRnd(шт) {H11:H35}

T(сут) {E2:E3767}.

Результаты будем выводить в ячейки J(t) {D2:D3767}.

По полученным данным построим диаграмму:

Такой разброс величины поставки может происходить из-за поломки транспорта, неточностей в документах и др.

Теперь рассмотрим как это повлияет на относительное изменение суммарных затрат ДС/С0:

На графике видно, что небольшое изменение объема партии по сравнению с оптимальным объемом практически не влияет на относительное изменение суммарных затрат. При больших изменениях относительное изменение суммарных затрат может достигать 1,5% - 3%, что негативно сказывается на деятельности фирмы.

Рассмотрим случай сезонного изменения интенсивности потребления запаса (простейший пример - сахар). В зимние, осенние и весенние месяцы потребление сахара гораздо ниже, чем в летние, следовательно, меняется период потребления партии продукта. Данное изменение мы можем видеть на графике