Экономико-математическое моделирование : Решение задач по эконометрике
Решение задач по эконометрике
21 СОДЕРЖАНИЕ Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Список использованной литературы Задание 1 Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y - стоимость квартиры (тыс. у.е.), x - размер общей площади (м2)). Данные приведены в табл. 1.4. Таблица 1 |
Месяц | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | у | 22,5 | 25,8 | 20,8 | 15,2 | 25,8 | 19,4 | 18,2 | 21,0 | 16,4 | 23,5 | 18,8 | 17,5 | | х | 29,0 | 36,2 | 28,9 | 32,4 | 49,7 | 38,1 | 30,0 | 32,6 | 27,5 | 39,0 | 27,5 | 31,2 | | |
Задание: 1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий и . 2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации. 3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом. 4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели. 5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии. 6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для . 7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями. Решение Составим таблицу расчетов 2. Все расчеты в таблице велись по формулам . Таблица 2 |
| х | х2 | у | ху | у2 | | | | | | | | А(%) | | | 29,0 | 841,0 | 22,5 | 652,5 | 506,3 | 2,1 | -4,5 | 4,38 | 20,33 | 18,93 | 3,57 | 12,75 | 15,871 | | | 36,2 | 1310,4 | 25,8 | 934,0 | 665,6 | 5,4 | 2,7 | 29,07 | 7,25 | 21,28 | 4,52 | 20,40 | 17,506 | | | 28,9 | 835,2 | 20,8 | 601,1 | 432,6 | 0,4 | -4,6 | 0,15 | 21,24 | 18,90 | 1,90 | 3,62 | 9,152 | | | 32,4 | 1049,8 | 15,2 | 492,5 | 231,0 | -5,2 | -1,1 | 27,13 | 1,23 | 20,04 | -4,84 | 23,43 | 31,847 | | | 49,7 | 2470,1 | 25,8 | 1282,3 | 665,6 | 5,4 | 16,2 | 29,07 | 262,17 | 25,70 | 0,10 | 0,01 | 0,396 | | | 38,1 | 1451,6 | 19,4 | 739,1 | 376,4 | -1,0 | 4,6 | 1,02 | 21,08 | 21,90 | -2,50 | 6,27 | 12,911 | | | 30,0 | 900,0 | 18,2 | 546,0 | 331,2 | -2,2 | -3,5 | 4,88 | 12,31 | 19,26 | -1,06 | 1,12 | 5,802 | | | 32,6 | 1062,8 | 21,0 | 684,6 | 441,0 | 0,6 | -0,9 | 0,35 | 0,83 | 20,11 | 0,89 | 0,80 | 4,256 | | | 27,5 | 756,3 | 16,4 | 451,0 | 269,0 | -4,0 | -6,0 | 16,07 | 36,10 | 18,44 | -2,04 | 4,16 | 12,430 | | | 39,0 | 1521,0 | 23,5 | 916,5 | 552,3 | 3,1 | 5,5 | 9,56 | 30,16 | 22,20 | 1,30 | 1,69 | 5,536 | | | 27,5 | 756,3 | 18,8 | 517,0 | 353,4 | -1,6 | -6,0 | 2,59 | 36,10 | 18,44 | 0,36 | 0,13 | 1,923 | | | 31,2 | 973,4 | 17,5 | 546,0 | 306,3 | -2,9 | -2,3 | 8,46 | 5,33 | 19,65 | -2,15 | 4,62 | 12,277 | | | 402,1 | 13927,8 | 244,9 | 8362,6 | 5130,7 | 0,0 | 0,0 | 132,7 | 454,1 | - | - | 79,0 | 129,9 | | Среднее значение | 33,5 | 1160,7 | 20,4 | 696,9 | 427,6 | - | - | - | - | - | - | 6,6 | 10,8 | | | 6,43 | - | 3,47 | - | - | | | | | 41,28 | - | 12,06 | - | - | | | | |
Тогда , и линейное уравнение регрессии примет вид: . Рассчитаем коэффициент корреляции: . Связь между признаком и фактором заметная. Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции. R2 = 0,6062 = 0,367 Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии. Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации: , допустимые значения которой 8 - 10 %. Вычислим значение -критерия Фишера. , где - число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной ); - объем совокупности. . По таблице распределения Фишера находим . Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется. Так как , то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной. Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии . Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3. Таблица 3|
| | | y | yU | y2 | | | | | | | | А(%) | | | 5,385 | 29,0 | 22,5 | 121,17 | 506,25 | 1,640 | -0,452 | 2,69 | 0,20 | 13,74 | 8,76 | 76,7 | 38,92 | | | 6,017 | 36,2 | 25,8 | 155,23 | 665,64 | 4,940 | 0,180 | 24,40 | 0,03 | 14,01 | 11,79 | 139,0 | 45,70 | | | 5,376 | 28,9 | 20,8 | 111,82 | 432,64 | -0,060 | -0,461 | 0,004 | 0,21 | 13,74 | 7,06 | 49,9 | 33,95 | | | 5,692 | 32,4 | 15,2 | 86,52 | 231,04 | -5,660 | -0,145 | 32,04 | 0,02 | 13,87 | 1,33 | 1,8 | 8,72 | | | 7,050 | 49,7 | 25,8 | 181,89 | 665,64 | 4,940 | 1,213 | 24,40 | 1,47 | 14,42 | 11,38 | 129,5 | 44,11 | | | 6,173 | 38,1 | 19,4 | 119,75 | 376,36 | -1,460 | 0,336 | 2,13 | 0,11 | 14,07 | 5,33 | 28,4 | 27,45 | | | 5,477 | 30,0 | 18,2 | 99,69 | 331,24 | -2,660 | -0,360 | 7,08 | 0,13 | 13,78 | 4,42 | 19,5 | 24,27 | | | 5,710 | 32,6 | 21,0 | 119,90 | 441 | 0,140 | -0,127 | 0,02 | 0,02 | 13,88 | 7,12 | 50,7 | 33,89 | | | 5,244 | 27,5 | 16,4 | 86,00 | 268,96 | -4,460 | -0,593 | 19,89 | 0,35 | 13,68 | 2,72 | 7,4 | 16,58 | | | 6,245 | 39,0 | 23,5 | 146,76 | 552,25 | 2,640 | 0,408 | 6,97 | 0,17 | 14,10 | 9,40 | 88,3 | 39,98 | | | 58,368 | 343,4 | 208,600 | 1228,71 | 4471,02 | - | - | - | - | - | - | - | 313,567 | | Среднее значение | 5,837 | 34,34 | 20,860 | 122,871 | 447,10 | - | - | - | - | - | - | - | 31,357 | | | 0,549 | - | 3,646 | - | - | - | - | | | 0,302 | - | 13,292 | - | - | - | - | | | Рассчитаем параметры уравнения:,,.Коэффициент корреляции.Коэффициент детерминации,следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .,,следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии .Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е. ..Определим ошибки .,,, ,, .Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.Рассчитаем . Тогда .Средняя ошибка прогноза, где,.Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью : ,,.Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии .Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е. ..Определим ошибки .,,, ,, .Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.1. , следовательно, качество модели не очень хорошее.2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.Рассчитаем . Тогда .3. Средняя ошибка прогноза, где,.Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью : ,,.Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .Задание 2Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.Известны - чистый доход (у), оборот капитала (х1), использованный капитал (х2) в млрд у.е. Таблица 4|
у | х1 | х2 | | 1,5 | 5,9 | 5,9 | | 5,5 | 53,1 | 27,1 | | 2,4 | 18,8 | 11,2 | | 3,0 | 35,3 | 16,4 | | 4,2 | 71,9 | 32,5 | | 2,7 | 93,6 | 25,4 | | 1,6 | 10,0 | 6,4 | | 2,4 | 31,5 | 12,5 | | 3,3 | 36,7 | 14,3 | | 1,8 | 13,8 | 6,5 | | 2,4 | 64,8 | 22,7 | | 1,6 | 30,4 | 15,8 | | | Задание:1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б=0,01).4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.РешениеРезультаты расчетов приведены в табл. 5. Таблица 5 |
| y | x1 | x2 | yx1 | yx2 | x1x2 | x12 | x22 | y2 | | | 1,5 | 5,9 | 5,9 | 8,85 | 8,85 | 34,81 | 34,81 | 34,81 | 2,25 | | | 5,5 | 53,1 | 27,1 | 292,05 | 149,05 | 1439,01 | 2819,61 | 734,41 | 30,25 | | | 2,4 | 18,8 | 11,2 | 45,12 | 26,88 | 210,56 | 353,44 | 125,44 | 5,76 | | | 3 | 35,3 | 16,4 | 105,90 | 49,20 | 578,92 | 1246,09 | 268,96 | 9 | | | 4,2 | 71,9 | 32,5 | 301,98 | 136,50 | 2336,75 | 5169,61 | 1056,25 | 17,64 | | | 2,7 | 93,6 | 25,4 | 252,72 | 68,58 | 2377,44 | 8760,96 | 645,16 | 7,29 | | | 1,6 | 10 | 6,4 | 16,00 | 10,24 | 64,00 | 100,00 | 40,96 | 2,56 | | | 2,4 | 31,5 | 12,5 | 75,60 | 30,00 | 393,75 | 992,25 | 156,25 | 5,76 | | | 3,3 | 36,7 | 14,3 | 121,11 | 47,19 | 524,81 | 1346,89 | 204,49 | 10,89 | | | 1,8 | 13,8 | 6,5 | 24,84 | 11,70 | 89,70 | 190,44 | 42,25 | 3,24 | | | 2,4 | 64,8 | 22,7 | 155,52 | 54,48 | 1470,96 | 4199,04 | 515,29 | 5,76 | | | 1,6 | 30,4 | 15,8 | 48,64 | 25,28 | 480,32 | 924,16 | 249,64 | 2,56 | | | 32,4 | 465,8 | 196,7 | 1448,33 | 617,95 | 10001,03 | 26137,30 | 4073,91 | 102,96 | | Средн. | 2,7 | 38,8 | 16,4 | 120,69 | 51,50 | 833,42 | - | - | 65,80 | | | 1,2 | 27,1 | 8,8 | - | - | - | - | - | - | | | 1,4 | 732,4 | 77,2 | - | - | - | - | - | - | | |
Рассматриваем уравнение вида: . Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений: Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе: , где - стандартизированные переменные, - стандартизированные коэффициенты: Коэффициенты определяются из системы уравнений: , ; ; , ; , ; , ; , ; , ; . Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид: . Естественная форма уравнения регрессии имеет вид: . Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности: , , . Следовательно, при увеличении оборота капитала (x1) на 1% чистый доход (y) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня. Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом: , . Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле . Коэффициент множественной детерминации . , где - объем выборки, - число факторов модели. В нашем случае . Так как , то и потому уравнение незначимо. Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии. Для этого рассчитаем частные -статистики. . Так как , то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора . . Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора . Результаты расчетов позволяют сделать вывод : 1) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии; 2) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии. Задание 3 1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели. 2. Определите тип модели. 3. Определите метод оценки параметров модели. 4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода. 5. Результаты оформите в виде пояснительной записки. Модель денежного и товарного рынков:
Rt = a1+b12Yt+b14Mt+1, Yt = a2+b21Rt+ b23It+ b25Gt+2, It = a3+b31Rt+3, где R - процентные ставки; Y - реальный ВВП; M - денежная масса; I - внутренние инвестиции; G - реальные государственные расходы. Решение 1. Модель имеет три эндогенные (RtYtIt) и две экзогенные переменные (MtGt). Проверим необходимое условие идентификации: 1-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано. 2-е уравнение: D=1, H=1, D+1=2 - уравнение сверхидентифицировано. 3-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано. Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено. Проверим достаточное условие: В первом уравнении нет переменных It, Gt Строим матрицу: det M = det , rank M =2. Во втором уравнении нет переменных Mt det M 0 В третьем уравнении нет переменных Yt, Mt, Gt Строим матрицу: det M / Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено. Система точно идентифицируема. 2. Найдем структурные коэффициенты модели. Для этого: Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы: Rt-b12Yt=a1+b12Mt Yt-b21Rt-b23It=a2+b25Gt It-b31Rt=a3 откуда , и , , , . Решаем систему относительно : . Найдем , где - алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , - минор, т.е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. , , , . Поэтому В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим . Задание 4 Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6. Таблица 6|
День | Глазное отделение | | 1 | 30 | | 2 | 22 | | 3 | 19 | | 4 | 28 | | 5 | 24 | | 6 | 18 | | 7 | 35 | | 8 | 29 | | 9 | 40 | | 10 | 34 | | 11 | 31 | | 12 | 29 | | 13 | 35 | | 14 | 23 | | 15 | 27 | | |
Требуется: 1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка. 2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры. 3. Сделать выводы. 4. Результаты оформить в виде пояснительной записки. Решение Определим коэффициент корреляции между рядами и . Ррасчеты приведены в таблице 7: |
| год | | | | | | | | | | | | | | | | 1 | 30 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | | | 2 | 22 | 30 | - | -6,14 | 1,64 | 37,73 | 2,70 | - | - | - | - | 10,09 | - | | | 3 | 19 | 22 | 30 | -9,14 | -6,36 | 83,59 | 40,41 | -9,36 | 1,23 | 87,56 | 1,51 | 58,12 | 11,52 | | | 4 | 28 | 19 | 22 | -0,14 | -9,36 | 0,02 | 87,56 | -0,36 | -6,77 | 0,13 | 45,82 | 1,34 | 2,42 | | | 5 | 24 | 28 | 19 | -4,14 | -0,36 | 17,16 | 0,13 | -4,36 | -9,77 | 18,98 | 95,44 | 1,48 | 42,57 | | | 6 | 18 | 24 | 28 | -10,14 | -4,36 | 102,88 | 18,98 | -10,36 | -0,77 | 107,27 | 0,59 | 44,19 | 7,97 | | | 7 | 35 | 18 | 24 | 6,86 | -10,36 | 47,02 | 107,27 | 6,64 | -4,77 | 44,13 | 22,75 | 71,02 | 31,68 | | | 8 | 29 | 35 | 18 | 0,86 | 6,64 | 0,73 | 44,13 | 0,64 | -10,77 | 0,41 | 115,98 | 5,69 | 6,92 | | | 9 | 40 | 29 | 35 | 11,86 | 0,64 | 140,59 | 0,41 | 11,64 | 6,23 | 135,56 | 38,82 | 7,62 | 72,54 | | | 10 | 34 | 40 | 29 | 5,86 | 11,64 | 34,31 | 135,56 | 5,64 | 0,23 | 31,84 | 0,05 | 68,19 | 1,30 | | | 11 | 31 | 34 | 40 | 2,86 | 5,64 | 8,16 | 31,84 | 2,64 | 11,23 | 6,98 | 126,13 | 16,12 | 29,68 | | | 12 | 29 | 31 | 34 | 0,86 | 2,64 | 0,73 | 6,98 | 0,64 | 5,23 | 0,41 | 27,36 | 2,27 | 3,36 | | | 13 | 35 | 29 | 31 | 6,86 | 0,64 | 47,02 | 0,41 | 6,64 | 2,23 | 44,13 | 4,98 | 4,41 | 14,82 | | | 14 | 23 | 35 | 29 | -5,14 | 6,64 | 26,45 | 44,13 | -5,36 | 0,23 | 28,70 | 0,05 | 34,16 | 1,24 | | | 15 | 27 | 23 | 35 | -1,14 | -5,36 | 1,31 | 28,70 | -1,36 | 6,23 | 1,84 | 38,82 | 6,12 | 8,46 | | | 120 | - | - | - | 0,00 | 0,00 | 547,71 | 549,21 | 3,36 | 0,00 | 507,94 | 518,31 | 330,84 | 234,47 | | Средн. | 8 | 28,14 28,36 | 28,36 | 28,77 | | | | | | | | | | | | |
Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции. Определим коэффициент автокорреляции второго порядка: , Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: . Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8. Таблица 8 |
| | | | | | | | | | | | | 1 | 30 | 1 | 900 | 30 | -7,00 | 49 | | | | | | 2 | 22 | 4 | 484 | 44 | -6,00 | 36 | | | | | | 3 | 19 | 9 | 361 | 57 | -5,00 | 25 | | | | | | 4 | 28 | 16 | 784 | 112 | -4,00 | 16 | | | | | | 5 | 24 | 25 | 576 | 120 | -3,00 | 9 | | | | | | 6 | 18 | 36 | 324 | 108 | -2,00 | 4 | | | | | | 7 | 35 | 49 | 1225 | 245 | -1,00 | 1 | | | | | | 8 | 29 | 64 | 841 | 232 | 0,00 | 0 | | | | | | 9 | 40 | 81 | 1600 | 360 | 1,00 | 1 | | | | | | 10 | 34 | 100 | 1156 | 340 | 2,00 | 4 | | | | | | 11 | 31 | 121 | 961 | 341 | 3,00 | 9 | | | | | | 12 | 29 | 144 | 841 | 348 | 4,00 | 16 | | | | | | 13 | 35 | 169 | 1225 | 455 | 5,00 | 25 | | | | | | 14 | 23 | 196 | 529 | 322 | 6,00 | 36 | | | | | | 15 | 27 | 225 | 729 | 405 | 7,00 | 49 | | | | | | 120 | 424 | 1240 | 12536 | 3519 | 0 | 280 | | | | | Средн. | 8,00 | 28,27 | 82,67 | 835,73 | 234,6 | - | - | | | | | |
. Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции . Расчетное значение критерия Фишера равно , , уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл. Список использованной литературы Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. - М.: Дело, 1999. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. - М.: Дело, 2000. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. - М.: ЮНИТИ, 1997. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.
|