Экономико-математическое моделирование : Распределения предприятий по прибыли от продаж
Распределения предприятий по прибыли от продаж
17 Задача № 1Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20%-тная, механическая), млн. руб.: Таблица 1 - Исходные данные |
№ предприятия | Выручка от продажи продукции | Затраты на производство и реализацию продукции | № предприятия | Выручка от продажи продукции | Затраты на производство и реализацию продукции | | 1 | 36,45 | 30,255 | 16 | 36,936 | 31,026 | | 2 | 23,4 | 20,124 | 17 | 53,392 | 42,714 | | 3 | 46,540 | 38,163 | 18 | 41,0 | 33,62 | | 4 | 59,752 | 47,204 | 19 | 55,680 | 43,987 | | 5 | 41,415 | 33,546 | 20 | 18,2 | 15,652 | | 6 | 26,86 | 22,831 | 21 | 31,8 | 26,394 | | 7 | 79,2 | 60,984 | 22 | 39,204 | 32,539 | | 8 | 54,72 | 43,776 | 23 | 57,128 | 45,702 | | 9 | 40,424 | 33,148 | 24 | 28,44 | 23,89 | | 10 | 30,21 | 25,376 | 25 | 43,344 | 35,542 | | 11 | 42,418 | 34,359 | 26 | 70,720 | 54,454 | | 12 | 64,575 | 51,014 | 27 | 41,832 | 34,302 | | 13 | 51,612 | 41,806 | 28 | 69,345 | 54,089 | | 14 | 35,42 | 29,753 | 29 | 35,903 | 30,159 | | 15 | 14,4 | 12,528 | 30 | 50,220 | 40,678 | | |
По исходным данным: Построим статистический ряд распределения предприятий по признаку прибыль от продаж, образовав пять групп с равными интервалами. Построим график полученного ряда распределения. Графически определим значения моды и медианы. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным, сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Решение: 1. Рассчитаем прибыль от продаж продукции, как разность от продажи продукции и затратами на производство и реализацию продукции В результате получим новую таблицу: Таблица 2 - Расчет прибыли от продаж |
№ предприятия | Выручка от продажи продук-ции | Затраты на производство и реализацию продукции | Прибыль от продаж | № предприятия | Выручка от продажи продукции | Затраты на производство и реализацию продукции | Прибыль от продаж | | 1 | 36,45 | 30,255 | 6,195 | 16 | 36,936 | 31,026 | 5,910 | | 2 | 23,4 | 20,124 | 3,276 | 17 | 53,392 | 42,714 | 10,678 | | 3 | 46,54 | 38,163 | 8,377 | 18 | 41 | 33,62 | 7,380 | | 4 | 59,752 | 47,204 | 12,548 | 19 | 55,68 | 43,987 | 11,693 | | 5 | 41,415 | 33,546 | 7,869 | 20 | 18,2 | 15,652 | 2,548 | | 6 | 26,86 | 22,831 | 4,029 | 21 | 31,8 | 26,394 | 5,406 | | 7 | 79,2 | 60,984 | 18,216 | 22 | 39,204 | 32,539 | 6,665 | | 8 | 54,72 | 43,776 | 10,944 | 23 | 57,128 | 45,702 | 11,426 | | 9 | 40,424 | 33,148 | 7,276 | 24 | 28,44 | 23,89 | 4,550 | | 10 | 30,21 | 25,376 | 4,834 | 25 | 43,344 | 35,542 | 7,802 | | 11 | 42,418 | 34,359 | 8,059 | 26 | 70,72 | 54,454 | 16,266 | | 12 | 64,575 | 51,014 | 13,561 | 27 | 41,832 | 34,302 | 7,530 | | 13 | 51,612 | 41,806 | 9,806 | 28 | 69,345 | 54,089 | 15,256 | | 14 | 35,42 | 29,753 | 5,667 | 29 | 35,903 | 30,159 | 5,744 | | 15 | 14,4 | 12,528 | 1,872 | 30 | 50,22 | 40,678 | 9,542 | | |
2. Сначала вычислим величину интервала группировочного признака (прибыль от продаж): i=(х максимальное значение-х минимальное значение) /5 групп = = (18,216 - 1,872)/5=3,2688 млн.руб. Таблица 3 - Распределение предприятий по признаку прибыль от продаж |
№ группы | Группы предприятий по прибыли от продаж. млн.руб. x | Число предприятий f | % к итогу | Накоп-ленная частость S | Середина интервала x` | x`f | | I | 1,872-5,1408 | 6 | 20 | 6 | 3,5064 | 21,0384 | | II | 5,1408-8,4096 | 13 | 43 | 19 | 6,7752 | 88,0776 | | III | 8,4096-11,6784 | 5 | 17 | 24 | 10,044 | 50,22 | | IV | 11,6784-14,9472 | 3 | 10 | 27 | 13,3128 | 39,9384 | | V | 14,9472-18,216 | 3 | 10 | 30 | 16,5816 | 49,7448 | | Итого: | | 30 | 100 | | | 249,0192 | | |
Результаты группировки показывают, что наибольшая часть предприятий, т.е. 43 % имеет прибыль от продаж в размере от 5,14 до 8,41 млн.руб. 3. Построим график полученного ряда распределения: Рис.1. Гистограмма распределения предприятий по прибыли от продаж Мода Мо - это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. Моду находим по формуле: где: минимальная граница модального интервала; - величина модального интервала; частоты модального интервала, предшествующего и следующего за ним = 5,1408+3,2688 *(13-6/ ((13-6)+(13-5)) =6,6662 млн.руб. Рис.2. Графическое определение моды в распределении предприятий по прибыли от продаж Медиана Ме - варианта, находящаяся в середине ряда распределения. Медиану находим по формуле: где: - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - полусумма частот ряда; - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; - частота медианного интервала. = 5,1408+3,2688*((0,5*30-6)/ 13) =7,4038 млн.руб. Рис.3. Графическое определение медианы в распределении предприятий по прибыли от продаж Значит, наиболее часто встречающееся значение находится в пределе 6,67 млн.руб., а серединное значение 7,4 млн.руб. 4. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. Средняя арифметическая взвешенная xcр= ?xf/?f = 249,02/30 = 8,3 млн.руб. в среднем составляет прибыль от продаж Среднеквадратическое отклонение у = == 3,9347 млн. руб. (на данную величину в среднем отклоняются значения ряда распределения от среднего значения) Таблица 4 |
№ группы | Группы предприятий по прибыли от продаж. млн.руб. x | Число предприятий f | % к итогу | Середина интервала x` | |xi-xcp| xcp=8,3 | (xi-xcp)2*f | | I | 1,872-5,1408 | 6 | 20 | 3,5064 | 4,7936 | 137,8716 | | II | 5,1408-8,4096 | 13 | 43 | 6,7752 | 1,5248 | 30,2252 | | III | 8,4096-11,6784 | 5 | 17 | 10,044 | 1,744 | 15,20768 | | IV | 11,6784-14,9472 | 3 | 10 | 13,3128 | 5,0128 | 75,38449 | | V | 14,9472-18,216 | 3 | 10 | 16,5816 | 8,2816 | 205,7547 | | Итого: | | 30 | 100 | | | 464,4437 | | |
Дисперсия Коэффициент вариации х = у/xcp *100 = 3,9347/8,3 * 100 = 47,41 % - значение характеризующее однородность ряда. Так как коэффициент вариации превышает 33 %, то делаем вывод, что наш ряд распределения не однороден. Выводы: 1. Средняя величина прибыли от продажи продукции на предприятии составляет 8,301 млн. руб. 2. Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем на 3,9347 млн. руб 3. Совокупность данных неоднородна, т.к. коэффициент вариации больше 33%. Задача № 2 Связь между признаками - затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж. Установим наличие и характер связи между признаками затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж, образовав заданное число групп с равными интервалами по обоим признакам, методами: а) аналитической группировки, б) корреляционной таблицы. Решение: Прибыль предприятия напрямую зависит от затрат на производство и реализацию продукции, тогда обозначим затраты независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие, то на прибыль предприятия, кроме затрат на производство и реализацию продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать, что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по затратам, а интервал высчитаем по формуле: е=(хmax - xmin)/k, где k - число выделенных интервалов. е=(60,984-12,528)/5=9,691 млн.руб. Получим следующие интервалы: 12,528-22,219; 22,219-31,910; 31,910-41,602; 41,602-51,293; 51,293-60,984 Таблица 5 |
| Группировка предприятий по затратам, млн.руб. | № предприятия | Затраты на пр-во и реализ., млн.руб Х | Прибыль млн.руб. У | У2 | | I | 12,528-22,219 | 15 | 12,528 | 1,872 | 3,504384 | | | | 20 | 15,652 | 2,548 | 6,492304 | | | | 2 | 20,124 | 3,276 | 10,73218 | | ? | | 3 | 48,304 | 7,696 | 20,7289 | | В среднем на 1 предприятие | 16,101 | 2,565 | | | II | 22,219-31,910 | 6 | 22,81 | 4,029 | 16,23284 | | | | 24 | 23,89 | 4,55 | 20,7025 | | | | 10 | 25,376 | 4,834 | 23,36756 | | | | 21 | 26,394 | 5,406 | 29,22484 | | | | 14 | 29,753 | 5,667 | 32,11489 | | | | 29 | 30,159 | 5,744 | 32,99354 | | | | 1 | 30,255 | 6,195 | 38,37803 | | | | 16 | 31,026 | 5,91 | 34,9281 | | ? | | 8 | 219,663 | 42,335 | 227,942 | | В среднем на 1 предприятие | 27,458 | 5,292 | | | III | 31,910-41,602 | 22 | 32,539 | 6,665 | 44,42223 | | | | 9 | 33,148 | 7,276 | 52,94018 | | | | 5 | 33,546 | 7,869 | 61,92116 | | | | 18 | 33,62 | 7,38 | 54,4644 | | | | 27 | 34,302 | 7,53 | 56,7009 | | | | 11 | 34,359 | 8,059 | 64,94748 | | | | 25 | 35,542 | 7,802 | 60,8712 | | | | 3 | 38,163 | 8,377 | 70,17413 | | | | 30 | 40,678 | 9,542 | 91,04976 | | ? | | 9 | 315,897 | 70,5 | 557,491 | | В среднем на 1 предприятие | 35,10 | 7,833 | | | IV | 41,602-51,293 | 13 | 41,806 | 9,806 | 96,15764 | | | | 17 | 42,714 | 10,678 | 114,0197 | | | | 8 | 43,776 | 10,944 | 119,7711 | | | | 19 | 43,987 | 11,693 | 136,7262 | | | | 23 | 45,702 | 11,426 | 130,5535 | | | | 4 | 47,204 | 12,548 | 157,4523 | | | | 12 | 51,014 | 13,561 | 183,9007 | | ? | | 7 | 316,203 | 80,656 | 938,581 | | В среднем на 1 предприятие | 45,172 | 11,522 | | | V | 51,293-60,984 | 28 | 54,089 | 15,256 | 232,7455 | | | | 26 | 54,454 | 16,266 | 264,5828 | | | | 7 | 60,974 | 18,216 | 331,8227 | | ? | | 3 | 169,517 | 49,738 | 829,151 | | В среднем на 1 предприятие | 56,506 | 16,579 | | | ? | ИТОГО | 1069,615 | 250,925 | 2573,89 | | | В среднем | 35,65 | 8,364 | | | |
Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу 6: Таблица 6 |
Группы предприятий по затратам, млн.руб | Число предприятий | Затраты на производство и реализацию продукции | Прибыль, млн.руб | | | | Всего | В среднем на одно пр-тие | Всего | В среднем на одно пр-тие | | 12,528-22,219 | 3 | 48,304 | 16,101 | 7,696 | 2,565 | | 22,219-31,910 | 8 | 219,663 | 27,458 | 42,335 | 5,292 | | 31,910-41,602 | 9 | 315,897 | 35,1 | 70,5 | 7,833 | | 41,602-51,293 | 7 | 316,203 | 45,172 | 80,656 | 11,522 | | 51,293-60,984 | 3 | 169,517 | 56,506 | 49,768 | 16,579 | | ? | 30 | 1070 | 35,65 | 250,925 | 8,364 | | |
По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом затрат на производство и реализацию продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость. Строим расчетную таблицу 7: Таблица 7 |
Группы предприятий по затратам, млн.руб. | Число пр-тий | Прибыль, млн.руб |
|
| | | | f | Всего | В среднем на одно пр-тие, ?yi | | | | | | | | | | | | | 12,528-22,219 | 3 | 7,696 | 2,565 | -5,799 | 33,628 | 100,885 | | 22,219-31,910 | 8 | 42,335 | 5,292 | -3,072 | 9,437 | 75,497 | | 31,910-41,602 | 9 | 70,5 | 7,833 | -0,531 | 0,282 | 2,538 | | 41,602-51,293 | 7 | 80,656 | 11,522 | 3,158 | 9,972 | 69,812 | | 51,293-60,984 | 3 | 49,768 | 16,579 | 8,215 | 67,486 | 202,459 | | Сумма | 30 | 250,925 | 8,364 | | | 451,19 | | |
Вычисляем коэффициент детерминации по формуле: где - межгрупповая дисперсия, находящаяся по формуле: - общая дисперсия результативного признака, находящаяся по формуле: Теперь находим межгрупповую дисперсию: =451,19/30=15,04 Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать: y2=2573,89/30=85,796 =85,796-(8,364)2=15,84 Вычисляем коэффициент детерминации: з2=еy2/дy2 з2=15,04/15,84=0,95 или 95% Следовательно, на 95% вариация прибыли предприятия зависит от вариации затрат на производство и реализацию продукции и на 5% зависит от неучтенных факторов. Эмпирическое корреляционное отношение составляет: з = v0,95=0,975 Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между затратами и суммой прибыли. Задача № 3 По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите: 1. Ошибку выборки средней суммы прибыли от продаж и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли в генеральной совокупности. 2. Ошибку выборки доли организаций с суммой прибыли 14,948 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля. Решение: Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле: если Р=0,683, то t=1. Т.к. выборка механическая 20%-ная, то N=150 Дх=1*v(15,472/30)*(1-30/150)=0.7млн. руб. Ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Дх=0,7млн.руб. Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле : 8,301- 0,7? ?8,301+0,7 7,601? ?9.001 С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах от 7,601 млн. руб. до 9,001 млн. руб. Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах : Выборочная доля составит: =3/30=0,1 или 10% Ошибку выборки определяем по формуле: где N-объем генеральной совокупности. Т.к. выборка 20%-ная и в выборку вошло 30 предприятий, то N=150. Подставляя данные в формулу, получим: =1v(0,1(1-0,1)/30)*(1-30/600) ?=0,0024 Следовательно с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 14,948 млн. руб. будет находиться в следующих пределах: 0,1-0,0024??щ?0,1+0,0024 0,098??щ?0,1024 или от 9,8% до 10,24%. Задача №4 Имеются следующие данные по организации о прибыли от продажи продукции и ее рентабельности: Таблица 8 |
Вид продукции | Прибыль от продажи продукции, млн. руб. | Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), % | | | Базисный период | Отчетный период | | | А | 0,8 | 0,88 | 10 | | Б | 0,5 | 0,62 | 12 | | В | 1,1 | 1 | -2 | | |
Определите: 1. Общий индекс рентабельности реализованной продукции. 2. Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности. Сделать выводы. Решение: Для проведения необходимых расчетов построим дополнительную таблицу 9: Таблица 9 |
Вид про-дук-ции | Прибыль от продажи продукции, млн. руб. | Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), % Rотч - Rбаз | I рент = Rотч/Rбаз | Сотч/ Сбаз | | | Базисный период | Отчетный период | | | | | А | 0,8 | 0,88 | 10 | 1,1 | 1,00000 | | Б | 0,5 | 0,62 | 12 | 1,12 | 1,10714 | | В | 1,1 | 1 | -2 | 0,98 | 0,92764 | | ИТОГО | 2,4 | 2,5 | | | | | |
1) Индекс рентабельности - это отношение рентабельности отчетного периода к ее уровню в базисном периоде. Для определения уровня рентабельности нам необходимо знать величину прибыли от продажи продукции и ее себестоимость. Поскольку себестоимость неизвестна, но имеются индивидуальные индексы рентабельности по трем видам продукции, мы можем определить темп роста себестоимости в отчетном году по сравнению с базисным (Сотч/Сбаз). Для того, чтобы определить общий индекс рентабельности - нужно суммировать показатели по всем трем видам продукции: , Итак, общий индекс рентабельности составил 1,03, то есть в отчетном периоде по сравнению с базисным общий уровень рентабельности всей реализованной продукции увеличился на 3%. 2) Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности: Из таблицы видно, что прибыль от продажи всех трех видов продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 0,1 млн. руб. (2,5-2,4), что позволяет нам сделать следующий вывод: Рост рентабельности продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным на 3 % (по продукции А, Б, В) позволил увеличить прибыль от продажи этой продукции на 100 тысяч рублей.
|