Экономико-математическое моделирование : Расчёт и моделирование активного полосового RC-фильтра
Расчёт и моделирование активного полосового RC-фильтра
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Волгоградский государственный университет Факультет физики и телекоммуникаций Кафедра телекоммуникационных систем КУРСОВАЯ РАБОТА Расчёт и моделирование активного полосового RC - фильтра Волгоград 2010 1 Общие сведения о фильтрах Электрическим фильтром называется устройство, предназначенное для пропускания из спектра входного электрического сигнала тех гармонических составляющих, частоты которых расположены в определённой полосе частот (полоса пропускания или прозрачности), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат вне этой полосы [1, 2, 4]. Частота, лежащая на границе полосы пропускания, называется частотой среза . 1.1 Классификация фильтров По расположению полосы пропускания фильтры делятся на следующие типы: -фильтры нижних частот (ФНЧ), пропускающие сигналы с частотами от 0 до ?с ; -фильтры верхних частот (ФВЧ), имеющие полосу пропускания от?с до бесконечности; -полосовые фильтры (ПФ), пропускающие входной сигнал в полосе частот от fc1 до fc2; - заграждающие фильтры (ЗФ), не пропускающие входной сигнал в полосе частот от fc1 до fc2; - гребенчатые фильтры (ГФ), или многополосовые, имеющие несколько полос пропускания. По наличию активных элементов различают активные фильтры и пассивные. Активные фильтры способны усиливать проходящие через них сигналы по мощности. На эквивалентной схеме это свойство отражается наличием источника, за счет энергии которого и осуществляется усиление. В качестве пассивных фильтров широко применяются LC-фильтры, т. е. цепи, содержащие реактивности разных знаков. Благодаря резонансным явлениям в таких цепях выделяются колебания, находящиеся в полосе пропускания. В пассивных фильтрах могут применяться реактивные элементы одного знака - только индуктивности или только емкости, при этом селекция сигналов основывается, по-прежнему, на частотной зависимости сопротивления реактивных элементов. Однако для формирования необходимых частотных характеристик эти фильтры должны содержать и резисторы. Обычно при подобном построении фильтра отказываются от применения индуктивности, которая является более габаритным и дорогим и менее стабильным элементом по сравнению с емкостью. Таким образом, получаются RC-фильтры. В общем случае фильтр может включать в себя произвольные реактивные двухполюсники, так как их сопротивление также зависит от частоты. Из таких реактивных двухполюсников составляются четырехполюсники, которые, соединяясь между собой в различных сочетаниях, образуют сколь угодно сложные фильтры. В зависимости от способа соединения различают цепочечные и мостовые фильтры. Цепочечные фильтры получаются путем цепочечного (каскадного) соединения элементарных четырехполюсников (звеньев). При цепочечном соединении имеется только один канал, по которому сигнал проходит с входа на выход. Обычно используются Г- , Т- и П-образные звенья (рис. 1). Если же в фильтре использовать параллельное соединение реактивных четырехполюсников (рис. 2), то сигнал будет проходить с входа на выход по двум каналам. Параллельно соединяемые четырехполюсники могут иметь произвольную схему. Фильтры с параллельным включением четырехполюсников называются мостовыми фильтрами. Принципиальной особенностью мостовых фильтров является то, что на некоторой частоте два сигнала, проходящие по разным каналам, могут поступать на выход в противофазе, но с одинаковой амплитудой. При этом происходит взаимная компенсация сигналов, т. е. в мостовом фильтре производится абсолютное подавление колебаний, что невозможно в цепочечных фильтрах при наличии потерь. Бывают Х- и Т-образные мостовые схемы (рис. 3). Вместо реактивных элементов с сосредоточенными параметрами в фильтрах могут использоваться волновые двухполюсники и четырехполюсники, свойства которых также зависят от частоты. Это фильтры с распределенными параметрами, применяемые на сверхвысоких частотах. Рассмотренные выше типы пассивных фильтров строятся по принципу цепочечного и параллельного соединения четырехполюсников. Другие возможные способы соединения четырехполюсников обычно не используются, так как не привносят ничего существенного в свойства пассивного фильтра. Однако при использовании в фильтре активных элементов кроме цепочечного соединения (как в резонансных усилителях), могут применяться последовательное, параллельное и другие типы соединений четырехполюсников. В таких фильтрах создаются условия, при которых сигнал может проходить в направлении от выхода к входу схемы по одному (или нескольким) из четырехполюсников полностью или преимущественно. Указанные фильтры называются фильтрами с обратными связями или активными фильтрами. Четырехполюсник, по которому сигнал проходит с входа на выход, является активным четырехполюсником с коэффициентом передачи, не зависящим от частоты, а селективные свойства активных фильтров задаются четырехполюсником обратной связи, в качестве которого выступают пассивные фильтры. В резонансных усилителях отсутствуют обратные связи, поэтому обычно их не относят к разряду активных фильтров, хотя в них и есть активный элемент. Среди активных фильтров наиболее широко используются активные RC-фильтры. 1.2 Меры передачи и параметры фильтровНа рис. 4 представлен фильтр в виде линейного пассивного четырехполюсника, включенного между источником энергии и нагрузкой. Одним из основных параметров фильтра как четырехполюсника являются его входные сопротивления:,зажимов 2-2, если нагрузочное сопротивление и реальный источник поменять местами.На эти входные сопротивления нагружен источник при передаче сигнала справа налево и слева направо. Если учесть, что связь между напряжениями и токами на входе и выходе задается уравнениями четырехполюсника:,то выражения для входных сопротивлений будут иметь вид:Для каждого четырехполюсника можно подобрать такие нагрузочные сопротивления Z1=Zc1 и Z2= Zc2 , при которых входное сопротивление с одной из сторон зажимов (1-1 или 2-2) будет равно нагрузочному сопротивлению с этой же стороны зажимов: Zвх1=Zc1 , Zвх2=Zс2. Такие входные сопротивления называются характеристическими. С учетом предыдущих соотношений можно получитьЧетырехполюсник, у которого характеристические сопротивления равны с обеих сторон, будет симметричным: В общем случае характеристическое сопротивление, как и входное, зависит от частоты. Если сопротивление нагрузки равно характеристическому, то полагают, что четырехполюсник нагружен согласованно.Если два четырехполюсника соединены цепочечно и характеристическое сопротивление со стороны выхода первого равно характеристическому сопротивлению со стороны входа второго, то считают, что четырехполюсники включены согласованно. В качестве меры передачи фильтра, т.е. для непосредственного сравнения его выходного напряжения с э.д.с. E источника используется коэффициент передачипричем частотные зависимости K(щ) и и(щ) называются соответственно частотной (амплитудно-частотной) и фазовой (фазо-частотной) характеристиками фильтра.Важным параметром фильтра является полоса пропускания фильтра ДF=fc2-fc1 .Обычно определяется для частот fc2 и fc1, на которых коэффициент передачи имеет значение: Определяя таким способом полосу пропускания, исходят из того, что при изменении амплитуд гармонических составляющих сигнала не более чем в раз (по мощности в два раза) частотные искажения сигнала получаются достаточно малыми.Частотная характеристика фильтра может изменяться немонотонно в полосе пропускания. При этом вводится еще один параметр - неравномерность рабочего затухания в полосе пропускания Дap =ap max - ap min.О селективных свойствах фильтра можно судить по виду его амплитудно-частотной характеристики. Однако она не всегда дает полное представление о прохождении колебаний через фильтр, поскольку при ее использовании производится сравнение колебаний по напряжению, а не по мощности. Так как активная и полная (кажущаяся) мощности определяются не только квадратом напряжения, но и сопротивлением нагрузки, то для получения полного представления об изменении мощности колебаний при их прохождении через фильтр вводится понятие рабочих мер передачи. Существуют различные рабочие меры передачи. При этом производится сравнение колебаний непосредственно по мощности с учетом реальных нагрузочных сопротивлений на входе и выходе фильтра. Чтобы можно было сравнивать и фазы колебаний, в качестве рабочей меры передачи пользуются понятием рабочей постоянной передачи. Она определяется отношением комплексной мощности P0 , которую воспринимал бы условный приемник Z2, непосредственно соединенный с генератором, при условии равенства Z1 и Z2 , к комплексной мощности P2 , которую фактически воспринимает данный приёмник, включенный на выходе фильтра:Это выражение можно написать иначе, выделив действительную и мнимую части: где 2=argZ2 , 1=argZ1 .Действительная часть ap носит название рабочего затухания, а мнимая часть bp - рабочего фазового сдвига. Рабочее затухание определяет уменьшение полной (кажущейся) мощности, напряжения или тока на выходе четырехполюсника по отношению к входу в неперах (N) или децибелах (дБ): или Можно связать рабочее затухание с коэффициентом передачи:Уровень затухания, на котором определяется полоса пропускания,будет равен 3 дБ.Частотные характеристики затухания ap(f) и bp(f) дают достаточно полное представление о селективных свойствах фильтров путем сравнения мощности и фаз сигналов и помех на разных частотах.В режиме двустороннего согласования рабочие меры передачи называются характеристическими мерами. Соответственно характеристическая постоянная передачи записывается в виде:Характеристическое затухание ac и характеристический фазовый сдвиг bс можно выразить через параметры четырехполюсника:Характеристические параметры удобны в том отношении, что их можно весьма просто вычислять для сложных четырехполюсников, составленных из нескольких четырехполюсников. Если четырехполюсник (филътр) образован каскадным соединением согласованно включенных четырехполюсников (звеньев), то его характеристические сопротивления равны характеристическим сопротивлениям крайних звеньев, а характеристическая постоянная передачи равна сумме характеристических постоянных передачи звеньев, составляющих это соединение. Тогда, и характеристическое затухание фильтра равно сумме характеристических затуханий, а характеристический фазовый сдвиг - сумме характеристических фазовых сдвигов, составляющих это соединение звеньев.Эти положения лежат в основе построения фильтров при их проектировании по характеристическим параметрам.Несмотря на простоту определения характеристических параметров, следует учитывать, что они не дают представления о передаче колебаний через фильтр с реальными нагрузочными сопротивлениями. Действительно, характеристические сопротивления являются функцией частоты, и сопротивления нагрузки не могут быть подобраны таким образом, чтобы фильтр был согласован на всех частотах. Практически его удается согласовать только на одной или нескольких фиксированных частотах. Кроме этих частот фильтр работает при несогласованной нагрузке. Вследствие этого возникают отражения, приводящие к изменению мощности, подаваемой в приемник. Отражение изменяет величину и частотную зависимость затухания, фазового сдвига и входного сопротивления фильтра, а также приводит к возникновению явления электрического эха [4]. Поэтому для оценки работы фильтра в условиях несогласованности, в рабочих условиях, используют рабочие параметры.Если при проектировании фильтров основываться на рабочих параметрах, то методы расчета параметров элементов фильтра будут более сложными, чем при использовании характеристических параметров, но результаты расчета будут точнее.Особенность расчета активных RC-фильтров состоит в том, что характеристики отдельных звеньев при их каскадном соединении должны подбираться таким образом, чтобы добиться приблизительно постоянного затухания всего фильтра в пределах полосы пропускания. Поэтому эти звенья рассчитываются все вместе по рабочим параметрам.1.3 Нормирование и преобразование частотыЧасто для описания величин электрических параметров элементов фильтров, например, частоты, емкости, приходится иметь дело с очень большими или очень малыми числами. Это вызывает неудобство при вычислениях. Эту проблему легко решить, если значения некоторых параметров принять за единичные, что значительно упрощает расчет, а числовые результаты, в конечном итоге, имеют общий характер. Этот процесс называется нормированием.Не все единицы в нормированной схеме можно выбрать произвольно. Показано, что только две переменные могут быть нормированы независимо. Очень часто выбирают сопротивление и частоту. Например, для LC-фильтров обычно величины его элементов нормируются при сопротивлении нагрузки R2= 1 Ом и частоте среза щc=1 рад/с. Справочный материал, как правило, приводит результаты расчета нормированных фильтров.Для преобразования нормированных величин в реальные их необходимо умножить на коэффициент преобразования. Например, нормированные значения индуктивности и емкости в LC-фильтрах умножаются на постоянные KL и Kc, которые можно определить следующим образом: KL=R2/щc, KL=1/щc R2, где R2 - сопротивление нагрузки, c - частота срезаПреобразование частоты представляет собой простой и полезный способ для обобщения результатов, полученных для фильтров нижних частот, на более сложные типы фильтров. Этот метод позволяет преобразовать фильтр нижних частот (часто называемый прототипом) в полосовой, фильтр верхних частот, заграждающий, гребенчатый.В общем случае преобразование частоты может быть записано в виде:где; А - положительная действительная постоянная; пр - исходная переменная (переменная прототипа); - новая переменная.Рассмотрим самые простые преобразования. Простейшее преобразование пр= -A/ приводит к тому, что индуктивное сопротивление прототипа преобразуется в емкостное, а емкостное сопротивление - в индуктивное. Действительно прLпр > - 1/C, где C=1/ALпр.Характеристика затухания прототипа (фильтра нижних частот) превращается в этом случае в характеристику фильтра верхних частот. Преобразование типапреобразует прототип в полосовой фильтр, имеющий геометрически симметричную характеристику затухания (относительно частоты2). При этом индуктивность прототипа заменяется схемой с последовательным контуром, емкость преобразуется в схему с параллельным контуром.А преобразование приводит к заграждающему фильтру, причем индуктивность прототипа замещается параллельным, а емкость - последовательным контуром.1.4 Фильтр нижних частотРассмотрим в качестве прототипа простейший RC-фильтр, изображенный на рис. 5. Запишем его коэффициент передачиОтсюда получаем частотные характеристики фильтра:Частота среза с =1/RC определяется из соотношения K(с)=1/v2 .Для реализации общего подхода целесообразно ввести нормированную комплексную переменную p=j/с. Коэффициент передачи будет иметь вид: При p<<1 , т.е. на низких частотах . На частоте среза p=1 коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ. На высоких частотах при p>>1 /p, т.е. коэффициент передачи обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз он уменьшается на 20 дБ на декаду.Если необходимо получить более быстрое уменьшение коэффициента передачи, можно включить n фильтров нижних частот последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид; (1.1)где i - положительные коэффициенты. Из этой формулы следует, что при p>>1 1/pn. Уменьшение коэффициента передачи характеризуется величиной 20 дБ на каждую декаду. Отметим, что корни знаменателя передаточной функции являются действительными и отрицательными. Таким свойством обладают пассивные RC -фильтры n-го порядка.В общем виде передаточная функция фильтра нижних частот может быть представлена следующим образом: (1.2) где с1,...сn - положительные действительные коэффициенты.Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной p. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди корней полинома есть комплексные корни, то рассмотренное ранее представление полинома (1.1) не может быть использовано. В этом случае его следует записать в виде произведения многочленов второго порядка:Порядок фильтра n с передаточной характеристикой (1.3) также определяется максимальной степенью переменной p, но только после того, как выполнено перемножение сомножителей. Он задает асимптотический наклон амплитудно-частотной характеристики, равный n20дБ на декаду.Вид частотной характеристики зависит как от порядка, так и типа фильтра. Тип фильтра определяется способом представления полинома передаточной функции. Широкое применение находят такие типы фильтров как фильтры Баттерворта, Чебышева и Гаусса [1]. Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок в полосе пропускания и резко спадает за частотой среза. Характеристика фильтра Чебышева спадает более круто, однако, в полосе пропускания она, не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой среза соответствует большая неравномерность в полосе пропускания. Фильтр Бесселя обладает оптимальной переходной характеристикой. Причиной этого является пропорциональность фазового сдвига выходного сигнала фильтра частоте входного сигнала. В общем случае спад амплитудной характеристики фильтра Бесселя оказывается более пологим по сравнению с фильтрами Чебышева и Баттерворта.Эти типы фильтров могут быть реализованы по одной схеме, и отличаются лишь значениями коэффициентов ai и bi и, следовательно, параметрами элементов. Корни полинома могут иметь сопряженные комплексные значения, что приводит к невозможности реализации такого фильтра с помощью пассивных RС-цепей. Для реализации фильтров с сопряженными комплексными корнями могут быть использованы LC-фильтры. Для высоких частот получение необходимой индуктивности не представляет затруднений. Однако для низких частот нужны большие индуктивности, которые сложны в изготовлении и обладают плохими электрическими характеристиками. Поэтому в низкочастотном диапазоне применяются активные RС-фильтры.1.5 Активные RC-фильтрыВ активных фильтрах, или фильтрах с обратными связями, используется параллельное соединение и другие виды соединений четырехполюсников. Четырехполюсник, по которому сигнал проходит с входа на выход, является неселективной цепью с коэффициентом передачи, не зависящим от частоты. В качестве такого четырехполюсника часто используют операционный усилитель. Четырехполюсник обратной связи обычно содержит селективную цепь. 1.5.1 Активные полосовые RC-фильтрыПростейший полосовой фильтр можно получить, применив к фильтру нижних частот первого порядка преобразование частоты, т. е. провести замену переменных в выражении для передаточной функции (2.1) фильтра нижних частот первого порядка: p>(1/??)(p+1/p).При этом передаточная функция полосового фильтра будет иметь второй порядок: где ?? - нормированная полоса пропускания. Нормированная полоса ??=?max-?min определяется для нормированных частот среза, на которых коэффициент передачи фильтра уменьшается на 3 дБ, причем ?max?min=1. Такой полосовой фильтр имеет геометрически симметричную частотную характеристику затухания относительно нормированной средней частоты ?=j/r =1. Исходя из свойств данного преобразования, можно заключить, что коэффициент K0 равен коэффициенту передачи полосового фильтра на резонансной частоте: K0=Kr. По аналогии с колебательным контуром определяется добротность полосового фильтра: Q=1/Д?. Таким образом, основные параметры фильтра непосредственно входят в его передаточную функцию. Из этого также следует, что можно использовать отрицательную обратную связь, представленную в ФНЧ и ФВЧ второго порядка, для построения полосового фильтра. Его передаточная функция имеет следующий вид:Из сравнения этого выражения с передаточной функцией (1.4) следует, что коэффициент при p2 должен быть равен 1. Отсюда находим резонансную частоту:Подставив это выражение для резонансной частоты в формулу для KA(p) и приравняв соответствующие коэффициенты передаточной функции к коэффициентам выражения (1.4), получим соотношения для вычисления параметров фильтра:Из них видно, что коэффициент передачи на резонансной частоте Kr, добротность Q и резонансная частота fr рассматриваемого полосового фильтра могут выбираться произвольно.Полоса пропускания фильтра ?F =1/рR2C не зависит от R1 и R3, а Kr - от R3. Поэтому можно изменять резонансню частоту fr , варьируя величину сопротивления R3, что не приводит к изменению коэффициента передачи Kr и ширины полосы пропускания фильтра.С помощью резистора R3 можно добиться высокой добротности фильтра при малом коэффициенте передачи Kr. Коэффициент передачи фильтра определяется лишь ослаблением входного сигнала делителем напряжения R1, R3. Поэтому коэффициент усиления операционного усилителя при отсутствии нагрузки должен превышать 2Q2. Выполнение этого требования особенно важно потому, что оно должно удовлетворяться и на резонансной частоте. Об этом следует помнить при выборе операционного усилителя для фильтра, особенно при работе в высокочастотном диапазоне.Применение положительной обратной связи для построения схемы полосового фильтра иллюстрируется на рис.2.11. С помощью делителя напряжения R1 и (-1)R1 цепи отрицательной обратной связи задается коэффициент усиления операционного усилителя, равный . Передаточная функция фильтра имеет вид:Приравнивая коэффициенты этого выражения к коэффициентам передаточной функции (1.4), получим формулы для расчета параметров фильтра:щr=1/RC, Kr= (3-), Q=1/(3-).Недостаток схемы состоит в том, что Kr и Q не являются независимыми друг от друга, а достоинством - что ее добротность изменяется в зависимости от коэффициента усиления , тогда как резонансная частота от величины не зависит.При =3 коэффициент передачи Kr становится бесконечно большим и возникает генерация. Точность установки значения коэффициента тем критичнее, чем он ближе к 3.1.5.2 Принцип виртуального замыканияПри виртуальном замыкании, как и при обычном напряжение между замкнутыми зажимами равно 0. Однако, в отличие от обычного замыкания, ток между виртуально замкнутыми зажимами не течёт, т.е. в виртуальное замыкание ток не ответвляется. Другими словами, для тока виртуальное замыкание эквивалентно разрыву цепи.Основные принципы виртуального замыкания:1.2.3.Литература1. У. Титце, К. Шенк, Полупроводниковая схемотехника, М., Мир, 1982.2. А. К. Лосев, Линейные радиотехнические цепи, М., Высшая школа, 1971.3. А. Е. Знаменский, И. Н. Теплюк, Активные RC - фильтры, М., Связь, 1970. 4. Двинских В. А., Олейник Н. Г. Расчет линейных пассивных фильтров с сосредоточенными параметрами. Саратов. 1983. 5. Ишин С. А., Соловьев Ю. В. Операционные усилители на интегральных схемах. Саратов, 2001.6. Ханзел Г. Е. Справочник по расчету фильтров. М., 1974.
|
