Экономико-математическое моделирование : Расчет производственный программы

Расчет производственный программы

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

Институт открытого и дистанционного образования

Факультет экономики и управления

Кафедра Экономической теории и мировой экономики

контрольная работа

по курсу «Экономико-математические методы и модели»

Челябинск

Решение:

Программа №1

Составление плана выпуска начнем с изготовления продукции Х, т.к. она обеспечивает более высокую прибыль и требует меньшее количество ресурсов.

1) Ресурсов А хватит на изготовление следующего количества продукции Х:

1000/27 ?37 (округляем всегда в меньшую сторону)

2) Ресурсов В хватит на изготовление следующего количества продукции Х:

800/51 ?15

3) По условию не один вид ресурса не должен быть перерасходован, поэтому ресурс В - лимитирующий фактор и программа №1 может выполнить только 15 ед. продукции Х.

4) Определим остатки ресурсов после изготовления продукции Х:

Ресурс А: 100-15*27=595

Ресурс В: 800-15*51=35

5) Определим, сколько продукции Y можно изготовить из остатков ресурсов:

Ресурс А: 595/49 ?12

Ресурс В: 35/25 ?1

Ресурс С: 600/36 ?16

Лимитирующий фактор: ресурс В, поэтому из остатков ресурсов можно изготовить 1 ед. продукции Y.

6) Т.о., рабочая программа №1 будет составлять 15 ед. продукции Х и 1 ед. продукции Y.

Это принесет следующую прибыль:

15*31+1*26=491 ед. прибыли

7) Рассчитаем остатки ресурсов после выпуска всего объема продукции:

Ресурс А: 100-15*27-1*49=546

Ресурс В: 800-15*51-1*25=10

Ресурс С: 600-1*36=564

Программа №2

Составление программы начнем с изготовления продукции Y.

1) Ресурсов А хватит на изготовление следующего количества продукции Y:

1000/49 ?20

2) Ресурсов В хватит на изготовление следующего количества продукции Y:

800/25=32

3) Ресурсов С хватит на изготовление следующего количества продукции Y:

600/36 ?16

4) Лимитирующий фактор - ресурс С, поэтому изготовить можно только 16 ед. продукции Y.

5) Определим остатки ресурсов после выпуска продукции Y:

Ресурс А: 1000-16*49=216

Ресурс В: 800-16*25=400

Ресурс С: 600-16*36=24

6) Определим, сколько ед. продукции Х можно изготовить из остатков ресурсов:

Ресурс А: 216/27 ?8

Ресурс В: 400/51 ?7

Лимитирующий фактор - ресурс В, поэтому выпустить можно только 7 ед. продукции Х.

7) Т.о., рабочая программа №2 составляет 16 ед. продукции Y и 7 ед. продукции Х.

Это принесет следующую прибыль:

16*26+7*31=416+217=633

8) Рассчитаем остатки ресурсов после выпуска продукции:

Ресурс А: 1000-16*49-7*27=27

Ресурс В: 800-16*25-7*51=43

Ресурс С: 600-16*36=24

Эта программа кажется оптимальной, т.к. предполагает достаточно высокую прибыль и рациональное расходование ресурсов. Проверим это с помощью экономико-математического метода.

Программа №3

1) Условия задачи представим в математической форме. Обозначим через х искомую величину выпуска продукции Х, а через y - количество выпуска продукции Y.

2) Выразим математически те ограничения, которые связаны с имеющимся количеством ресурсов:

27х+49у ?1000

51х+25у ?800

36у ? 600

3) Целевая функция должна стремиться к максимуму:

31х+26у > max

4) Представим на графике условия примера. В прямоугольной системе координат выберем ось абсцисс для значений х (продукции Х) и ось ординат для значений у (продукции Y).

5) На графике проведем прямые, соответствующие представленным уравнениям. Прямые определим по методу «2-х точек».

а) 27х+49у=1000

у=0 > х=1000/27=37,04 (max)

х=0 > у=1000/49=20,41;

б) 51х+25у=800

у=0 > х=800/51=15,69

х=0 > у=800/25=32; (max)

в) 36у=600

у=600/36=16,67

Градуировку осей следует выбирать по максимальному значению показателей.

Рис. 1

1. Нанесем на график прямую, которая является прямой ограничения ресурса А (цвет линии -). Данная прямая является ограничением ресурса А, т.е. экономически это означает, что любая программа выпуска продукции в рамках этого треугольника не вызовет перерасхода ресурса А (рис. 1).

2. нанесем на график вторую прямую (цвет линии -), являющуюся ограничением ресурса В.

При наложении двух треугольников друг на друга, получаем некую область (четырехугольник), которая обозначает, что внутри этой области можно выпускать любое количество продукции, не вызывая перерасход обоих ресурсов.

3. Нанесем на график третью прямую (цвет линии -), ограничивающую ресурс С.

6) В результате пересечения прямых, получена область ОАВСД, которая является областью допустимых решений, т.е. внутри этого пятиугольника любая производственная программа не вызовет перерасход ресурсов.

Однако на графике необходимо определить оптимальную точку, которая обеспечит максимальную прибыль и рациональный выпуск продукции.

7) Для определения оптимальной точки необходимо построить «прямую прибыли», для этого в целевую функцию необходимо подставить любую прибыль, но чтобы число было кратным коэффициентам уравнения. Затем по методу «2-х точек» построить прямую (цвет линии -).

31х+26у=806

у=0 > х=806/31=26

х=0 > у=806/26=31

8) Чтобы найти оптимальную точку, «прямую прибыли» необходимо переместить параллельно самой себе таким образом, чтобы получить единственную точку пересечения «прямой прибыли» и области ОАВСД (область допустимых решений).

Такой точкой является т. С. Она лежит на пересечении прямых (51х+25у=800; цвет линии -) и

(27х+19у=1000; цвет линии -).

Необходимо решить систему уравнений:

27х+49у=1000

51х+25у=800

найдем определитель системы:

27 49

51 25 Д = 27*25-49*51= -1824

1000 49

800 25 Д1 = 1000*25-49*800= -14200

27 1000

51 800 Д2 = 27*800-1000*51= -29400

Найдем х и у:

x = Д1/Д = -14200/-1824? 7,78

у= Д2/Д = -29400/-1824? 16,12

Решив систему уравнений, получим координаты оптимальной точки С х=7; у=16.

Таким образом, оптимальная программа выпуска предусматривает производство 7 ед. продукции Х и 16 ед. продукции Y, что полностью совпадает с рабочей программой №2.

Данные производственных программ для удобства можно внести в таблицу: