Экономико-математическое моделирование : Расчет коэффициента эластичности и показателей корреляции и детерминации
Расчет коэффициента эластичности и показателей корреляции и детерминации
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ульяновская государственная сельскохозяйственная академияКафедра «Статистика и анализ хозяйственной деятельности» Контрольная работа по Эконометрики Выполнил: студент 2 курса заочного отделения «Экономического факультета» по специальности «Финансы и кредит» с сокращенным сроком обучения Антонов Леонид Владимирович Ульяновск, 2009
Задача 1 По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете на душу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера (табл. 1).Таблица 1 |
Район | Потребительские расходы в расчете на душу населения, руб., y | Средняя заработная плата и выплаты социального характера, руб., x | | 1 | 408 | 524 | | 2 | 249 | 371 | | 3 | 253 | 453 | | 4 | 580 | 1006 | | 5 | 651 | 997 | | 6 | 322 | 486 | | 7 | 899 | 1989 | | 8 | 330 | 595 | | 9 | 446 | 1550 | | 10 | 642 | 937 | | | Задание:1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. 2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии. 3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. 4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом. 5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. 6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование. 7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05. 8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке. Решение: 1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии. |
| y | x | yx | x2 | y2 | yx | y-yx | Ai | | 1 | 408 | 524 | 213792 | 274576 | 166464 | 356,96 | 51,04 | 12,5 | | 2 | 249 | 371 | 92379 | 137641 | 62001 | 306,47 | -57,47 | 23,1 | | 3 | 253 | 453 | 114609 | 205209 | 64009 | 333,53 | -80,53 | 31,8 | | 4 | 580 | 1006 | 583480 | 1012036 | 336400 | 516,02 | 63,98 | 11,0 | | 5 | 651 | 997 | 649047 | 994009 | 423801 | 513,05 | 137,95 | 21,2 | | 6 | 322 | 486 | 156492 | 236196 | 103684 | 344,42 | -22,42 | 7,0 | | 7 | 899 | 1989 | 1788111 | 3956121 | 808201 | 840,41 | 58,59 | 6,5 | | 8 | 330 | 595 | 196350 | 354025 | 108900 | 380,39 | -50,39 | 15,3 | | 9 | 446 | 1550 | 691300 | 2402500 | 198916 | 695,54 | -249,54 | 56,0 | | 10 | 642 | 937 | 601554 | 877969 | 412164 | 493,25 | 148,75 | 23,2 | | итого | 4780 | 8908 | 5087114 | 10450282 | 2684540 | 4780,04 | -0,04 | 207,5 | | среднее значение | 478 | 890,8 | 508711,4 | 1045028,20 | 268454 | x | x | 20,7 | | у | 199,92 | 501,50 | x | x | x | x | x | x | | у2 | 39970,00 | 251503,56 | x | x | x | x | x | x | | |
; . Получено уравнение регрессии: . С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. 3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Тесноту связи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации: . Коэффициент детерминации Это означает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера. 4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид: . Таким образом, изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %. 5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации: = 20,7% Качество построенной модели оценивается как плохое, так как превышает 8 - 10 %. 6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование. Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение - критерия: . Табличное значение (k1=1, k2=8 ) Fтабл.=5,32. Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции : , , . Фактические значения - статистик: . Табличное значение - критерия Стьюдента при и tтабл.=2,306. Так как , ta < tтабл. и . Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и : и . Получим, что и . 7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05. Найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня , т.е. найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб. (тыс. руб.) Значит, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58 тыс. руб. Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза , а доверительный интервал (): . Т.е. прогноз является статистически не точным. 8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке. Из полученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи с помощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициент эластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 % заработной платы и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете на душу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз является статистически не точным. Задача 8 По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.): у = 20 + . Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19 Задание: Определите: а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб. б) индекс корреляции; в) F- критерий Фишера. Сделайте выводы. Решение: а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб. х = 200 тыс. руб. . Таким образом, изменение технической оснащенности на 1% приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %. б) индекс корреляции: Уравнение регрессии: = 23,5/10 = 2,35 Это означает, что 99,6 % вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровня технической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%. в) F- критерий Фишера. Сделайте выводы. Fтабл. = 4,46 Fтабл. < Fфакт; Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений. Задача 13 По заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У (тыс. кВт. Ч) от производства продукции - Х1 (тыс.ед.) и уровня механизации труда - Х2 (%). Данные приведены в табл.4.2. Задание1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах. 2. Определите показатели частной и множественной корреляции. 3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами. 4. Рассчитайте общие и частные F - критерии Фишера. |
Признак | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | Парный коэффициент корреляции | | Y | 1050 | 28 | ryx1 | 0.78 | | X1 | 425 | 44 | ryx2 | 0.44 | | X2 | 42.0 | 19 | rx1x2 | 0.39 | | | Решение:1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах. Линейное уравнение множественной регрессии у от х1 и х2 имеет вид: . Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:
Расчет - коэффициентов выполним по формулам: Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом: . Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1 и b2, используя формулы для перехода от к b. Значение a определим из соотношения:
2. Определите показатели частной и множественной корреляции. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:
Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (rx1x2=0,39) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются значительно. Растет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :
Зависимость у от х1 и х2 характеризуется как тесная, в которой 63 % вариации потребления электроэнергии определяется вариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизации труда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 37 % от общей вариации y. 3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами. Для характеристики относительной силы влияния х1 и х2 на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности: С увеличением производства продукции на 1 % от его среднего потребления электроэнергии возрастает на 0,29 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровня механизации труда на 1 % среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,006% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции на среднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднего уровня механизации труда. 4. Рассчитайте общие и частные F - критерии Фишера. Общий F-критерий проверяет гипотезу H0 о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R2 = 0):Fтабл. = 9,55 Сравнивая Fтабл. и Fфакт., приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H0 и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии. Частные F-критерий - Fх1. и Fх2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 и х2 в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. Fх1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х1 после того, как в него был включен фактор х2. Соответственно Fх2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1. Низкое значение Fх2 (меньше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r2yx1 за счет включения в модель фактора х2 после фактора х1. следовательно, подтверждается нулевая гипотеза H0 о нецелесообразности включения в модель фактора х2. Задача 21Модель денежного и товарного рынков: Rt = a1 + b12Yt + b14Mt + e1, (функция денежного рынка); Yt = a2 + b21Rt + b23It + b25Gt + e2 ( функция товарного рынка); It = a3 + b31Rt + e3 (функция инвестиций), где R - процентные ставки; Y - реальный ВВП; M - денежная масса; I - внутренние инвестиции; G - реальные государственные расходы. Решение: Rt = a1 + b12Yt + b14Mt + e1, Yt = a2 + b21Rt + b23It + b25Gt + e2 It = a3 + b31Rt + e3 Сt = Yt + It + Gt Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию. Модель включает четыре эндогенные переменные (Rt, Yt, It, Сt) и две предопределенные переменные ( и ). Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели. Первое уравнение: Rt = a1 + b12Yt + b14Mt + e1. Это уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную . Таким образом, , т.е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо. Второе уравнение: Yt = a2 + b21Rt + b23It + b25Gt + e2. Оно включает три эндогенные переменные Yt, It и Rt и одну предопределенную переменную Gt. Выполняется условие . Уравнение идентифицируемо. Третье уравнение: It = a3 + b31Rt + e3. Оно включает две эндогенные переменные It и Rt. Выполняется условие . Уравнение идентифицируемо. Четвертое уравнение: Сt = Yt + It + Gt. Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет. Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели. |
| | | Rt | | | | | I уравнение | 0 | 0 | -1 | b12 | b14 | 0 | | II уравнение | 0 | b23 | | -1 | 0 | b25 | | III уравнение | 0 | -1 | b31 | 0 | 0 | 0 | | Тождество | -1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | |
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного. Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид |
| | Rt | | | | II уравнение | b23 | | -1 | b25 | | III уравнение | -1 | b31 | 0 | 0 | | Тождество | 1 | 0 | 1 | 1 | | |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю: . Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется. Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид |
| | | Rt | | | | | I уравнение | 0 | 0 | -1 | b12 | b14 | 0 | | III уравнение | 0 | -1 | b31 | 0 | 0 | 0 | | Тождество | -1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю: . Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется. Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид |
| | | Rt | | | | | I уравнение | 0 | 0 | -1 | b12 | b14 | 0 | | II уравнение | 0 | b23 | | -1 | 0 | b25 | | Тождество | -1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю: Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется. Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом: Rt = a1 + b11Yt + b13Mt + b15Gt + b16Gt + u1 Yt = a2 + b21Rt + b23It + b25Gt + b26Gt + u 2 It = a3 + b31Rt + b33It + b35Gt + b36Gt + u 3 Сt = a4 + b41Rt + b43It + b45Gt + b46Gt + u 4 Задача 26 Имеются данные об урожайности культур в хозяйствах области: |
Варианты | Показатели | Год | | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | 4 | Урожайность картофеля, ц/га | 63 | 64 | 69 | 81 | 84 | 96 | 106 | 109 | | |
Задание: 1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда. 2. Рассчитайте параметры уравнения тренда. 3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год. Решение: 1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.
Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравнивание временного ряда. Для этого применяют следующие функции: линейная гипербола экспонента степенная функция парабола второго и более высоких порядков Параметры трендов определяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда yt. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации . Сравним значения R2 по разным уровням трендов: Полиномиальный 6-й степени - R2 = 0,994 Экспоненциальный - R2 = 0,975 Линейный - R2 = 0,970 Степенной - R2 = 0,864 Логарифмический - R2 = 0,829 Исходный данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение. 2. Рассчитайте параметры уравнения тренда. y = - 0,012*531441 + 0,292*59049 - 2,573*6561 +10,34*729 - 17,17*81 + 9,936*9 + 62,25 = = - 6377,292 + 17242,308 - 16881,453 + 7537,86 - 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327 3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год. Урожайность картофеля, ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.
|