Экономико-математическое моделирование : Примеры решения эконометрических заданий
Примеры решения эконометрических заданий
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ Специальность «Финансы и кредит» Контрольная работа по эконометрике Вариант № 14 Железнодорожный 2009 Задание 1.2 Задача 1. Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы: |
Годы | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | | Кол-во ВУЗов | 548 | 553 | 569 | 573 | 578 | | |
Найти: х - ? Решение: 1. Определим кол-во наблюдений: n = 5 2. Запишем формулу: х = 1 / n У ni = 1 * x i 3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2 Ответ: 564,2 Задача 2. Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами: |
Поголовье КРС (млн.т) | 57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 | | Пр-во молока (тыс.т) | 1,49 | 1,38 | 1,29 | 1,1 | 0,99 | 0,9 | 0,88 | | |
Найти: Cov - ? Решение: 1. Определим кол-во наблюдений: n = 7 2. Определим выборочное среднее для скота: х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271 3. Определим выборочное среднее для молока: y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 ))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147 4. Запишем формулу для определения ковариации: Cov (x;y) = 1/n У ni = 1 (xi - x)(yi - y) 5. Вычислим ковариацию: Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634 Ответ: 1,634 Задача 3. Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год). Найти: Var - ? Решение: 1. Определим кол-во наблюдений: n = 7 2. Определим выборочное среднее: х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714 3. Запишем формулу для определения вариации: Var (x) = 1/n У ni = 1 (xi - x)2 4. Определим вариацию: Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204 Ответ: 52,204 Задача 4. Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если: х (производство мяса) = 6,8 y (поголовье скота) = 47,3 Cov = 11,2 Var = 56,9 Оценить параметры Решение: 1. b = Cov (x;y)/Var (x) b = 11,2/56,9 b = 0,196 2. a = y - bx a = 47,3 - 0,196 * 6,8 a = 45,968 3. y = 45,968 + 0,196x Задание 5. Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид: y = 0,20x - 2,24 |
57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 | | 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 | | |
Найти: g 1 = ? Решение: 1. Выбор № наблюдений: i = 1 2. х i = 57 3. y i = 8,37 4. Вычислим : y*= 0,20x - 2,24 y*= 0,20x 1 - 2,24 y*= 0,20*57 - 2,24 y*= 9,16 5. Определим остаток в 1-ом наблюдение: g i = yi - xi g 1 = 8,37 - 9,16 g 1 = - 0,79 Ответ: - 0,79 Задача 6. Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 - 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений. |
57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 | | 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 | | |
Найти: RSS = ? Решение: 1. Определим число наблюдений: n = 7 2. Вычислим: yi = a + bxi , получим y1*= 0,20*57 - 2,24, y1*= 9,16 y2*= 0,20*54,7 - 2,24, y2*= 8,7 3. Определим остатки: g 1 = 8,37 - 9,16, g 1 = - 0,79 g 2 = 8,26 - 8,7, g 2 = - 0,44 4. Определим RSS для 1 и 2 ряда: RSS = У ni =1 g i2 RSS = (- 0,79)2 + (-0,44)2 RSS = 775, 2592 Ответ: 0,8177 Задача 7. Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 - 2,24 (задача 5). |
57 | 54,7 | 52,2 | 48,9 | 43,3 | 39,7 | 35,1 | | 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 | | |
Найти: ESS = ? Решение: 1. Определим число наблюдений: n = 7 2. Вычислим: yi = a + bxi , получим y1= 0,20*57 - 2,24, y1 = 9,16 y2 = 0,20*54,7 - 2,24, y2 = 8,7 y3 = 0,20*52,2 - 2,24, y3 = 8,2 y4 = 0,20*48,9 - 2,24, y4 = 7,54 y5 = 0,20*43,3 - 2,24, y5 = 6,42 y6 = 0,20*39,7 - 2,24, y6 = 5,7 y7 = 0,20*35,1 - 2,24, y7 = 4,78 3. Определим выборочное среднее y = 1 / n У ni = 1 * y i получим: y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7 y = 7,214 4. Вычислим ESS: ESS = Уi = 1n ( yi* - yi)2 ESS = (9,16 - 7,214)2+(8,7 - 7,214)2+(8,2 - 7,214)2+(7,54 - 7,214)2+(6,42 - 7,214)2+(5,7 - 7,214)2+(4,78 - 7,214)2 ESS = 15,921 Ответ: 15,921 Задача 8. В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками. RSS = 0,8177 ESS = 15,921 Решение: 1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений: TSS = Уi = 1n ( yi - y)2 TSS = 12,016 |
уi | 8,37 | 8,26 | 7,51 | 6,8 | 5,79 | 5,33 | 4,85 | У = 46,91 | У/n = 6,701 | | ( yi - y)2 | 2,784 | 2,429 | 0,654 | 0,010 | 0,831 | 1,881 | 3,428 | У = 12,016 | | | |
2. Проверим: TSS = ESS + RSS TSS = 15,921 + 0,8177 TSS = 16,7387 16,7387 ? 12,016 - несовпадение значений. Задача 9. Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21. Найти: R2 = ? Решение: 1. Определим коэффициент детерминации: R2 = ESS/TSS R2 = 15,37/16,21 R2 = 0,948 Ответ: 0,948 Задача 10 Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32. Cov (x,y) = 11,17 Var (x) = 59,86 Var (y) = 2,32 Найти: Zxy - ? Решение: 1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции: Zxy = Cov2(x,y)/ v Var(x) * Var(y) 2. Вычислим выборочную корреляцию: Zxy = (11,17)2/ v 59,86*2,32 Zxy = 124,769/11,785 Zxy = 10,588 Ответ: 10,588 Задание 2.2 Задача 1. |
Производство х1 | 30,8 | 34,3 | 38,3 | 37,7 | 33,8 | 39,9 | 38,7 | 37,0 | 31,4 | | Импорт х2 | 1,1 | 1,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,33 | | Потребление у | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18,0 | 18,3 | 18,5 | 19,1 | 18,0 | | |
Найти: Var = ? и парную Cov = ? Решение: 1. Определим число наблюдений: n = 9 2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n У ni = 1 * x i х1 = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9 х1 = 35,767 х2 = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9 х2 = 0,414 у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9 у = 17,844 3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n У ni = 1 * ( x i - xi )2 |
(x1 - x1) | -4,967 | -1,467 | 2,533 | 1,933 | -1,967 | 4,133 | 2,933 | 1,233 | -4,367 | У = 87,120 У/n = 9,680 | | (x1- x1)2 | 24,668 | 2,151 | 6,418 | 3,738 | 3,868 | 17,084 | 8,604 | 1,521 | 19,068 | | | (x2 - x2) | 0,686 | 0,786 | -0,014 | -0,214 | -0,314 | -0,314 | -0,314 | -0,214 | -0,084 | У = 1,483 У/n = 0,165 | | (x2- x2)2 | 0,470 | 0,617 | 0,000196 | 0,046 | 0,099 | 0,099 | 0,099 | 0,046 | 0,007 | | | (y - y) | -2,144 | -1,144 | -0,344 | 0,956 | 0,156 | 0,456 | 0,656 | 1,256 | 0,156 | У = 9,202 У/n = 1,022 | | (y- y)2 | 4,599 | 1,310 | 0,119 | 0,913 | 0,024 | 0,208 | 0,430 | 1,576 | 0,024 | | | |
4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n У ni = 1 * (xi - x)*(yi - y) |
(x1-x1)(y-y) | 10,651 | 1,679 | -0,873 | 1,847 | 1,923 | 1,549 | -0,679 | У = 17,673 | У/n = 1,964 | | (x2 -x2)(y-y) | -1,470 | -0,899 | 0,005 | -0,205 | -0,206 | -0,269 | -0,013 | У = -3,250 | У/n = -0,361 | | (x1-x1)(x2 -x2) | -3,405 | -1,152 | -0,037 | -0,415 | -0,922 | -0,264 | 0,369 | У = -6,508 | У/n = -0,723 | | |
Ответ: Var1 = 9,680 Cov1 = 1,964 Var2 = 0,165 Cov2 = -0,361 Var3 = 1,022 Cov3 = -0,723 Задача 2. Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1. Найти: b1,2 = ? Решение: 1. Определим Var рядов объясняющих переменных: Var(х1) = 9,680 Var(х2) = 0,165 2. Определим Cov: Cov(x1;у) = 1,964 Cov(х2;у) = -0,361 Cov(х1;х2) = -0,723 3. Вычислим b1 и b2 по формулам: b1 = Cov(x1;у)* Var(х2) - Cov(х2;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) - (Cov(х1;х2))2 b2 = Cov(х2;у)* Var(х1) - Cov(x1;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) - (Cov(х1;х2))2 b1 = (1,964*0,165) - (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2 b1 = 0,059 b2 = (-0,361*9,680) - (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2 b2 = - 1,931 Ответ: 0,059 ; - 1,931 Задача 3. Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2) Найти: а = ? Решение: 1. определим средние значения: х1 = 35,767 х2 = 0,414 у = 17,844 2. Определим коэффициенты b1 и b2: b1 = 0,059 b2 = -1,931 3. Вычислим значение коэффициента а: а = у - b1x1 - b2x2 a = 17,844 - 0,059*35,767 - (-1,931*0,414) a = 16,533 Ответ: 16,533 Задача 4. Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии. Решение: 1. Определим коэффициенты b1 и b2: b1 = 0,059 b2 = -1,931 2. Определим коэффициент а: а = 16,533 3. Определим вектор регрессионного значения по формуле: [Х*]= а + b1[x1]+ b2[x2] |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | [Х*] | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,33 | 17,748 | | |
Задача 5. Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля. Найти: RSS, TSS, ESS - ? Решение: 1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных: |
Потребление у | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 19,1 | 18 | У = 160,6 | У/n = 17,84 | | у* | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,330 | 17,748 | У= 160,6 | У/n = 17,84 | | |
у = y* 2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле: TSS = Уi = 1n ( yi - y)2 TSS = 9,202 |
( yi - y)2 | 4,60 | 1,31 | 0,12 | 0,91 | 0,21 | 0,43 | 1,58 | 0,02 | У= 9,202 | | |
3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле: ESS = Уi = 1n ( yi - y*)2 ESS = 7,316 |
( yi - y*)2 | 2,614 | 2,571 | 0,031 | 0,279 | 0,241 | 0,724 | 0,609 | 0,237 | 0,009 | У= 7,316 | | |
4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле: RSS = Уi = 1n ( yi - y*)2 RSS = 1,882 |
( yi - y*)2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 | 0,063 | У= 1,882 | | |
Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882 Задача 6. Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5 Найти: R-? Решение: 1. Вычислим TSS и ESS: TSS = 9,202 ESS = 7,316 2. Найдем R2 по формуле: R2 = ESS/TSS R2 = 7,316/9,202 R2 = 0,795 Ответ: 0,795 Задача 7. Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1). Решение: 1. Найдем Var: Var(х1) = 9,680 Var(х2) = 0,165 2. Найдем Cov: Cov(х1;х2) = -0,723 3. Рассчитаем коэффициент корреляции: r(x1;х2) = Cov(х1;х2)/v Var(х1)- Var(х2) r(x1;х2) = -0,723/3,085 r(x1;х2) = - 0,234 Ответ: - 0,234 Задача 8. Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля. Найти: Su2(u) - ? Решение: 1. Найдем RSS: RSS = 1,882 2. Найдем число степеней выборки k = n-m-1 k = 9-2-1 k = 6 3. Найдем несмещенную оценку случайного члена: Su2(u) = RSS/ n-m-1 Su2(u) = 1,882/9-2-1 Su2(u) = 0,3136 Ответ: 0,3136 Задача 9. Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля. Найти: С.О.(b1), C.O.(b2) - ? Решение: 1. Найдем дисперсию случайного члена: Su2(u) = 0,3136 2. Найдем Var: Var(х1) = 9,680 Var(х2) = 0,165 3. Найдем коэффиц. корреляции: r(x1;х2) = - 0,234 4. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b1), C.O.(b2): С.О.(b1) = (v(Su2(u)/n * Var(х1)) * (1/1- r2 (x1;х2)) С.О.(b1) = (v(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234)) C.O.(b2) = (v(Su2(u)/n * Var(х2)) * (1/1- r2 (x1;х2)) C.O.(b2) = (v(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234)) С.О.(b1) = 0,0486 C.O.(b2) = 0,3724 Ответ: 0,0486; 0,3724. Задача 10. Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона. Найти: DW - ? Решение: 1. Определим остатки в наблюдениях: ek = yk - y*k; k = (1:n) |
y(k) | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 18,3 | 18,5 | 19,1 | | y(k)* | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,330 | | e(k) | -0,526 | 0,461 | -0,520 | 0,429 | -0,334 | -0,394 | -0,123 | 0,770 | | ek-e(k-1) | -0,987 | 0,981 | -0,949 | 0,763 | 0,060 | -0,271 | -0,893 | 0,519 | | ek-e(k-1)^2 | 0,973 | 0,962 | 0,901 | 0,582 | 0,004 | 0,073 | 0,798 | 0,269 | | e(k)^2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 | | |
(e k-e k - 1) 2= 4,562 e k2 = 1,882 2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона: DW = У (e k-e k - 1)2/ У e k2 DW = 2,424 DW > 2 Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная. Задание 3.2 Задача 1. Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.): 6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4 Найти: а Решение: 1. Запишем формулу: a=1/N*У Nt=1*x (t) 2. Вычислим: а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10 а = 7,02 (млрд. руб.) Ответ: 7,02 (млрд. руб.) Задача 2. Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1. Найти: у = ? Решение: 1. а = 7,02 2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: у2 = 1/N*УNt=1 x(t)-a 3. Вычислим: |
х(t) | 5,9 | 6,3 | 6,6 | 6,8 | 7 | 7,1 | 7,4 | 7,9 | 7,8 | | х(t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 | 0,780 | | (х(t)-a)2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,0004 | 0,006 | 0,144 | 0,774 | 0,608 | | |
у = 3,676 Ответ: 3,676 Задача 3. Найти оценку ковариации для ф = 0,1,2 (используя данные из задачи 1) |
х(t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 | | (х(t)-a)^2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,000 | 0,006 | 0,144 | 0,774 | | (х(t)-a)* (х(t+1)-a) | 0,8064 | 0,3024 | 0,0924 | 0,0044 | -0,0016 | 0,0304 | 0,3344 | 0,6864 | | (х(t)-a)* (х(t+2)-a) | 0,4704 | 0,1584 | 0,0084 | -0,0176 | -0,0076 | 0,0704 | 0,2964 | 0,3344 | | |
? ф (0) = 3,676 ? ф (1) = 2,552 ? ф (2) = 1,313 с(ф) = 1/(N- ф)?t=1N- ф (x(t)-в)* (x(t+1)-в) с (0) = 0,367 с (1) = 0,283 с (2) = 0,164 Ответ: 0,367; 0,283; 0,164. Задача 4. Рассчитать выборочную автокорреляцию для ф = 1,2, используя данные из задачи 1 Найти: r= ? для ф = 1,2 Решение: 1. Найдем ф = 0,1,2 с(0) = 0,367 с(1) = 0,283 с(2) = 0,164 2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для ф = 1,2, по формуле: r(ф) = с (ф)/ ф(0) r(1) = 0,283/0,367 r(1) = 0,771 r(2) = 0,164/0,367 r(2) = 0,446 Ответ: 0,771; 0,446 Задача 5. Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1. Найти: rчастная (2) = ? Решение: 1. Найдем выборочную автокорреляцию r(1) = 0,771 r(2) = 0,446 2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка: rчастная (2) = r(2) - r2 (1)/ 1 - r2 (1) rчастная (2) = 0,446 - (0,771)2 / 1 - (0,771)2 rчастная (2) = - 0,365 Ответ: - 0,365 Задача 6. С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда: |
1 | 6200 | - | | 2 | 6300 | - | | 3 | 6400 | - | | 4 | 6600 | + | | 5 | 6400 | - | | 6 | 6500 | не рассматриваем | | 7 | 6600 | + | | 8 | 6700 | + | | 9 | 6500 | не рассматриваем | | 10 | 6700 | + | | 11 | 6600 | + | | 12 | 6600 | + | | 13 | 6300 | - | | 14 | 6400 | - | | 15 | 6000 | - | | |
Решение: 1. Определим число наблюдений: n=15 2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания: 6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700 3. Вычислим медиану: n = 15; хмед = n+1/2 = 15+1/2 xмед = 8 xмед = 6500 4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом: если х(i) < хмед , то +; если х(i) > хмед , то -. 5. Определим общее число серий: v(15) = 6 6. Протяженность самой длинной серии: ф(20) = 3 7. Проверим неравенства: v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*vn-1) v(n) = (1/2*(15+2) - 1,96*v15-1) v(n) = 1,166 6 > 1 - выполняется ф(n) < (1,43*ln(n+1)) ф(n) < (1,43*ln(15+1)) ф(n) = 3,96 3 < 3,96 - выполняется Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается. Ответ: гипотеза принимается.
|