Экономико-математическое моделирование : Построение экономико-математических моделей
Построение экономико-математических моделей
7 Контрольная работа по экономико-математическим методам Задача №1Условие задачи:Администрация штата объявила торги на n строительных подрядов для n фирм. Ни с одной фирмой не заключается более одного контракта. По политическим соображениям чиновники администрации стремятся не заключать более N крупных контрактов с фирмами, расположенными за пределами штата. Обозначим через 1,2, …, s крупные контракты, а через 1,2,…,t - фирмы, расположенные за пределами штата. Целью является минимизация общих затрат при указанном условии. Постройте соответствующую данным условиям модель.Решение:Пусть х - затраты на строительство, тогда цель задачи "минимизация общих затрат" будет выражена через функциюF = x > minПусть х1 - затраты на строительство при подряде местных строительных фирм, х2-затраты на строительство при подряде строительных фирм, расположенных за пределами штата.F = n*х1+n*х2 > minS*t ?Nnn ?1х1, х2? 0Задачу минимизации общих затрат на строительство можно записать как задачу математического программированияn n t sF =? ? Cij *Хij+? ? Cij*Yij > mini=1 j=1 i=1 j=1При ограниченияхХij ? 1; I, j= 1, nYij ? 1; I, j= 1, n?ij? N; i=1, t; j=1sХij, Yij ?0Через Хij обозначен факт заключения администрацией штата с i - той фирмой, расположенной на территории штата, j - того контракта (подряда)1, i - ая фирма заключила - контрактХij = 0, i - ая фирма не заключила - котрактЧерез Yij обозначен факт заключения администрацией штата i - oй фирмой, расположенной за пределами штата, j - того контракта.Через Cij обозначены затраты на строительство по j - тому контракту с i - ой фирмы.Целевая функция представляет собой суммарные затраты. Первые два условия ограничивают количество заключаемых с одной строительной фирмой контрактов в количестве ? 1, третье условие ограничивает количество заключаемых контрактов с фирмами расположенными за пределами штата, в количестве не более N, четвертое условие очевидно исходя из условия данной задачи.Задача № 2Условие задачи:На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.|
Вид корма | Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать лисицы | Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать песцы | Общее кол-во корма | | 1 | 2 | 3 | 180 | | 2 | 4 | 1 | 240 | | 3 | 6 | 7 | 426 | | Прибыль от реализации 1 шкурки | 16 | 12 | | | |
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации была максимальной. Решение: Введем переменные. Пусть х - это количество лисиц и песцов, которое следует выращивать на ферме. Х1 - это количество лисиц, которое следует выращивать на ферме. Х2 - это количество песцов, которое следует выращивать на ферме. Цель задачи: максимизация прибыли от реализации шкурок песцов и лисиц. Целевая функция: F =16х1 + 12х2> max Посмотрим как будут выглядеть данные в задаче ограничения: 2х1+3х2?180 - ограничения корма 1 4х1+х2 ? 240 - ограничения корма 2 6х1+7х2 ? 426 - ограничения корма 3 х1, х2? 0, € Z После решения задачи в программе XL получены результаты: 57 лисиц и 12 песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль была максимальной. Задача № 3Условие задачи:Найти оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур: озимой ржи, пшеницы, картофеля под посевы отведено 1000га пашни, которая должна использоваться полностью. При этом общие ресурсы труда составляют 30000 человек. Производство культур характеризуется показателями таблицы:|
показатели | Озимая рожь | Озимая пшеница | картофель | | Урожайность с 1га, ц | 32 | 40 | 250 | | Затраты труда на 1га, человек | 16 | 20 | 80 | | Материально-денежные затраты на 1га, руб | 214 | 226 | 782 | | |
По плану требуется произвести 32000ц зерна, 40000ц картофеля. Критерий оптимизации - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции. Решить прямую и двойственную задачи. Провести послеоптимизационный анализ. Прямая задача: Пусть х - это количество га занятых под продовольственные культуры, тогда Х1 - кол-во га, занятых под озимой рожью, Х2 - кол-во га, занятых под озимой пшеницей, Х3 - кол-во га, занятых под картофелем. Целью задачи является - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции, т.е. F = 214x1+226x2+782x3 > min Выделим ограничения, определенные условиями задачи: x1+x2+x3=1000,16x1+20x2+80x3? 30000,32x1+40x2 ? 32000,250x3 ? 40000,x1, x2, x3 ? 0. Решаем задачу в программе XL и получаем результат: Х1, т. е количество га, занятых под озимой рожью=125га. Х2, т. е количество занятых га под озимую пшеницу =700га. Х3, т. е количество занятых га под картофель=175га. Это будет оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур. Затраты на производство продукции составили 825руб. Двойственная задача: На первом этапе приведем прямую задачу к двойственной задачи. х1+x2+x3 ?1000 х1+x2+x3 ? 1000 16x1+20x2+80x3 ? 30000 32x1+40x2 ? 32000 250x3 ? 40000 x1 x2 x3 ? 0 матрица ограничений. Умножаем на - 1. x1-x2-x3 ?-1000 x1+x2+x3 ? 1000 16x1+20x2+80x3 ? 30000 32x1-40x2 ? - 32000 250x3 ? - 40000 x1, x2,x3 ? 0 транспонированная матрица коэффициентов ограничения х1 х2 х3 у1 - 1 - 1 - 1 - 1000 у2 1 1 1 1000 у3 16 20 80 30000 у4 - 32 - 40 0 - 32000 у5 0 0 - 250 - 40000 Целевая функция двойственной задачи будет выглядеть следующим образом: Z = - 1000y1 +1000y2 + 30000y3 - 32000y4 - 40000y5 > max y1+y2+16y3-32y4 ? 214 y1+y2+20y3-40y4 ? 226 y1+y2+80y3-250y5 ? 782 решаем ограничения в программе XL
|