Экономико-математическое моделирование : Парная регрессия
Парная регрессия
27 Смысл регрессионного анализа - построение функциональных зависимостей между двумя группами переменных величин Х1, Х2, … Хр и Y. При этом речь идет о влиянии переменных Х (это будут аргументы функций) на значения переменной Y (значение функции). Переменные Х мы будем называть факторами, а Y - откликом. Наиболее простой случай - установление зависимости одного отклика y от одного фактора х. Такой случай называется парной (простой) регрессией. Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и x: , где у - зависимая переменная (результативный признак); х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор). Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия:. Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным: * полиномы разных степеней *равносторонняя гипербола Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: степенная ; показательная экспоненциальная Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е. Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и b: Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы: Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии и индекс корреляции - для нелинейной регрессии (): Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических: Допустимый предел значений - не более 8 - 10%. Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения: Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной: где - общая сумма квадратов отклонений; - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»); - остаточная сумма квадратов отклонений. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:
Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции. F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: п - число единиц совокупности; т - число параметров при переменных х. Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01. Если Fтабл < Fфакт, то H0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки: Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам: Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - tтабл и tфакт - принимаем или отвергаем гипотезу Hо. Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством Если tтабл < tфакт, то Hо отклоняется, т.е. а, b и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b или . Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ? для каждого показателя: Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид: Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения. Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза : где и строится доверительный интервал прогноза: где Задача: По 22 регионам страны изучается зависимость розничной продажи телевизоров, y от среднедушевых денежных доходов в месяц, x (табл. 1): |
№ региона | X | Y | | 1,000 | 2,800 | 28,000 | | 2,000 | 2,400 | 21,300 | | 3,000 | 2,100 | 21,000 | | 4,000 | 2,600 | 23,300 | | 5,000 | 1,700 | 15,800 | | 6,000 | 2,500 | 21,900 | | 7,000 | 2,400 | 20,000 | | 8,000 | 2,600 | 22,000 | | 9,000 | 2,800 | 23,900 | | 10,000 | 2,600 | 26,000 | | 11,000 | 2,600 | 24,600 | | 12,000 | 2,500 | 21,000 | | 13,000 | 2,900 | 27,000 | | 14,000 | 2,600 | 21,000 | | 15,000 | 2,200 | 24,000 | | 16,000 | 2,600 | 34,000 | | 17,000 | 3,300 | 31,900 | | 19,000 | 3,900 | 33,000 | | 20,000 | 4,600 | 35,400 | | 21,000 | 3,700 | 34,000 | | 22,000 | 3,400 | 31,000 | | |
Задание 1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. 2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий. 3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. 4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом. 5. Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации. 6. С помощью F-критерия Фишера определите статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. Выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование. 7. Рассчитайте прогнозное значение результата по линейному уравнению регрессии, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости ?=0,05. 8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке. 1. Поле корреляции для: · Линейной регрессии y=a+b*x: · Гипотеза о форме связи: чем больше размер среднедушевого денежного дохода в месяц (факторный признак), тем больше при прочих равных условиях розничная продажа телевизоров (результативный признак). В данной модели параметр b называется коэффициентом регрессии и показывает, насколько в среднем отклоняется величина результативного признака у при отклонении величины факторного признаках на одну единицу. · Степенной регрессии : Гипотеза о форме связи: степенная функция имеет вид Y=axb. Параметр b степенного уравнения называется показателем эластичности и указывает, на сколько процентов изменится у при возрастании х на 1%. При х = 1 a = Y. · Экспоненциальная регрессия : · Равносторонняя гипербола : Гипотеза о форме связи: В ряде случаев обратная связь между факторным и результативным признаками может быть выражена уравнением гиперболы: Y=a+b/x. · Обратная гипербола : · Полулогарифмическая регрессия : 2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий. · Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b: По исходным данным рассчитываем ?y, ?x, ?yx, ?x2, ?y2 (табл. 2): |
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Y^cp | Y-Y^cp | Ai | | 1 | 2,800 | 28,000 | 78,400 | 7,840 | 784,000 | 25,719 | 2,281 | 0,081 | | 2 | 2,400 | 21,300 | 51,120 | 5,760 | 453,690 | 22,870 | -1,570 | 0,074 | | 3 | 2,100 | 21,000 | 44,100 | 4,410 | 441,000 | 20,734 | 0,266 | 0,013 | | 4 | 2,600 | 23,300 | 60,580 | 6,760 | 542,890 | 24,295 | -0,995 | 0,043 | | 5 | 1,700 | 15,800 | 26,860 | 2,890 | 249,640 | 17,885 | -2,085 | 0,132 | | 6 | 2,500 | 21,900 | 54,750 | 6,250 | 479,610 | 23,582 | -1,682 | 0,077 | | 7 | 2,400 | 20,000 | 48,000 | 5,760 | 400,000 | 22,870 | -2,870 | 0,144 | | 8 | 2,600 | 22,000 | 57,200 | 6,760 | 484,000 | 24,295 | -2,295 | 0,104 | | 9 | 2,800 | 23,900 | 66,920 | 7,840 | 571,210 | 25,719 | -1,819 | 0,076 | | 10 | 2,600 | 26,000 | 67,600 | 6,760 | 676,000 | 24,295 | 1,705 | 0,066 | | 11 | 2,600 | 24,600 | 63,960 | 6,760 | 605,160 | 24,295 | 0,305 | 0,012 | | 12 | 2,500 | 21,000 | 52,500 | 6,250 | 441,000 | 23,582 | -2,582 | 0,123 | | 13 | 2,900 | 27,000 | 78,300 | 8,410 | 729,000 | 26,431 | 0,569 | 0,021 | | 14 | 2,600 | 21,000 | 54,600 | 6,760 | 441,000 | 24,295 | -3,295 | 0,157 | | 15 | 2,200 | 24,000 | 52,800 | 4,840 | 576,000 | 21,446 | 2,554 | 0,106 | | 16 | 2,600 | 34,000 | 88,400 | 6,760 | 1156,000 | 24,295 | 9,705 | 0,285 | | 17 | 3,300 | 31,900 | 105,270 | 10,890 | 1017,610 | 29,280 | 2,620 | 0,082 | | 19 | 3,900 | 33,000 | 128,700 | 15,210 | 1089,000 | 33,553 | -0,553 | 0,017 | | 20 | 4,600 | 35,400 | 162,840 | 21,160 | 1253,160 | 38,539 | -3,139 | 0,089 | | 21 | 3,700 | 34,000 | 125,800 | 13,690 | 1156,000 | 32,129 | 1,871 | 0,055 | | 22 | 3,400 | 31,000 | 105,400 | 11,560 | 961,000 | 29,992 | 1,008 | 0,033 | | Итого | 58,800 | 540,100 | 1574,100 | 173,320 | 14506,970 | 540,100 | 0,000 | | | сред значение | 2,800 | 25,719 | 74,957 | 8,253 | 690,808 | | | 0,085 | | станд. откл | 0,643 | 5,417 | | | | | | | | |
Система нормальных уравнений составит: Ур-ие регрессии: = 5,777+7,122•x. Данное уравнение показывает, что с увеличением среднедушевого денежного дохода в месяц на 1 тыс. руб. доля розничных продаж телевизоров повышается в среднем на 7,12%. · Рассчитаем параметры уравнений степенной парной регрессии. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения: где Для расчетов используем данные табл. 3: |
№ рег | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Yp^cp | y^cp | | 1 | 1,030 | 3,332 | 3,431 | 1,060 | 11,104 | 3,245 | 25,67072 | | 2 | 0,875 | 3,059 | 2,678 | 0,766 | 9,356 | 3,116 | 22,56102 | | 3 | 0,742 | 3,045 | 2,259 | 0,550 | 9,269 | 3,004 | 20,17348 | | 4 | 0,956 | 3,148 | 3,008 | 0,913 | 9,913 | 3,183 | 24,12559 | | 5 | 0,531 | 2,760 | 1,465 | 0,282 | 7,618 | 2,827 | 16,90081 | | 6 | 0,916 | 3,086 | 2,828 | 0,840 | 9,526 | 3,150 | 23,34585 | | 7 | 0,875 | 2,996 | 2,623 | 0,766 | 8,974 | 3,116 | 22,56102 | | 8 | 0,956 | 3,091 | 2,954 | 0,913 | 9,555 | 3,183 | 24,12559 | | 9 | 1,030 | 3,174 | 3,268 | 1,060 | 10,074 | 3,245 | 25,67072 | | 10 | 0,956 | 3,258 | 3,113 | 0,913 | 10,615 | 3,183 | 24,12559 | | 11 | 0,956 | 3,203 | 3,060 | 0,913 | 10,258 | 3,183 | 24,12559 | | 12 | 0,916 | 3,045 | 2,790 | 0,840 | 9,269 | 3,150 | 23,34585 | | 13 | 1,065 | 3,296 | 3,509 | 1,134 | 10,863 | 3,275 | 26,4365 | | 14 | 0,956 | 3,045 | 2,909 | 0,913 | 9,269 | 3,183 | 24,12559 | | 15 | 0,788 | 3,178 | 2,506 | 0,622 | 10,100 | 3,043 | 20,97512 | | 16 | 0,956 | 3,526 | 3,369 | 0,913 | 12,435 | 3,183 | 24,12559 | | 17 | 1,194 | 3,463 | 4,134 | 1,425 | 11,990 | 3,383 | 29,4585 | | 19 | 1,361 | 3,497 | 4,759 | 1,852 | 12,226 | 3,523 | 33,88317 | | 20 | 1,526 | 3,567 | 5,443 | 2,329 | 12,721 | 3,661 | 38,90802 | | 21 | 1,308 | 3,526 | 4,614 | 1,712 | 12,435 | 3,479 | 32,42145 | | 22 | 1,224 | 3,434 | 4,202 | 1,498 | 11,792 | 3,408 | 30,20445 | | итого | 21,115 | 67,727 | 68,921 | 22,214 | 219,361 | 67,727 | 537,270 | | сред зн | 1,005 | 3,225 | 3,282 | 1,058 | 10,446 | 3,225 | | | стан откл | 0,216 | 0,211 | | | | | | | |
Рассчитаем С и b: Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим: Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y. · Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения: где Для расчетов используем данные табл. 4: |
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Yp | y^cp | | 1 | 2,800 | 3,332 | 9,330 | 7,840 | 11,104 | 3,225 | 25,156 | | 2 | 2,400 | 3,059 | 7,341 | 5,760 | 9,356 | 3,116 | 22,552 | | 3 | 2,100 | 3,045 | 6,393 | 4,410 | 9,269 | 3,034 | 20,777 | | 4 | 2,600 | 3,148 | 8,186 | 6,760 | 9,913 | 3,170 | 23,818 | | 5 | 1,700 | 2,760 | 4,692 | 2,890 | 7,618 | 2,925 | 18,625 | | 6 | 2,500 | 3,086 | 7,716 | 6,250 | 9,526 | 3,143 | 23,176 | | 7 | 2,400 | 2,996 | 7,190 | 5,760 | 8,974 | 3,116 | 22,552 | | 8 | 2,600 | 3,091 | 8,037 | 6,760 | 9,555 | 3,170 | 23,818 | | 9 | 2,800 | 3,174 | 8,887 | 7,840 | 10,074 | 3,225 | 25,156 | | 10 | 2,600 | 3,258 | 8,471 | 6,760 | 10,615 | 3,170 | 23,818 | | 11 | 2,600 | 3,203 | 8,327 | 6,760 | 10,258 | 3,170 | 23,818 | | 12 | 2,500 | 3,045 | 7,611 | 6,250 | 9,269 | 3,143 | 23,176 | | 13 | 2,900 | 3,296 | 9,558 | 8,410 | 10,863 | 3,252 | 25,853 | | 14 | 2,600 | 3,045 | 7,916 | 6,760 | 9,269 | 3,170 | 23,818 | | 15 | 2,200 | 3,178 | 6,992 | 4,840 | 10,100 | 3,061 | 21,352 | | 16 | 2,600 | 3,526 | 9,169 | 6,760 | 12,435 | 3,170 | 23,818 | | 17 | 3,300 | 3,463 | 11,427 | 10,890 | 11,990 | 3,362 | 28,839 | | 19 | 3,900 | 3,497 | 13,636 | 15,210 | 12,226 | 3,526 | 33,978 | | 20 | 4,600 | 3,567 | 16,407 | 21,160 | 12,721 | 3,717 | 41,140 | | 21 | 3,700 | 3,526 | 13,048 | 13,690 | 12,435 | 3,471 | 32,170 | | 22 | 3,400 | 3,434 | 11,676 | 11,560 | 11,792 | 3,389 | 29,638 | | Итого | 58,800 | 67,727 | 192,008 | 173,320 | 219,361 | 67,727 | 537,053 | | сред зн | 2,800 | 3,225 | 9,143 | 8,253 | 10,446 | | | | стан откл | 0,643 | 0,211 | | | | | | | |
Рассчитаем С и b: Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим: Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x. · Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены: где Для расчетов используем данные табл. 5: |
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | y^cp | | 1 | 1,030 | 28,000 | 28,829 | 1,060 | 784,000 | 26,238 | | 2 | 0,875 | 21,300 | 18,647 | 0,766 | 453,690 | 22,928 | | 3 | 0,742 | 21,000 | 15,581 | 0,550 | 441,000 | 20,062 | | 4 | 0,956 | 23,300 | 22,263 | 0,913 | 542,890 | 24,647 | | 5 | 0,531 | 15,800 | 8,384 | 0,282 | 249,640 | 15,525 | | 6 | 0,916 | 21,900 | 20,067 | 0,840 | 479,610 | 23,805 | | 7 | 0,875 | 20,000 | 17,509 | 0,766 | 400,000 | 22,928 | | 8 | 0,956 | 22,000 | 21,021 | 0,913 | 484,000 | 24,647 | | 9 | 1,030 | 23,900 | 24,608 | 1,060 | 571,210 | 26,238 | | 10 | 0,956 | 26,000 | 24,843 | 0,913 | 676,000 | 24,647 | | 11 | 0,956 | 24,600 | 23,506 | 0,913 | 605,160 | 24,647 | | 12 | 0,916 | 21,000 | 19,242 | 0,840 | 441,000 | 23,805 | | 13 | 1,065 | 27,000 | 28,747 | 1,134 | 729,000 | 26,991 | | 14 | 0,956 | 21,000 | 20,066 | 0,913 | 441,000 | 24,647 | | 15 | 0,788 | 24,000 | 18,923 | 0,622 | 576,000 | 21,060 | | 16 | 0,956 | 34,000 | 32,487 | 0,913 | 1156,000 | 24,647 | | 17 | 1,194 | 31,900 | 38,086 | 1,425 | 1017,610 | 29,765 | | 19 | 1,361 | 33,000 | 44,912 | 1,852 | 1089,000 | 33,351 | | 20 | 1,526 | 35,400 | 54,022 | 2,329 | 1253,160 | 36,895 | | 21 | 1,308 | 34,000 | 44,483 | 1,712 | 1156,000 | 32,221 | | 22 | 1,224 | 31,000 | 37,937 | 1,498 | 961,000 | 30,406 | | Итого | 21,115 | 540,100 | 564,166 | 22,214 | 14506,970 | 540,100 | | сред зн | 1,005 | 25,719 | 26,865 | 1,058 | 690,808 | | | стан откл | 0,216 | 5,417 | | | | | | |
Рассчитаем a и b: Получим линейное уравнение: . · Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель к линейному виду, заменив , тогда Для расчетов используем данные табл. 6: |
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Y^cp | | 1 | 2,800 | 0,036 | 0,100 | 7,840 | 0,001 | 24,605 | | 2 | 2,400 | 0,047 | 0,113 | 5,760 | 0,002 | 22,230 | | 3 | 2,100 | 0,048 | 0,100 | 4,410 | 0,002 | 20,729 | | 4 | 2,600 | 0,043 | 0,112 | 6,760 | 0,002 | 23,357 | | 5 | 1,700 | 0,063 | 0,108 | 2,890 | 0,004 | 19,017 | | 6 | 2,500 | 0,046 | 0,114 | 6,250 | 0,002 | 22,780 | | 7 | 2,400 | 0,050 | 0,120 | 5,760 | 0,003 | 22,230 | | 8 | 2,600 | 0,045 | 0,118 | 6,760 | 0,002 | 23,357 | | 9 | 2,800 | 0,042 | 0,117 | 7,840 | 0,002 | 24,605 | | 10 | 2,600 | 0,038 | 0,100 | 6,760 | 0,001 | 23,357 | | 11 | 2,600 | 0,041 | 0,106 | 6,760 | 0,002 | 23,357 | | 12 | 2,500 | 0,048 | 0,119 | 6,250 | 0,002 | 22,780 | | 13 | 2,900 | 0,037 | 0,107 | 8,410 | 0,001 | 25,280 | | 14 | 2,600 | 0,048 | 0,124 | 6,760 | 0,002 | 23,357 | | 15 | 2,200 | 0,042 | 0,092 | 4,840 | 0,002 | 21,206 | | 16 | 2,600 | 0,029 | 0,076 | 6,760 | 0,001 | 23,357 | | 17 | 3,300 | 0,031 | 0,103 | 10,890 | 0,001 | 28,398 | | 19 | 3,900 | 0,030 | 0,118 | 15,210 | 0,001 | 34,844 | | 20 | 4,600 | 0,028 | 0,130 | 21,160 | 0,001 | 47,393 | | 21 | 3,700 | 0,029 | 0,109 | 13,690 | 0,001 | 32,393 | | 22 | 3,400 | 0,032 | 0,110 | 11,560 | 0,001 | 29,301 | | Итого | 58,800 | 0,853 | 2,296 | 173,320 | 0,036 | 537,933 | | сред знач | 2,800 | 0,041 | 0,109 | 8,253 | 0,002 | | | стан отклон | 0,643 | 0,009 | | | | | | |
Рассчитаем a и b: Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим: Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x. · Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы к линейному виду, заменив , тогда Для расчетов используем данные табл. 7: |
№ региона | X=1/z | Y | XY | X^2 | Y^2 | Y^cp | | 1 | 0,357 | 28,000 | 10,000 | 0,128 | 784,000 | 26,715 | | 2 | 0,417 | 21,300 | 8,875 | 0,174 | 453,690 | 23,259 | | 3 | 0,476 | 21,000 | 10,000 | 0,227 | 441,000 | 19,804 | | 4 | 0,385 | 23,300 | 8,962 | 0,148 | 542,890 | 25,120 | | 5 | 0,588 | 15,800 | 9,294 | 0,346 | 249,640 | 13,298 | | 6 | 0,400 | 21,900 | 8,760 | 0,160 | 479,610 | 24,227 | | 7 | 0,417 | 20,000 | 8,333 | 0,174 | 400,000 | 23,259 | | 8 | 0,385 | 22,000 | 8,462 | 0,148 | 484,000 | 25,120 | | 9 | 0,357 | 23,900 | 8,536 | 0,128 | 571,210 | 26,715 | | 10 | 0,385 | 26,000 | 10,000 | 0,148 | 676,000 | 25,120 | | 11 | 0,385 | 24,600 | 9,462 | 0,148 | 605,160 | 25,120 | | 12 | 0,400 | 21,000 | 8,400 | 0,160 | 441,000 | 24,227 | | 13 | 0,345 | 27,000 | 9,310 | 0,119 | 729,000 | 27,430 | | 14 | 0,385 | 21,000 | 8,077 | 0,148 | 441,000 | 25,120 | | 15 | 0,455 | 24,000 | 10,909 | 0,207 | 576,000 | 21,060 | | 16 | 0,385 | 34,000 | 13,077 | 0,148 | 1156,000 | 25,120 | | 17 | 0,303 | 31,900 | 9,667 | 0,092 | 1017,610 | 29,857 | | 19 | 0,256 | 33,000 | 8,462 | 0,066 | 1089,000 | 32,564 | | 20 | 0,217 | 35,400 | 7,696 | 0,047 | 1253,160 | 34,829 | | 21 | 0,270 | 34,000 | 9,189 | 0,073 | 1156,000 | 31,759 | | 22 | 0,294 | 31,000 | 9,118 | 0,087 | 961,000 | 30,374 | | Итого | 7,860 | 540,100 | 194,587 | 3,073 | 14506,970 | 540,100 | | сред знач | 0,374 | 25,719 | 9,266 | 0,146 | 1318,815 | | | стан отклон | 0,079 | 25,639 | | | | | | |
Рассчитаем a и b: Получим линейное уравнение: . Получим уравнение регрессии: . 3. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации: · Линейная модель. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции. Был получен следующий коэффициент корреляции rxy=b=7,122*, что говорит о прямой сильной связи фактора и результата. Коэффициент детерминации r?xy=(0,845)?=0,715. Это означает, что 71,5% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевой денежный доход в месяц. · Степенная модель. Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции. Был получен следующий индекс корреляции =, что говорит о очень сильной тесной связи, но немного больше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации r?xy=0,7175. Это означает, что 71,75% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевой денежный доход в месяц. · Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции ?xy=0,8124, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного слабее, чем в линейной и степенной моделях. Коэффициент детерминации r?xy=0,66. Это означает, что 66% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевой денежный доход в месяц. · Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ?xy=0,8578, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного больше чем в предыдущих моделях. Коэффициент детерминации r?xy=0,7358. Это означает, что 73,58% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевой денежный доход в месяц. · Гиперболическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ?xy=0,8448 и коэффициент корреляции rxy=-0,1784 что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r?xy=0,7358. Это означает, что 73,5% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевой денежный доход в месяц. · Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции ?xy=0,8114 и коэффициент корреляции rxy=-0,8120, что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r?xy=0,6584. Это означает, что 65,84% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевой денежный доход в месяц. Вывод: по полулогарифмическому уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: ?xy=0,8578 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, гиперболической, обратной регрессиями). 4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом. Рассчитаем коэффициент эластичности для линейной модели: · Для уравнения прямой: y = 5,777+7,122•x · Для уравнения степенной модели : · Для уравнения экспоненциальной модели: Для уравнения полулогарифмической модели : · Для уравнения обратной гиперболической модели : · Для уравнения равносторонней гиперболической модели : Сравнивая значения , характеризуем оценку силы связи фактора с результатом: · · · · · · Известно, что коэффициент эластичности показывает связь между фактором и результатом, т.е. на сколько% изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. В данном примере получилось, что самая большая сила связи между фактором и результатом в полулогарифмической модели, слабая сила связи в обратной гиперболической модели. 5. Оценка качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации : В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на: · Линейная регрессия. = *100%= 8,5%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%. · Степенная регрессия. =*100%= 8,2%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%. · Экспоненциальная регрессия. =*100%= 9%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%. · Полулогарифмическая регрессия. =*100%= 7,9 что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%. · Гиперболическая регрессия. =*100%= 9,3 что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%. · Обратная регрессия. =*100%= 9,9 3 что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 -10%. 6. Рассчитаем F-критерий: · Линейная регрессия. = *19= 47,579 где =4,38< · Степенная регрессия. =*19= 48,257 где =4,38< · Экспоненциальная регрессия. =*19= 36,878 где =4,38< · Полулогарифмическая регрессия. =*19= 52,9232 где =4,38< · Гиперболическая регрессия. =*19= 47,357 где =4,38< · Обратная регрессия. =*19= 36,627 где =4,38< Для всех регрессий =4,38< , из чего следует, что уравнения регрессии статистически значимы. Вывод: остается на допустимом уровне для всех уравнений регрессий. |
| А | R^2 | Fфакт | | Линейная модель | 8,5 | 0,714 | 47,500 | | Степенная модель | 8,2 | 0,718 | 48,250 | | Полулогарифмическая модель | 7,9 | 0,736 | 52,920 | | Экспоненциальная модель | 9,0 | 0,660 | 36,870 | | Равносторонняя гипербола | 9,3 | 0,714 | 47,350 | | Обратная гипербола | 9,9 | 0,453 | 15,700 | | |
Все уравнения регрессии достаточно хорошо описывают исходные данные. Некоторое предпочтение можно отдать полулогарифмической функции, для которой значение R^2 наибольшее, а ошибка аппроксимации - наименьшая 7. Рассчитаем прогнозное значение результата по линейному уравнению регрессии, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости ?=0,05: Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения . 5,777+7,122*2,996=27,114 где = =2,8*1,07=2,996 Средняя стандартная ошибка прогноза : ==3,12 где = =0,697886 Предельная ошибка прогноза: Доверительный интервал прогноза где =27,116,53; 27,11-6,53 = 20,58 27,11+6,53 = 33,64 Выполненный прогноз среднедушевых денежных доходов в месяц, x оказался надежным (р = 1 - ? = 1 - 0,05 = 0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 2,09 раза: = = =1,63
|