Экономико-математическое моделирование : Общая теория систем и системный анализ

Общая теория систем и системный анализ

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

Кафедра «Экономика и управление проектами»

Курсовая работа по дисциплине:

«Общая теория систем и системный анализ»

Проверил: Тарасов Ю.Н

_______________201_г

Автор работы:

Студент группы ПиФ 213

Коробейникова А. А.

_______________201_г

Челябинск 2010

Аннотация

Коробейникова А. А, ПиФ-213

Курсовая работа по дисциплине

«Общая теория систем и системный анализ»

10 с., библиогр. список 2 наим.

Цель курсовой работы:

- Рассмотреть системы с положительной и отрицательной обратной связью, а так же рассмотреть свойства и особенности систем.

Оглавление

Аннотация

Исходная система

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Список литературы

Исходная система

Динамические свойства системы S (рисунок 1) описываются следующим дифференциальным уравнением первого порядка

Т*dY(t)/dt + Y(t) = X(t), (1)

в котором:

T - Постоянная времени, характеризующая инерционность системы S; X(t) - входной (управляющий) сигнал; Y(t) - выходной сигнал (результат воздействия X(t) на систему).

X(t) Y(t)

Рис.1. Исходная система

Как известно, полное решение уравнение (1) можно представить в виде суммы

Y (t) = Yобщ. (t) + Yчаст.(t) (2)

В уравнении (2) слагаемое Yобщ.(t) - общее решение однородного уравнения, которое может быть получено из (1) при выполнении условия X(t) = 0 так, что

Т*dY(t)/dt + Y(t) = 0 (3)

Уравнение (3) описывает собственные динамические свойства системы S, то есть ее поведение при отсутствии внешнего воздействия X(t).

Составляющая Yчаст.(t) учитывает частное решение неоднородного уравнения (1), которое определяется только видом входного сигнала X(t).

Если взять в качестве такого сигнала стандартный сигнал простого вида, например, единичную ступенчатую функцию вида

1, если t 0,

1(t) = (4)

0, если t 0,

то динамические свойства систем можно определить путем сравнения их реакций на такие сигналы.

Задание №1

Полное решение исходного уравнения имеет вид:

Y (t) = Yобщ.(t) + Yчаст.(t)

Найдем общее решение однородного уравнения (при X(t)=0):

T*dY (t)/d (t) + Y (t) = 0.

Y (t) = - T*dY (t)/d (t);

Y (t)*d (t) = - T*dY (t);

d (t) = - T*dY(t)/Y(t);

dY (t)/Y(t) = - d(t)/Т

Проинтегрируем обе части уравнения:

?dY(t)/ Y(t) = - ? d(t)/T;

ln Y(t) = - 1/T*t + C0;

ln Y(t) = - t/T + C0;

Y (t) = e-t/T+C0;

Y (t) = e-t/T* e C0.

Пусть e C0 = C1, тогда: Yобщ. (t) = C1*e-t/T - общее решение исходного уравнения.

Так как Х - единичная ступенчатая функция

Yчаст. (t) = 1.

Полное решение исходного уравнения

Y (t) = C1*e-t/T+1.

получим:

C1*e0 +1= 0;

C1*e0 = - 1;

C1 = - 1.

Полное решение исходного уравнения будет выглядеть:

Y (t) = 1- e-t/T

m = 2

k = 12

Т = mk = 24

Подставим значение Т

Y (t) = 1- e-t/9

б) Построить график переходного процесса Y(t) для значений времени t из диапазона 0…3T

t=0, Y (0) = 1- e -0/T = 0;

t=T, Y (T) = 1- e -T/T = 1- e -1 =1- 0, 37 = 0, 63;

t=2T, Y (2T) = 1-e -2T/T = 1- e -2 = 1- 0,137 = 0, 86;

t=3T, Y (3T) = 1-e -3T/T = 1- e -3 = 1- 0, 05 = 0, 95.

То есть: при t=0 Y(0) = 0,

при t=24 Y(6) = 0,63,

при t=48 Y(12) = 0,86;

при t=72 Y(t) = 0,95.

Задание №2

а) Определим значение постоянной времени Т* системы S*, которая получена из исходной системы S путем структурных преобразований

T*dY (t)/d (t) + Y (t) = X (t)

Рис. 2. Исходная система, охваченная отрицательной обратной связью

Система S* охвачена отрицательной обратной связью, значит выходной сигнал Y*(t) = Y(t), а входной X(t) = k(X(t) - Y*(t)).

k*X (t) - k*Y(t) = T*dY*(t)/d(t) + Y*(t);

k*X (t) = T*dY*(t)/d(t) + Y*(t) + k*Y(t);

k*X (t) = T*dY*(t)/d(t) + Y*(t)(1+k);

k*X (t)/(k+1) = T*dY*(t)/d(t)*(k+1) + Y*(t);

X (t) = T*dY*(t)/d (t)*(k+1) + Y*(t);

T*=T/ (K+1).

б) Из задания «а» можно сделать вывод о том, что системе S* на устранение внешних воздействий требуется время в раз меньше, чем системе S. Значит, система S* менее инерционна по сравнению с S.

в) Одно из важнейших свойств отрицательной обратной связи, используемое при построении быстродействующих динамических систем - повышение быстродействия системы за счет уменьшения ее инерционности, то есть чувствительности.

ЗАДАНИЕ №3

Другие известные свойства отрицательной обратной связи, применяемые для повышения качества сложных систем, их сущность.

1. Повышение устойчивости - повышение свойств системы, которые необходимы для осуществления устойчивого функционирования системы.

2. Минимизирующие свойства - понижение чувствительности системы к внешним воздействиям (перевод нелинейной функции в почти линейную). Линеаризацию используют в тех случаях, когда нужно превратить сложную функцию в приближенную линейную. Этот ход значительно упрощает работу системы, в целом, и снижает ее чувствительность к внешним негативным явлениям. Но при этом у нас появляется риск, что система упустит возможность вовремя среагировать на какие-нибудь полезные внешние воздействия, которые бы помогли функционированию системы.

3. Осуществление безопасности от внешних возмущающих сигналов (информационный шум, наводки, помехи) и сохранение полезных сигналов. Это позволяет ей, прежде всего, избежать опасности траты такого драгоценного ресурса, как время.

Список литературы

1) Лекции по Общей Теории Систем и Системному Анализу

2) Антонов А.В. Системный анализ: Учеб. Для вузов.-3-е изд., стер.- М.6 высш. Шк., 2008.- 454 с.: ил.