Экономико-математическое моделирование : Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса
Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса
19 Задания к контрольной работе. Задание 1. В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года). Требуется: 1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б1 =0,3; б2=0,6; б3=0,3. 2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. 3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: случайности остаточной компоненты по критерию пиков; независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1, = l,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 =0,32; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. 4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные. |
Квартал | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | | Вариант 9 | 41 | 52 | 62 | 40 | 44 | 56 | 68 | 41 | 47 | 60 | 71 | 44 | 52 | 64 | 77 | 47 | | |
Решение: 1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса: Исходные данные: Таблица 1. |
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | | Y(t) | 41 | 52 | 62 | 40 | 44 | 56 | 68 | 41 | 47 | 60 | 71 | 44 | 52 | 64 | 77 | 47 | | |
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы 1. Линейная модель имеет вид: Yp(t) = a(0) + b(0) * t Определим коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам: Произведем расчеты в Excel (рис.1): Рис .1 расчеты в Excel Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t) = 47 + 0,79*t Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (рис. 2): Рис. 2 Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта -Уинтерса. Рис. 3 Оценив значения а(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0) перейдем к построению адаптивной модели Хольта Уинтерса. Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1 значения параметров сглаживания б1=0,3, б2=0,6, б3=0,3. Рис. 4 2. Проверка точности построенной модели. Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. 1,26%<5%, следовательно, условие точности выполнено. 3. Оценка адекватности построенной модели. 3.1 Проверка случайности уровней. Гипотеза подтверждается если P > q, где Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. Из таблицы P = 10, 6<10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена. 3.2 проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверка проводится двумя методами: а) по d-критерию Дарбина - Уотсона: табличные значения d1 = 1,08, d2 = 1,36 В данном случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4. d' = 4 - d = 4-2,53 = 1,48 Уточненное значение d сравниваем с табличными значениями d1 и d2, в данном случае d1=1,1 и d2=1,37. Так как d2<1,48<2, то уровни ряда остатков являются независимыми. б) по первому коэффициенту автокорреляции Для нашей задачи критический уровень rтаб = 0,32 - значит уровни независимы. 3.3 Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. , где , S = 0,93 Рис. 5 Полученное значение не попало в заданный интервал. 4. Построим точечный прогноз на 4 шага вперед. Находим прогнозные значения экономического показателя для Yp(t) Рис. 6 5. Отразим на графике расчетные, фактические и прогнозные данные. Рис. 7 Сопоставление расчетных и фактических данных. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза. Задание 2. Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать: ѕ экспоненциальную скользящую среднюю; ѕ момент; ѕ скорость изменения цен; ѕ индекс относительной силы; ѕ %R, %K и %D. Расчеты выполнить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных. |
Вариант 9 | | Дни | Цены | | | Макс. | Мин. | Закр. | | 1 | 650 | 618 | 645 | | 2 | 680 | 630 | 632 | | 3 | 657 | 627 | 657 | | 4 | 687 | 650 | 654 | | 5 | 690 | 660 | 689 | | 6 | 739 | 685 | 725 | | 7 | 725 | 695 | 715 | | 8 | 780 | 723 | 780 | | 9 | 858 | 814 | 845 | | 10 | 872 | 840 | 871 | | |
Решение: Введем исходные данные: Рис. 8 Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле: EMAt = Ct*K + EMAt-1*(1- K) Где , Ct - цена закрытия n- интервал сглаживания, n=5 Для вычисления экспоненциальной средней сформируем таблицу: Рис. 9 Момент (МОМ) рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад: Рис. 10 Рис. 11 Движение графика момента вверх (рис. 11) свидетельствует о повышении цен. Скорость изменения цен (ROC): Рис. 12 Рис. 13 ROC является отражением скорости изменения цены , а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии 100 и положительная динамика в 7-9 дни говорит о сигнале к покупке. На 7-8 день скорость изменения цен была максимальной. Индекс относительной силы (RSI). Значения RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что является важным его достоинством. Для его расчета применяется формула: Где AU - сумма приростков конечных цен за n дней; AD - суммы убыли конечных цен за n дней. Повышение цены рассчитываем по формуле: =ЕСЛИ((H5-H4)>0;H5-H4;""), а понижение =ЕСЛИ((H4-H3)<0;ABS(H4-H3);"") Рис. 14 Отобразим на графике полученные значения RSI (рис. 15). Рис. 15 Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности - выше 75-80. Сигналом служит разворот RSI в указанных зонах и выход из нее. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 6-10 день. Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения и подготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика из зоны перепроданности. Стохастические линии. Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена ,а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия. Где %Kt - значение индекса текущего дня; Ct - цена закрытия текущего дня; L5 и H5 - соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий. Где %Rt - значение индекса текущего дня, t; Ct - цена закрытия текущего дня t; Ln и Hn - соответственно минимальная и максимальная цены за n предшествующих дней, включая текущий. Составим таблицу расчета индексов стохастических линий и заполним ее (рис. 18). В ячейку Е8 введем формулу =МАКС(B4:B8) и размножим ее, а в ячейку F8 формулу =МИН(C4:C8) и тоже размножим (рис. 16) Рис. 16 В ячейку G8 введем формулу =D8-F8, в H8 =E8-D8, в I8 =E8-F8 и размножим их (рис. 17). Рис. 17 Далее рассчитаем индексы (рис. 18). Рис. 18 расчет индексов стохастических линий. Медленное %D рассчитывается по формуле =СРЗНАЧ(N10:N12). Критические значения %К (зона перекупленности) свидетельствуют о том, что можно ожидать скорого разворота тренда, т.е. падения цен. Как видно из графика и из таблицы если цена закрытия ближе к максимальной цене, то наблюдается рост цен , в противном случае, падение (рис. 19). Рис. 19 Ценовой график. Задание 3. Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты. |
Вариант | Сумма | Дата начальная | Дата конечная | Время в днях | Время в годах | Ставка | Число начислений | | | S | TH | TK | Tдн | Tлет | I | m | | 9 | 4500000 | 09.01.02 | 21.03.02 | 90 | 5 | 50 | 4 | | |
3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - TH , возврата - TK . День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти: 3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды; 3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; 3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. 3.2 Через Tдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт? 3.3Через Tдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт. 3.4 В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Tлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых . Определить наращенную сумму. 3.5 Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет . Проценты сложные, ставка i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму. 3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых. 3.7 Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых. 3.8 Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых. 3.9 через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт. 3.10 В течение Тлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Решение. 3.1Используем формулу: 3.1.1 К = 365, t = 71, 3.1.2 К = 360, t = 71, . 3.1.3 К = 360, t = 71, 3.2 Используем формулы: 3.3 Используем формулы: 3.4 Используем формулу: Где n - срок ссуды 3.5 Используем формулу: 3.6 Используем формулу: 3.7 Используем формулу: 3.8 Используем формулу: 3.9 Используем формулы: 3.10 Используем формулу:
|