Экономико-математическое моделирование : Моделирование макроэкономических процессов и систем

Моделирование макроэкономических процессов и систем

18

Оглавление

Введение

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса

Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено

Нелинейная динамическая модель Кейнса

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время математическое моделирование все настойчивее вторгается в область социально-экономических наук. И дело здесь совсем не в том, что математизация является идеалом строгости для всякой науки.

Возможность использования математического моделирования связана с существованием устойчивых тенденций, которые характеризуют многие социально-экономические процессы. В наибольшей степени сказанное относится к экономике, где математические методы активно применяются с прошлого века.

Значение моделирования как метода исследований определяется тем, что модель представляет собой концептуальный инструмент, ориентированный на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Именно поэтому, например, в современных курсах по экономической теории наряду с содержательным анализом широко применяется метод математического моделирования.

Следует, однако, иметь в виду, что возможности метода математического моделирования при анализе конкретных социально-экономических процессов достаточно ограничены.

В данной курсовой работе будут рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.

Задание 1

Национальная экономика страны может быть описана мультипликативной производственной функцией вида:

,

где [P]=у.д.е. - объём ВВП страны, [K]=у.д.е - объём национальных производственных фондов (капитал), [L]=чел. - численность населения страны, занятого в производственной сфере (труд). В развитие национальной экономики инвестируется S у.д.е. Считается, что все средства идут на развитие производства, решить задачу об оптимальном распределении инвестиций по привлечению дополнительных единиц труда и капитала с целью максимального прироста ВВП. Задачу решить методом Лагранжа и графоаналитическим методом, считая, что стоимость одной дополнительной единицы капитала составляет S1, единицы труда - S2, а связь между ними носит линейный характер и может быть описана уравнением S=S1·K+S2·L.

Исходные данные:

б1 = 0.4; б2 = 0.6; S = 50000; S1 = 5; S2 = 15.

Решение:

P = б0 · K0.4 · L0.6

5 · K + 15 · L = 50000

Наиболее рациональным способом решения такой задачи является способ множителей Лагранжа.

P (K, L, л):

Т.к. K ? 0 и L ? 0, следовательно:

Графическая иллюстрация решения задачи:

Если в экономику страны, развитие которой описывается функцией P = б0 K0.4 ·L0.6 инвестировать S = 50000 у.д.е, то для получения максимального прироста ВВП эти средства нужно распределить так чтобы создать дополнительных L = 2000 рабочих мест и привлечь дополнительно K = 4000 у.д.е. производственных фондов, при условии что известны стоимости единицы труда S2 = 15 и единицы капитала S1 = 5.

Задание 2

Распределение доходов населения страны может быть описано функцией распределения доходов:

где C - минимально возможный уровень дохода; F(x) - доля населения страны с уровнем дохода, меньшим, чем Х (распределение Парето).

Учитывая, что средний относительный доход тех, чей уровень дохода меньше Х, может быть задан функцией:

Построить кривую Лоренца в системе координат, показывающей неравномерность в распределении доходов населения страны.

Значениями x принять равными:

а) при с<х?3с с шагом Дх=0,2С

б) при 3с<х?6с с шагом Дх=0,5С

Исходные данные:

б = 1.6; c = 3500.

Решение:

а) 3500<x?10500, шаг Дх = 700

б) 10500<x?21000, шаг Дх = 1750

Задание 3

Первоначальный банковский вклад S0 размещен на n лет под р1% годовых с начислением процента m1 раз в год. Сравнить конечную сумму вклада, если условия договора изменятся на р2% и m2 раз, и рассчитать для обоих вариантов эффективную ставку процента, а также величину дисконта и дисконт-фактора.

Найти величину разового платежа для погашения долгосрочного кредита на сумму Sn, данного банком под р% на n лет.

Исходные данные:

S0 = 3500; n = 6; p1 = 16; m1 = 3; p2 = 14; m2 = 2; p = 25; Sn = 200000.

Решение:

Конечная сумма вклада

Эффективная ставка процента

Дисконт

Дисконт-фактор

а) =8917,70

= 0.1687

= 0.1379 %

= 0.8621

б) = 7882,67

= 0.1449

= 0.1228 %

= 0.8772

Сравнив полученные результаты, видим, что при увеличении учетной ставке процента и количества начислений в год - конечная сумма вклада увеличивается.

в)

= 127156,58

Задание 4

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в у.д.е.).

Решить задачу межотраслевого баланса, если конечное потребление первой отрасли не изменилось, второй отрасли увеличилось в 1,5 раза, третьей уменьшилось на 25%.

С учетом изменений строим новый вектор конечного потребления:

Находим матрицу прямых затрат в условиях взаимодействия трех отраслей:

Т.к. aij ? 0, = 0.5 ? 1, = 0.175 ? 1, = 0.167 ? 1 -

матрица A продуктивна, следовательно, продуктивна и сама модель.

Находим матрицу E-A, представляющую собой матрицу полных затрат, каждый элемент которой выражает стоимостные затраты той части валового выпуска которая необходима для выпуска единицы конечного продукта.

Определитель матрицы:

Вычислим матрицу C составленную из алгебраических дополнений матрицы E-A:

И транспонируем ее:

Находим новый вектор валового выпуска продукции тремя отраслями:

Чтобы машиностроение дало 60 у.д.е., металлургия 120 у.д.е., энергетика 150 у.д.е. конечного продукта идущего на непроизводственное потребление необходимо обеспечить следующие объемы валового выпуска отраслей: Машиностроение - 109,772 у.д.е.

Металлургия - 212,934 у.д.е.

Энергетика - 140,269 у.д.е.

Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса

Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено

В этой модели предполагается, что ВВП в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (C) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года:

При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары приходим к соотношению

где - минимальный объем фонда потребления;

- склонность к потреблению.

Соотношение, действующее при дискретности времени в один год, при дискретности Дt примет форму:

где (1 - с) - склонность к накоплению.

При t > 0 приходим к уравнению инертного звена (роль постоянной времени выполняет величина , обратная склонности к накоплению):

Последнее уравнение имеет равновесное (стационарное) решение

Если в начальный момент спрос на инвестиционные товары изменился с величины I0 до I (I > I0), то в экономике будет происходить переходный процесс от значения ВВП

до значения yE (см. рис.1). При этом

.

Нелинейная динамическая модель Кейнса

Рассмотрим нелинейную модель Кейнса как нелинейное динамическое звено первого порядка:

т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае

Поскольку y(y>0) - ВВП, а x=I(I>0) - инвестиции, то из экономических соображений следует, что

т.е с увеличением ВВП скорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций - возрастает.

Пусть при t=0 инвестиции были равны I0 и система находилась в некотором равновесном состоянии (y0,I0), первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции I0 считаются известными)

При увеличении инвестиций с I0 до I=I0+ДI (ДI>0) система будет удовлетворять уравнению

Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:

Переменная часть з(t) удовлетворяет уравнению

Если приращение инвестиций ДI сравнительно мало, то при эволюторном характере функции f(y,I) переменная часть з(t) также сравнительно мала. Поэтому правую часть можно разложить в окрестности точки (y0,I0) в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:

После перенесения члена, содержащего з, в левую часть и деления обеих частей на

получаем уравнение инерционного звена:

где

- обобщенная предельная склонность к сбережению в начальном состоянии;

Из вышеописанного вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:

а ВВП в целом будет изменяться как функция

При этом новое равновесное состояние ВВП

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.

Как можно было заключить из вышеизложенного,  математические методы имеют большую степень универсальности. Основой  этой  универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же  проблеме  совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык  сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать  уже  практически готовое решение, полученное ранее где-то в  другой  отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой использования математики является формализация количественных и качественных сторон проблемы.

Литература

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2005. 368 с.

2. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. М.: Финансы и статистика, 2006 287 с.

3. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование: Моделирование макроэкономических процессов и систем. М.: ЮНИТИ, 2005 295 с.

4. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 2005. 399 с.

5. Найденков В.И. Прогнозирование и моделирование национальной экономики: Конспект лекций. М.: ПРИОР, 2004. 156 с.

6. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А., Математические методы и модели в экономике. М.: ЮНИТИ, 2004. 302 с.

7. Просветов Г.И. Математические модели в экономике. Спб.: РДЛ, 2006. 151 с.

8. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2005 391 с.

9. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Спб.: Волтерс Клувер, 2005. 132 с.

10. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. М.: ЮНИТИ, 2005. 286 с.