Экономико-математическое моделирование : Моделирование физических процессов

Моделирование физических процессов

3

ГОУ ВПО “Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики”

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)

Кафедра информационных систем и технологий

Моделирование физических процессов

Екатеринбург 2009

Оглавление

Введение

1. Математическая модель

2. Описание теории применяемой к задаче

3. Блок - схемы

4. Листинг программы

5. Фотография графика

6. Решение задачи в MathCAD

Вывод

Литература

Введение

Благодаря данной курсовой работе, я получу основные навыки: в моделирование физических процессов, грамотного распределения информации и грамотного использования возможностей языка программирования Pascal.

Курсовая работа является первой объёмной самостоятельной работой для меня в роли программиста. Эта работа завершает подготовку по дисциплине “Программирование на языках высокого уровня” и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам. После выполнения данной курсовой работы, я рассчитываю научиться строить графики функций, работать в MathCAD, и понимать геометрический смысл методов: Эйлера модифицированного и Рунге-Кутта.

Математическая модель, постановка задачи.

1. Обсчитать первую точку методами Рунге-Кутта и Эйлера модифицированного.

2. Построить график к первой точке.

3. Составить блок - схемы.

4. Написать программу.

5. Построить график в MathCAD.

6. Сделать выводы

1. Математическая модель

Метод Рунге-Кутта

Теория:

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

= f(x, y), с начальным условием y() = .

Выберем шаг h и введём обозначения:

= + i*h , = y(), где

i = 0, 1, 2, …

- узлы сетки,

- значение интегральной функции в узлах.

Аналогично Модифицированного метода Эйлера решаем дифференциальное уравнение. Отличие состоит в делении шага на 4 части.

Согласно методу Рунге - Кутта 4 порядка, последовательные значения искомой функции y определяются по формуле:

= + ?y, где

? = (+ 2 + 2 + ), I = 0, 1, 2, …

А числа , , , на каждом шаге вычисляются по формулам:

h* f(, )

, )

, )

h* f(, + )

Обсчёт первой точки методом Рунге-Кутта:

Задано уравнение движения материальной точки: = x*sin(t), с условием

t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2.

Необходимо построить физическую и математическую модель движения.

tg(a) = x*sin(t) = 2*sin(1)= 1.6829

/(a) = 1.0346

t(b) = 1.6829 + 0.125 = 1.8079

x(b) = 2+0.125*1.8079 = 2.2259

tg(b) = 2.2259*sin(1) = 1.8730

/(b) = 1.0803

t(c) = 1.6829 + 0.025 = 1.7079

x(c) = 2 + 0.025*(1.7079) = 2.0426

tg(c) = 2.0426*sin(1) = 1.7187

/(c) = 1.0438

t(d) = 1.6829 + 0.0375 = 1.7204

x(d) = 2 + 0.0375*1.7204 = 2.0645

tg(d) = 2.0645*sin(1) = 1.7372

/(d) = 1.0484

Обсчет первой точки модифицированным методом Эйлера

Заданно уравнение движения материальной точки: = x*sin(t), с условием

t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2.

Необходимо построить физическую и математическую модель движения.

A(1 ; 2)

tg(a) = x*sin(t) = 2*sin(1)= 1.682

/(a) = 1.034

= + * f(, )

= 2 + 0.025*(1.6829) = 2.042

C(0.025 ; 2.042)

tg(c) = x*sin(t) = 2*sin(1.025) = 1.709

/(c) = 1.041

= +h*f(+ ; +*f(;))

= 2 + 0.05*(1.041) = 2.05205

Таблица измерений в Pascal, Mathcad:

X1 - метод Эйлера модифицированный, X2 - метод Рунге - Кутта, Xm - решение в Mathcad

Фотография графика.

Решение в Mathcad

Вывод

В результате проделанной работы, я научился решать дифференциальные уравнения и строить к ним график, еще я научился решать такие уравнения в среде Turbo Pascal. Узнал, как решать различные уравнения в MathCAD. Еще я понял, как можно строить различный функции по точкам, с помощью циклов. Так же я понял, как нужно правильно масштабировать графики, в зависимости от заданной функции. Вследствие того, что данная курсовая, была для меня первой серьезной и объемной работой, я научился оформлять серьезные работы.

Список литературы

1. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З., Численные методы анализа: Физматгиз, 1963.

2. Немюгин С.А. turbo Pascal. Практикум - СПБ.: Питер, 2005.

3. Немюгин С.А. turbo Pascal. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов. - СПБ.: Питер, 2009.

4. М.М. Боженова, Л.А. Москвина. Практическое программирование. Приемы создания программ на языке Паскаль.

5. Основные процедуры и функции модуля graph: http://rsc-team.ru/cgi-bin/index.pl?rzd=2&group=lection&ind=21