Экономико-математическое моделирование : Модель рыночной экономики Кейнса
Модель рыночной экономики Кейнса
4 ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Факультет менеджмента Кафедра высшей математики ОТЧЁТ о лабораторной работе №5 по дисциплине: «Экономико-математическое моделирование» на тему: «Модель рыночной экономики Кейнса» вариант № 3 Выполнил студент дневного отделения факультета менеджмента II курса 241 группы Погосян Т.Р. Гатчина 2006 содержаниеВведениеГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ НА РЫНКАХ ДЕНЕГ И ТОВАРОВ1.1. Постановка задачи 1.2. Алгоритм вычисления показателей и экономический анализ полученных результатовГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ2.1. Постановка задачи2.2. Определение параметров уравнения регрессии с использованием КМНК2.3 Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК2.4. Экономический анализ полученных результатовЗАКЛЮЧЕНИЕСПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫПРИЛОЖЕНИЯ Введение Классическая модель давала ответ на задачу поиска равновесия в экономике в условиях полной занятости. В модели Кейнса показано, что равновесие при полной занятости не является общим случаем. Общий случай - это равновесие при наличии безработицы, а полная занятость лишь особый случай. Но как прийти к равновесию, если экономика при определенном стечении обстоятельств далеко отошла от равновесного состояния и характеризуется массовой безработицей? Чтобы достигнуть желаемого состояния полной занятости, государство обязано проводить особую политику по её достиже-нию, поскольку автоматически действующие рыночные силы без этой поддержки не гарантируют её достижения. Рассмотрим, как определяется равновесное состояние экономики в модели, предложенной Кейнсом. Целью данной работы является определение условий равновесия на рынках денег и товаров, а также определение параметров модели косвенным методом наименьших квадратов. Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения и двух приложений. Первая глава посвящена определению условий равновесия на рынках денег и товаров, даётся постановка задачи, вычисляются показатели, и даётся экономический анализ полученных результатов. Вторая глава работы посвящена определению параметров уравнения функции потребления в простой кейнсианской модели формирования доходов, определяются параметры уравнения регрессии косвенным методом наименьших квадратов, а также даётся экономический анализ полученных результатов. ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ НА РЫНКАХ ДЕНЕГ И ТОВАРОВ 1.1. Постановка задачи В модели предполагается, что существует три вида активов: деньги, об-лигации, физический капитал. Относительная цена денег, выраженная в облигациях, - это ставка процента по облигациям. Предполагается, что в условиях равновесия норма прибыли на физический капитал (т.е. на имеющийся запас инвестиционных товаров) равна ставке дохода по облигациям. Таким образом, появляется возможность проследить, как денежно-кредитная политика влияет на производство. Например, увеличение денежной массы путем печатания новых денег изменяет пропорции обмена между деньгами и облигациями. Если денег станет больше, их будут хранить только при снижении нормы процента на облигации (альтернативный вид активов), при этом норма прибыли также должна снизиться, поскольку облигации и капитал - близкие предметы. Рассмотрим теперь критерий максимума прибыли по отношению к капиталу (фондам) при фиксированном уровне занятости. Прибыль определяется по формуле: П = p*F(K, L) - r*К, (1.1) где р - цена единицы валового внутреннего продукта; К - капитал, вовлеченный в производство; L - трудовые ресурсы, вовлеченные в производство; r - норма прибыли (ставка процента). Необходимое условие экстремума: , (1.2) поскольку , то действительно получим условие максимума (1.3) т.е. предельная производительность фондов в стоимостном виде равна норме прибыли (ставке процента). Таким образом, падение нормы прибыли согласно (1.3) означает падение предельного продукта капитала, а поскольку предельный продукт падает с ростом К, то падение нормы прибыли с необходимостью предполагает увеличение спроса на инвестиционные товары, следовательно, и на товары в целом. Проследив всю причинно-следственную цепочку, видим, что сравнительно небольшое увеличение денежной массы приводит к росту спроса на товары, соответственно, к росту предложения товаров, т.е. к увеличению конечного продукта. Рассмотрим более подробно рынок труда в модели Кейнса. Напомним, что в классической модели равновесие наступало при полной занятости, и равновесное значение реальной заработной платы определялось из условия: (1.4) При этом равновесный конечный продукт определяется формулой: Y0 = F(K, L0), где L0- число занятых при полной занятости. Предположим теперь, что по определенным причинам спрос Е (на продукцию) оказался меньше предложения Y0 при полной занятости. В этом случае, как считал Кейнс, фактически произведённый конечный продукт Y будет равен спросу: Y = E. Таким образом, фактическая занятость будет меньше полной занятости Y < Y0. Это немедленно окажет влияние на рынок рабочей силы в связи с тем, что при прочих равных условиях меньший объём продукта можно произвести с помощью меньшего числа рабочих, т.е. L < L0. Таким образом, если в классической модели реальная заработная плата (w/p)0 определяла число занятых , то в модели Кейнса спрос на товары Е определяет уровень занятости L. При этом ?L = L0 - L и есть тот уровень безработицы, который диктуется рынками денег и товаров. Дело в том, что производители не могут продать столько, сколько они хотели бы, но производят и продают только в объёме спроса. Поэтому кривая спроса на рабочую силу, которая выводилась в предположении максимизации прибыли, не может быть применена. Следовательно, основные новшества модели Кейнса по сравнению с классической моделью состоят в следующем: 1. Равновесие на рынке товаров достигается при равенстве планируемого спроса и фактического предложения. 2. Фактический спрос на рабочую силу определяется фактически востребованным продуктом, и, значит, равновесие на рынке рабочей силы может быть достигнуто тогда, когда рынок товаров находится в равновесии. В целом модель Кейнса можно записать в следующем виде: Рынок рабочей силы: LS = LS (w / p), LD = LD(Y 0). (1.5)Рынок денег: M S = M S ; M D = k * p * Y + Lq(r), < 0, (1.6)M S = M D , (1.7)где Lq(r) - спрос на облигации в зависимости от процентной ставки.Рынок товаров:Y=Y(L), E=C(Y)+I(r), (1.8) Y=E. (1.9)При исследовании поведения экономики формулы (1.5) - (1.9) должны быть заменены конкретными зависимостями, отражающими поведение рынков.Рассмотрим равновесие на рынке товаров, полагая, что зависимости C(Y), I (r) линейные. В этом случае спрос на потребительские товары растёт линейно с ростом предложения товаров:C(Y) = a + b * Y, (1.10)где а > 0, 0 < b < 1.Спрос на инвестиционные товары линейно убывает с ростом нормы процента:I(r) = d - f * r, (1.11)где d >0, f > 0. В этом случае условие равновесия (1.9) запишется в следующей форме:, (1.12)откуда , (1.13)т.е. кривая равновесия на рынке товаров (кривая IS) является линейно-убывающей функцией r и, следовательно, при фиксированном зна-чении r имеется единственное равновесное значение Y G (r).Рассмотрим теперь равновесие на рынке денег в предположении, что спрос на облигации Lq(r) линеен: Lq (r) = h - j*r. (1.14)Условие равновесия (1.7) при этом запишется в следующем виде: . (1.15)Таким образом, кривая равновесия на рынке денег (кривая LM) является возрастающей линейной функцией r, следовательно, при фиксированном r име-ется единственное равновесное значение Y M (r).Общее равновесие на рынках денег и товаров достигается в том случае, когда: YG (r0 ) = Y M (r0) = Y0, (1.16)причём точка равновесия (Y0, r0), т.е. точка пересечения кривых IS и LM единственна. Общая картина равновесия может быть представлена графически. При этом в первом квадрате изображены кривые IS и LM, а в четвёртом квадрате производственная функция экономики ПФ как функция трудовых ресурсов, в третьем - кривые спроса LD и предложения LS на рабочую силу.4 Рис. 1.На рис. 1. приняты следующие обозначения:- r0, Y0, L0, (w/p)0, (w/p)n - соответственно, процентная ставка, конечный продукт, занятость, максимальный и минимальный уровни реальной заработной платы при неполной занятости;- r0, Y0, L0, (w/p)0 - соответственно, процентная ставка, конечный продукт, занятость, уровень реальной заработной платы при полной занятости.Причинные связи направлены от рынков товаров и денег к рынку рабочей силы через производственную функцию. Причём рынок труда не является определенным. Совокупное равновесие на рынках денег и товаров однозначно определяет фактическую потребность в рабочей силе Y0= F(K, L0) и, если классическая модель предполагает автоматическую тенденцию к полной занятости, то в модели Кейнса таковой нет.Действительно, пусть равновесие установилось при занятости L0 < L0. Тогда, для того чтобы добиться полной занятости L0, надо увеличить выпуск продукции до Y0 = F(K, L0), что потребовало бы сместить кривую LM в положение LM0 . Как это видно из (1.15), такое смещение можно обеспечить при экзогенно заданном предложении денег MS и фиксированных коэффициентах k и h только путём снижения цен р, но никакого механизма снижения цен при фиксированной ставке заработной платы w0 в модели Кейнса не заложено. Следовательно, для перехода к полной занятости нужна специальная государственная политика.И ещё одна особенность: уровень планируемых расходов Е бывает настолько высок, что производство Y не может достигнуть этого уровня. Это происходит тогда, когда точка пересечения кривых IS и LM имеет отрицательное значение нормы процента.Коррекцией подхода Кейнса является монетаристский подход к анализу эко-номики, развитый в начале 70-х годов XX в. Фридменом. Суть различия в подходах Кейнса и Фридмена в следующем. Кейнс считал, что самое значительное влияние на движение основных макроэкономических показателей оказывает спрос на товары, в то время как, по мнению Фридмена, главное - это контроль над предложением денег.Монетаристы считают, что спекулятивный спрос на деньги не зависит от ставки процента, поэтому увеличение предложения денег приводит к росту цен, но не объёмов производства, как это следовало бы из модели Кейнса. Моне-таристы считают, что денежно-кредитная политика не может повлиять в долгосрочном плане на реальный объём производства и безработицу, хотя в краткосрочном плане это возможно.Как свидетельствует опыт России и других стран, иногда оправ-дывался подход Кейнса, иногда подход Фридмена. При малой и контролируемой государством инфляции действует кейнсианский подход. При гиперинфляции и слабом контроле государства действует монетаристский подход.1.2. Алгоритм вычисления показателей и экономический анализ полученных результатов В качестве изучаемой системы берётся экономика условного объекта. Исходные данные приведены в таблице 1: Таблица 1 |
a | d | f | b | MS | k | h | j | p | A | ? | | 127500 | 85000 | 229500 | 0,31 | 11000 | 0,25 | 5100 | 19800 | 0,3 | 2700 | 0,51 | | |
По заданным в таблице 1 значениям: a, b, d, f , используя табличный редактор Excel, рассчитываем по формуле (1.13) зависимость YG = F1(r). Значения r задаём в пределах от 0 до 1,0 с шагом ?r=0,05. Результаты вычислений представлены в таблице 2: Таблица 2 |
r | YG | | 0 | 307971 | | 0,05 | 291340,58 | | 0,1 | 274710,14 | | 0,15 | 258079,71 | | 0,2 | 241449,28 | | 0,25 | 224818,84 | | 0,3 | 208188,41 | | 0,35 | 191557,97 | | 0,4 | 174927,54 | | 0,45 | 158297,10 | | 0,5 | 141666,67 | | 0,55 | 125036,23 | | 0,6 | 108405,80 | | 0,65 | 91775,36 | | 0,7 | 75144,93 | | 0,75 | 58514,49 | | 0,8 | 41884,06 | | 0,85 | 25253,62 | | 0,9 | 8623,19 | | 0,95 | -8007,25 | | 1 | -24637,68 | | |
Аналогично производим расчёты значений функции YМ = F2(r), используя формулу (1.15). Численные значения MS, h, j, k, p приведены в таблице 1. Результаты вычислений приведены в таблице 3: Таблица 3 |
r | YM | | 0 | 78666,67 | | 0,05 | 91866,67 | | 0,1 | 105066,67 | | 0,15 | 118266,67 | | 0,2 | 131466,67 | | 0,25 | 144666,67 | | 0,3 | 157866,67 | | 0,35 | 171066,67 | | 0,4 | 184266,67 | | 0,45 | 197466,67 | | 0,5 | 210666,67 | | 0,55 | 223866,67 | | 0,6 | 237066,67 | | 0,65 | 250266,67 | | 0,7 | 263466,67 | | 0,75 | 276666,67 | | 0,8 | 289866,67 | | 0,85 | 303066,67 | | 0,9 | 316266,67 | | 0,95 | 329466,67 | | 1 | 342666,67 | | |
По полученным данным строим графики зависимостей YG = F1(r) и YМ = F2(r), применив «Мастер диаграмм» табличного редактора Excel (Приложение 1). По точке пересечения этих графиков находим величиныY0 и r0, определяющие равновесие на рынках денег и товаров: Исходя из условия равновесия на рынках денег и товаров, определяем аналитическим путём величину r0 по формуле: По формуле (1.17) получаем: r0 = 0,38 Сравнивая полученное значение r0 со значением r0, найденным графическим путем, делаем вывод, что они совпадают. Подставляем значение r0 в формулы (1.13) и (1.15) и находим аналитическое значение Y0. Аналитическое значение Y0 = 180134,09. Сравнивая его с Y0, полученным графическим путем, делаем вывод, что они практически совпадают. Используя производственную функцию вида: Y=A*L?, (1.18) находим величину L0 по формуле: (1.19) Значения величин A и ??берём из таблицы 1. По формуле (1.19) получаем: L0 = 3775,08. Рассчитываем по формуле (1.18) производственную функцию Y = F3(L) и строим её график, используя возможности табличного редактора Excel (Приложение 2). Результаты вычислений приведены в таблице 4: Таблица 4 |
L | Y | | 0 | 0 | | 1000 | 87138,73 | | 2000 | 124953,04 | | 3000 | 154281,66 | | 4000 | 179177,07 | | 5000 | 201222,08 | | 6000 | 221232,99 | | 7000 | 239696,79 | | 8000 | 256931,9 | | 9000 | 273160,15 | | 10000 | 288543,46 | | 11000 | 303204,36 | | 12000 | 317238,21 | | 13000 | 330721,01 | | 14000 | 343714,47 | | 15000 | 356269,54 | | 16000 | 368428,85 | | 17000 | 380228,51 | | 18000 | 391699,43 | | 19000 | 402868,32 | | 20000 | 413758,41 | | |
По значению Y0 находим графическим путем величину L0. Графическое значение L0 = 3775,08. Сравнивая его со значением L0, полученным аналитически, делаем вывод, что они совпадают. ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ 2.1. Постановка задачиВ данной работе необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет вид:Ct = a + b*Yt + ut ; (2.1) Yt = Ct + It, (2.2)где t - индекс, указывающий на то, что уравнения (2.1), (2.2) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t1-tn;ut - случайная составляющая;Ct, Yt - функции потребления и дохода, соответственно являющиеся эндогенными переменными;It - экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.Переменные Ct и Yt являются эндогенными. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри уравнения регрессии, внутри модели. В качестве экзогенной переменной в данной задаче выступают инвестиции It. Экзогенной является та переменная, значение которой определяется вне уравнения регрессии, вне модели и поэтому берется как заданная. Параметры уравнения регрессии необходимо определить двумя способами: · косвенным методом наименьших квадратов; · прямым методом наименьших квадратов. 2.2. Определение параметров уравнения регрессии с использованием КМНКИсходные значения величин Ct и It представлены в таблице 5:Таблица 5 |
t | Ct | It | | 1 | 220063 | 85000 | | 2 | 231828 | 78115 | | 3 | 207359 | 71230 | | 4 | 218337 | 64345 | | 5 | 207851 | 57460 | | 6 | 202994 | 50575 | | 7 | 195524 | 43690 | | 8 | 203944 | 36805 | | 9 | 201672 | 29920 | | 10 | 186648 | 23035 | | 11 | 187864 | 16150 | | 12 | 185659 | 9265 | | 13 | 193932 | 2380 | | 14 | 187232 | 85 | | |
Методом наименьших квадратов (МНК) из уравнения (2.1) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещёнными. В связи с этим необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). Для этого эндогенные переменные Ct, Yt выражаем через экзогенную переменную It. С этой целью подставляем выражение (2.1) в (2.2): Yt = a+b*Yt + ut +It, (2.3) отсюда получаем: (2.4) Подставляем выражение (2.4) в уравнение (2.1) и получаем: (2.5) Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде It (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей ut и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК. Представим это уравнение в следующем виде: (2.6) где (2.7) Используя имеющиеся в таблице 5 данные о величинах Ct и It, находим с помощью МНК несмещенные оценки a* и b* из уравнения: Ct = a1+b1It , (2.8)где a1 - несмещенная оценка a*;b1- несмещенная оценка b*.Для этих целей применяем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».После определения значений a1 и b1 необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, использовав соотношения: , (2.9)где a", b" - соответственно несмещенные оценки a, b. Сами значения величин a", b" определяем по формулам: (2.10) Использовав найденные значения a" и b", записываем уравнение функции потребления (2.1): C(t)= 127811,09 + 0,31*Yt+ut. Сравниваем найденные по формуле (2.10) значения a" и b" с величинами a и b, заданными в таблице 1 (aтабл. = 127500, bтабл. = 0,31) и рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам: (2.11) , . 2.3. Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК Для определения параметров уравнения регрессии с помощью прямого МНК, необходимо определить по формуле (2.2)значения величин Yt (для t в пределах от t1 до t14), используя значения Ct и It из таблицы 5. Полученные значения заносим в таблицу 6. Таблица 6 |
t | Yt | | 1 | 305063 | | 2 | 309943 | | 3 | 278589 | | 4 | 282682 | | 5 | 265311 | | 6 | 253569 | | 7 | 239214 | | 8 | 240749 | | 9 | 231592 | | 10 | 209683 | | 11 | 204014 | | 12 | 194924 | | 13 | 196312 | | 14 | 187317 | | |
Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения Ct и Yt, определяем с помощью МНК смещённые оценки aсм и bсм величин a и b, используя уравнение (2.1). Для этого используем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия». В рассматриваемой задаче: Далее сравниваем полученные значения aсм и bсм с табличными значениями a и b, и находим проценты несовпадения данных величин по формулам: (2.12) , . 2.4. Экономический анализ полученных результатов Сравнивая значения процентов несовпадения параметров модели, полученных в случае определения уравнения регрессии с помощью КМНК (для a - 0,24%, для b -1,15%) и с помощью МНК (для a -3,03%, для b -4,39%), видно, что в первом случае проценты несовпадения значительно меньше, чем во втором. Это говорит о том, что при использовании КМНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью МНК. Оценка достоверности зависимости Ct от a и b производится по величине R2 (коэффициент множественной детерминации). Полученное в первом случае значение R2 = 0,79 меньше значения R2 = 0,90, полученного во втором случае. Но оба эти значения близки к единице и подтверждают достоверность наличия зависимости. Во втором случае достоверность зависимости выше. Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Но, что коэффициент регрессии b равен нулю. В данной задаче значимость F при нахождении уравнения регрессии методом КМНК равна 2,33E-05, а при нахождении уравнения регрессии методом МНК она равна 2,35E-07. Оба значения близки к нулю, т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы. Следовательно, в обоих случаях нулевую гипотезу можно отвергнуть, особенно для уравнения регрессии, найденного с помощью МНК. Оценка достоверности и статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии производится по t-критерию Стьюдента. В обоих случаях значение t - критерия Стьюдента превышает его табличное значение, что говорит о достоверности коэффициентов уравнений регрессий. Заключение В данной работе была рассмотрена кейнсианская модель в которой предполагается, что существует три вида активов: деньги, облигации, физический капитал. Были произведены расчеты различных показателей, построение графиков и нахождение графических значений этих показателей и было произведено сравнение графических значений показателей с расчетными. В результате получили, что графические и расчетные показатели практически совпадают. В данной работе было также произведено определение параметров уравнения регрессии двумя способами: · косвенным методом наименьших квадратов; · прямым методом наименьших квадратов. Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что при определении параметров модели с помощью косвенного МНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью прямого МНК, и коэффициенты уравнения регрессии являются наиболее достоверными и статистически значимыми. Список использованной литературы 1. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. 2. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М: ЮНИТИ, 1998. - 240 с. 3. Курицкий, Поиск оптимальных решений в EXCEL - М., 2000, 245 с. 4. Пучков В.Ф. Математические модели макроэкономики: учебное пособие. -Гатчина: Издательство ЛОИЭФ, 2005. - 157 с. 5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 2
|