Экономико-математическое моделирование : Методы и модели в экономике
Методы и модели в экономике
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИГОУ ВПО Омский государственный технический университетКафедра «Экономика и организация труда»Контрольная раБОтАпо дисциплине «Методы и модели в экономике»Вариант 28Выполнил:студент гр. ЗУТ-217Чупраков Д. А.Проверила:__________ Е. Н. Казанцева«___» ___________ 2009 г.Омск 2009СОДЕРЖАНИЕЗадача 1Задача 2Задача 3Задача №11. Составить математическую модель задачи.Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.|
Магазины Склады | №1 | №2 | | №1 | 20 руб. | 45 руб. | | №2 | 30 руб. | 20 руб. | | №3 | 40 руб. | 35 руб. | | | Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?РешениеВведем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы|
Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | | | 1 | 2 | 3 | | | 1 | 20 | 45 | 0 | 15 | | 2 | 30 | 20 | 0 | 20 | | 3 | 40 | 35 | 0 | 30 | | Объем потребления (спрос) | 25 | 35 | 5 | 65 | | | Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).Таблица 2 - Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла|
Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | | | 1 | 2 | 3 | | | 1 | 20 15 | 45 - | 0 - | 15/0 | | 2 | 30 10 | 20 10 | 0 - | 20/10/0 | | 3 | 40 - | 35 25 | 0 5 | 30/5/0 | | Объем потребления | 25/10/0 | 35/25/0 | 5/0 | 65 | | | Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид: (т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).Итерация 1.Шаг 1.1. Вычисление потенциалов|
| 20 15 | 45 - | 0 - | u1=0 | | | 30 10 | 20 10 | 0 - | u2=-10 | | | 40 - | 35 25 | 0 5 | u3=-25 | | | v1=20 | v2=10 | v3=-25 | | | | Система для плана имеет вид: Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= - 25, u3= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .|
| 0 | -35 | -25 | u1=0 | | | 0 | 0 | -15 | u2=-10 | | ?1= | 10 | -10 | -5 | u3=-25 | | | v1=20 | v2=10 | v3=-25 | | | | Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К31.И == 10. Составим новый план перевозки.Итерация 2.Шаг 2.1. Вычисление потенциалов|
| 20 15 | 45 - | 0 - | u1=0 | | | 30 - | 20 20 | 0 - | u2=-5 | | | 40 10 | 35 15 | 0 5 | u3=-20 | | | v1=20 | v2=15 | v3=-20 | | | | Система для плана имеет вид: Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .|
| 0 | -35 | -20 | u1=0 | | | -5 | 0 | -15 | u2=-5 | | ?1= | 0 | 0 | 0 | u3=-20 | | | v1=20 | v2=15 | v3=-20 | | | | Так как все оценки ?0, следовательно, план - оптимальный.Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).Ответ: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.Задача №22. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .Решить симплекс-методомРЕШЕНИЕ а) Решим задачу графически при z = 3x1 - 2x2 > max , . Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1). Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1 - 2x2 > max Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) - это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е - это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно: . б) Решим задачу графически при z = 3x1 - 2x2 > min , . Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2). Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1 - 2x2 > min Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) - это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е - это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно: . Ответ: а) Функция z = 3x1 - 2x2 > max и равна 21 в точке (7;0). б) Функция z = 3x1 - 2x2 > min и равна - 2 в точке (0;1). Задача №3 Решить методом потенциалов транспортную задачу, где - цена перевозки единицы груза из пункта в пункт . Решение Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1). Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы |
Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | | | 1 | 2 | 3 | 4 | | | 1 | 6 | 8 | 4 | 2 | 10 | | 2 | 5 | 6 | 9 | 8 | 10 | | 3 | 4 | 2 | 3 | 8 | 15 | | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 13 | | Объем потребления (спрос) | 5 | 8 | 15 | 20 | 48 | | |
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2). Таблица 2 - Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла |
Пункты производства, i | Пункты потребления, j | Объем производства | | | 1 | 2 | 3 | 4 | | | 1 | 6 5 | 8 5 | 4 - | 2 - | 10/5/0 | | 2 | 5 - | 6 3 | 9 7 | 8 - | 10/7/0 | | 3 | 4 - | 2 - | 3 8 | 8 7 | 15/7/0 | | 4 | 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | 13/0 | | Объем потребления | 5/0 | 8/3/0 | 15/8/0 | 20/13/0 | 48 | | |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид: (ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13). Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.). Итерация 1. Шаг 1.1. Вычисление потенциалов |
| 6 5 | 8 5 | 4 - | 2 - | u1=0 | | | 5 - | 6 3 | 9 7 | 8 - | u2=2 | | | 4 - | 2 - | 3 8 | 8 7 | u3=8 | | | 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u4=16 | | | v1=6 | v2=8 | v3=11 | v4=16 | | | |
Система для плана имеет вид: Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16). Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок . |
| 0 | 0 | 7 | 14 | u1=0 | | | -1 | 0 | 0 | 6 | u2=2 | | ?1= | -6 | -2 | 0 | 0 | u3=8 | | | -10 | -8 | -5 | 0 | u4=16 | | | v1=6 | v2=8 | v3=11 | v4=16 | | | | Так как имеются >0, то переходим к шагу 3. Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14. |
| - 8 5 | 4 - | +2 - | | | +6 3 | - 9 7 | 8 - | | ?1= | 2 - | +3 8 | - 8 7 | | | 0 - | 0 - | 0 13 | | |
И == 5. Составим новый план перевозки. Итерация 2. Шаг 2.1. Вычисление потенциалов |
| 6 5 | 8 - | 4 - | 2 5 | u1=0 | | | 5 - | 6 8 | 9 2 | 8 - | u2=-12 | | | 4 - | 2 - | 3 13 | 8 2 | u3=-6 | | | 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u4=2 | | | v1=6 | v2=-6 | v3=-3 | v4=2 | | | |
Система для плана имеет вид: Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2). Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок . |
| 0 | -14 | -7 | 0 | u1=0 | | | 13 | 0 | 0 | 6 | u2=-12 | | ?1= | 8 | -2 | 0 | 0 | u3=-6 | | | 4 | -8 | -5 | 0 | u4=2 | | | v1=6 | v2=-6 | v3=-3 | v4=2 | | | |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3. Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21. |
| -6 5 | 8 - | 4 - | +2 5 | | ?1= | +5 - | 6 8 | -9 2 | 8 - | | | 4 - | 2 - | +3 13 | -8 2 | | |
И === 2. Возьмем и составим новый план перевозки. Итерация 3. Шаг 3.1. Вычисление потенциалов |
| 6 3 | 8 - | 4 - | 2 7 | u1=0 | | | 5 2 | 6 8 | 9 0 | 8 - | u2=1 | | | 4 - | 2 - | 3 15 | 8 - | u3=7 | | | 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u4=2 | | | v1=6 | v2=7 | v3=10 | v4=2 | | | |
Система для плана имеет вид: Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2). Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок . |
| 0 | -1 | 6 | 0 | u1=0 | | | 0 | 0 | 0 | -7 | u2=1 | | ?1= | -5 | -2 | 0 | -13 | u3=7 | | | 4 | 5 | 8 | 0 | u4=2 | | | v1=6 | v2=7 | v3=10 | v4=2 | | | |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3. Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43. |
| -6 3 | 8 - | 4 - | +2 7 | | | +5 2 | 6 8 | -9 0 | 8 - | | ?1= | 4 - | 2 - | 3 15 | 8 - | | | 0 - | 0 - | +0 - | -0 13 | | |
И == 0. Составим новый план перевозки. Итерация 4. Шаг 4.1. Вычисление потенциалов |
| 6 3 | 8 - | 4 - | 2 7 | u1=0 | | | 5 2 | 6 8 | 9 - | 8 - | u2=1 | | | 4 - | 2 - | 3 15 | 8 - | u3=-1 | | | 0 - | 0 - | 0 0 | 0 13 | u4=2 | | | v1=6 | v2=7 | v3=2 | v4=2 | | | |
Система для плана имеет вид: Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2). Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок . |
| 0 | -1 | -2 | 0 | u1=0 | | | 0 | 0 | -8 | -7 | u2=1 | | ?1= | 3 | 6 | 0 | -5 | u3=-1 | | | 4 | 5 | 0 | 0 | u4=2 | | | v1=6 | v2=7 | v3=2 | v4=2 | | | |
Так как имеются >0, то переходим к шагу 3. Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32. |
| -6 3 | 8 - | 4 - | +2 7 | | | +5 2 | -6 8 | -9 - | 8 - | | ?1= | 4 - | +2 - | -3 15 | 8 - | | | 0 - | 0 - | +0 0 | -0 13 | | |
И == 3. Составим новый план перевозки. Итерация 5. Шаг 5.1. Вычисление потенциалов |
| 6 - | 8 - | 4 - | 2 10 | u1=0 | | | 5 5 | 6 5 | 9 - | 8 - | u2=-5 | | | 4 - | 2 3 | 3 12 | 8 - | u3=-1 | | | 0 - | 0 - | 0 3 | 0 10 | u4=2 | | | v1=0 | v2=1 | v3=2 | v4=2 | | | |
Система для плана имеет вид: Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2). Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок . |
| -6 | -7 | -2 | 0 | u1=0 | | | 0 | 0 | -2 | -1 | u2=-5 | | ?1= | -3 | 0 | 0 | -5 | u3=-1 | | | -2 | -1 | 0 | 0 | u4=2 | | | v1=0 | v2=1 | v3=2 | v4=2 | | | |
Так как все оценки ?0, следовательно, план - оптимальный. Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц). Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.
|