Экономико-математическое моделирование : Математическое моделирование экономических ситуаций
Математическое моделирование экономических ситуаций
Тема 1 Задача 1 Имеется информация о количестве книг, полученных студентами по абонементу за прошедший учебный год. |
2 | 4 | 4 | 7 | 6 | 5 | 2 | 2 | 3 | 4 | | 4 | 3 | 6 | 5 | 4 | 7 | 6 | 6 | 5 | 3 | | 2 | 4 | 2 | 3 | 5 | 7 | 4 | 3 | 3 | 2 | | 4 | 5 | 6 | 6 | 10 | 4 | 3 | 3 | 2 | 3 | | |
Построить вариационный, ранжированный, дискретный ряд распределения, обозначив элементы ряда. Решение: Ранжированный вариационный ряд: |
2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7 | 10 | | |
Дискретный вариационный ряд: |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | | | 7 | 9 | 9 | 5 | 6 | 3 | 1 | | | 7/40 | 9/40 | 9/40 | 5/40 | 6/40 | 3/40 | 1/40 | | |
- варианты, - частоты, =/(7+9+9+5+6+3+1)=/40 Тема 2 Задача 1 В таблице приведены данные о продажах автомобилей в одном из автосалонов города за 1 квартал прошедшего года. Определите структуру продаж. |
Марка автомобиля | Число проданных автомобилей | | Skoda | 245 | | Hyundai | 100 | | Daewoo | 125 | | Nissan | 274 | | Renault | 231 | | Kia | 170 | | Итого | 1145 | | |
Решение: Показатель структуры (ОПС): ОПС = Число проданных автомобилей / 1145 Skoda 245/1145=0.214 Hyundai 100/1145=0.087 Daewoo 125/1145=0.109 Nissan 274/1145=0.239 Renault 231/1145=0.203 Kia 170/1145=0.148 |
Марка автомобиля | Число проданных автомобилей | Доля в продажах (%) | | Skoda | 245 | 21.4 | | Hyundai | 100 | 8.7 | | Daewoo | 125 | 10.9 | | Nissan | 274 | 23.9 | | Renault | 231 | 20.3 | | Kia | 170 | 14.8 | | Итого | 1145 | 100 | | |
Тема 3 Задача 1 Имеется информация о численности студентов ВУЗов города и удельном весе (%) обучающихся студентов на коммерческой основе: |
ВУЗы города | Общее число студентов (тыс. чел.) | Из них удельный вес (%), обучающихся на коммерческой основе. | | УГТУ--УПИ | 15 | 15 | | УрГЭУ | 3 | 10 | | УрГЮА | 7 | 20 | | |
Определить: 1) средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе; 2) число этих студентов. Решение: 1) Средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе (%): (15+10+20)/3=15 % Число студентов, обучающихся в этих трёх ВУЗах на коммерческой основе в сумме: 15*0.15+3*0.1+7*0.2=2.25+0.3+1.4=3.95 тыс. чел. 2) Число студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе в среднем: 3.95/3=1.317 тыс. чел. Тема 4 Задача 1 При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты: |
Размер месячного вклада, рубли | Число вкладчиков | | | Банк с рекламой | Банк без рекламы | | До 500 | | 3 | | 500-520 | | 4 | | 520-540 | | 17 | | 540-560 | 11 | 15 | | 560-580 | 13 | 6 | | 580-600 | 18 | 5 | | 600-620 | 6 | | | 620-640 | 2 | | | Итого | 50 | 50 | | |
Определить: для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада; средний размер вклада за месяц для двух банков вместе. Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы; Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы; Общую дисперсию используя правило сложения; Коэффициент детерминации; Корреляционное отношение. Решение: (0+500)/2=250, (500+520)/2=510, (520+540)/2=530, (540+560)/2=550, (560+580)/2=570, (580+600)/2=590, (600+620)/2=610, (620+640)/2=630. |
Размер месячного вклада, рубли | Средний размер месячного вклада, рубли | Число вкладчиков | | | | Банк с рекламой | Банк без рекламы | | До 500 | 250 | | 3 | | 500-520 | 510 | | 4 | | 520-540 | 530 | | 17 | | 540-560 | 550 | 11 | 15 | | 560-580 | 570 | 13 | 6 | | 580-600 | 590 | 18 | 5 | | 600-620 | 610 | 6 | | | 620-640 | 630 | 2 | | | Итого | | 50 | 50 | | |
1) Для банка с рекламой средний размер вклада за месяц составил: (550*11+570*13+590*18+610*6+630*2)/50=580 руб. Для банка без рекламы средний размер вклада за месяц составил: (250*3+510*4+530*17+550*15+570*6+590*5)/50=528,4 руб. Для банка с рекламой дисперсия вклада будет: =((550-580)І*11+(570-580)І*13+(590-580)І*18+(610-580)І*6+ +(630-580)І*2)/50=(900*11+100*13+100*18+900*6+2500*2)/50=23400 /50=468 Для банка без рекламы дисперсия вклада будет: =((250-528,4)І*3+(510-528,4)І*4+(530-528,4)І*17+(550-528,4)І*15+ +(570-528,4)І*6+(590-528,4)І*5)/50= = (232519,68+1354,24+43,52+6998,4+10383,36+18972,8)/50= = 270272/50=5405,44 2) Средний размер вклада за месяц для двух банков вместе: (250*3+510*4+530*17+550*(11+15)+570*(13+6)+590*(18+5)+610*6+63 0*2)/(50+50)=(750+2040+9010+14300+10830+13570+3660+1260)/100=55 4,2 руб. (или (580+528,4)/2=554,2 руб.) 3) Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от рекламы: =((550-554,2)І*11+(570-554,2)І*13+(590-554,2)І*18+ +(610-554,2)І*6+(630-554,2)І*2)/50= =(17,64*11+249,64*13+1281,64*18+3113,64*6+5745,64*2)/50= =56682/50=1133,64 4) Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от всех факторов, кроме рекламы: =((250-554,2)І*3+(510-554,2)І*4+(530-554,2)І*17+(550-554,2)І*15+ +(570-554,2)І*6+(590-554,2)І*5)/50= =(92537,64*3+1953,64*4+585,64*17+17,64*15+249,64*6+1281,64*5)/50 =303554/50=6071,08 5) Определить общую дисперсию используя правило сложения: =((250-554,2)І*3+(510-554,2)І*4+(530-554,2)І*17+(550- 554,2)І*(11+15)+ +(570-554,2)І*(13+6)+(590-554,2)І*(18+5)+(610-554,2)І*6+(630- 554,2)І*2)/ /100=(277612,92+7814,56+9955,88+458,64+4743,16+29477,72+18681,84+ +11491,28)/100=360236/100=3602,36 Тема 5 Задача 1 Имеется информация о выпуске продукции (работ, услуг), полученной на основе 10% выборочного наблюдения по предприятиям области: |
Группы предприятий по объему продукции, тыс. руб. | Число предприятий (f) | | До 100 100-200 200-300 300-400 400-500 500 и > | 28 52 164 108 36 12 | | итого | 400 | | |
Определить: 1) по предприятиям, включенным в выборку: а) средний размер произведенной продукции на одно предприятие; б) дисперсию объема производства; в) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.; 2) в целом по области с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать: а) средний объем производства продукции на одно предприятие; б) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.; 3) общий объем выпуска продукции по области. Решение: |
Группы предприятий по объему продукции, тыс. руб. | Средний объём продукции на группу, тыс. руб. | Число предприятий (f) | | До 100 100-200 200-300 300-400 400-500 500 и > | 50 150 250 350 450 550 | 28 52 164 108 36 12 | | итого | | 400 | | |
1) Средний размер произведенной продукции на одно предприятие: (50*28+150*52+250*164+350*108+450*36+550*12)/400=110800/400= =277 тыс. руб. Дисперсия объема производства: =((50-277)І*28+(150-277)І*52+(250-277)І*164+(350-277)І*108+ +(450-277)І*36+(550-277)І*12)/400=4948400/400=12371 Доля предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.: (36+12)/400= 0,12 или 12% 2) Определить в целом по области с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать: а) средний объем производства продукции на одно предприятие: 111,225 Величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства . Следовательно, в нашем случае последнее равенство принимает вид Ф(t)=0,954/2=0,477. Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа находим значение t=2,00. vn=v400=20 Найдём нижний предел: 277-2*111,225/20=265,8775 тыс. руб. Найдём верхний предел: 277+2*111,225/20=288,1225 тыс. руб. Iг(a)=( 265,8775 ; 288,1225) б) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.: Средняя: (450+550)/2=500 тыс. руб. Найдём нижний предел: 500-2*111,225/20= 488,8775 тыс. руб. Найдём верхний предел: 500+2*111,225/20= 511,1225 тыс. руб. Iг(a)=( 488,8775 ; 511,1225) 3) Общий объем выпуска продукции по области: 50*28+150*52+250*164+350*108+450*36+550*12=110800 тыс. руб. Тема 6 Задача 1 Данные о площадях под картофелем до и после изменения границ района, тысяч гектаров: |
периоды площадь под картофелем | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | До изменения границ района | 110 | 115 | 112 | | | | | | После изменения границ района | | | 208 | 221 | 229 | 234 | 230 | | |
Сомкнуть ряд, выразив площадь под картофелем в условиях изменения границ района. Решение: 208/112=1,857 - коэффициент 110*1,857=204.27 115*1,857=213.55 115/112*100=102,68% 110/112*100=98,21% 221/208*100=106,25% 229/208*100=110,096% 234/208*100=112,5% 230/208*100=110,58% |
периоды площадь под картофелем | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | До изменения границ района | 110 | 115 | 112 | ----- | ----- | ----- | ----- | | После изменения границ района | ----- | ----- | 208 | 221 | 229 | 234 | 230 | | Сомкнутый ряд | 204.27 | 213.55 | 208 | 221 | 229 | 234 | 230 | | Сомкнутый ряд относительных величин в % к 3 периоду | 98,21 | 102,68 | 100,0 | 106,25 | 110,096 | 112,5 | 110,58 | | |
Тема 7 Задача 1По нижеприведенным данным ответить на вопросы, поставленные в таблице, т.е. определить недостающие показатели |
Показатели | Изменение показателей в % к предыдущему кварталу «+»-увеличение, «-» - уменьшение | | | II квартал | III квартал | IV квартал | | Цена | ? | +10 | -2 | | Натуральный объем продаж | Без изменения | ? | +5 | | Товарооборот в денежном выражении | +8 | +5 | ? | | |
Решение: Найдём в III квартале ip - так как 110-100=10% (+10) в этой ячейке, то значение индекса запишем 110/100=1,1 По аналогии заполним все ячейки. |
Индексы | Значения индексов | | | II квартал | III квартал | IV квартал | | ip | x | 1,1 | 0,98 | | iq | 1,0 | y | 1,05 | | Ipq | 1,08 | 1,05 | z | | |
Теперь найдём x,y,z: Ipq= ip* iq x= Ipq / iq=1,08/1=1,08 (+8) y=1,05/1,1=0,95 (-5) z=0,98*1,05=1,03 (+3) Таблица примет вид: |
Показатели | Изменение показателей в % к предыдущему кварталу «+»-увеличение, «-» - уменьшение | | | II квартал | III квартал | IV квартал | | Цена | +8 | +10 | -2 | | Натуральный объем продаж | 0 | -5 | +5 | | Товарооборот в денежном выражении | +8 | +5 | +3 | | |
Тема 8 Задача 1 По пяти рабочим цеха имеются данные о квалификации и месячной выработке. Для изучения связи между квалификацией рабочих и их выработкой определить линейное уравнение связи и коэффициент корреляции. Дать интерпретацию коэффициентам регрессии и корреляции. |
Табельный номер рабочего | Разряд (y) | Выработка продукции за смену, шт. (x) | | 1 2 3 4 5 | 6 2 3 5 4 | 130 60 70 110 90 | | |
Решение: Линейное уравнение связи: y=a+bx 6=a+130*b, a=6-130*b 5=a+110*b, a=5-110*b 6-130*b=5-110*b; 6-5=130*b-110*b; 1=20*b; b=1/20=0,05 6=a+0,05*130; a=6-0,05*130; a=-0,5 Линейное уравнение примет вид: y=-0,5+0,05x Проверка: 4=-0,5+0,05*90, 4=4; 3=-0,5+70/20, 3=3; 2=-0,5+60/20, 2=2,5 - работник 2-го разряда перевыполняет норму и не вписывается в общую зависимость. Коэффициент корреляции: Найдём числитель (n=5): (2*60+3*70+4*90+5*110+6*130)-(2+3+4+5+6)* *(60+70+90+110+130)/5=2020-20*460/5=180 УxІ-(Уx)І/n=(60І+70І+90І+110І+130І)-(60+70+90+110+130)І/5= =45600-211600/5=45600-42320=3280 УyІ-(Уy)І/n=(2І+3І+4І+5І+6І)-(2+3+4+5+6)І/5=90-400/5=90-80=10 r=180/v3280*v10=180/181,1077=0,99388 По шкале Чеддока связь классифицируется как функциональная. Поскольку (0,99388>0,99100), модель надёжна, связь статистически значима. Тема 9 Задача 1 Имеются следующие данные за 2006 год: · Численность населения, тыс. чел.: на 1 января - 430,0; на 1 апреля - 430,2; на 1 июля 430,3; на 1 октября - 430,7; на 1 января 2007 г. 430,8 · Число умерших, чел. - 8 170 · Число выбывших на постоянное жительство в другие населенные пункты, чел. - 570 · Коэффициент жизненности - 1,075 · Доля женщин в общей численности населения, % - 58 · Доля женщин в возрасте 15-49 лет в общей численности женщин, % -39 Определите: коэффициенты рождаемости, смертности, естественного, механического и общего прироста населения; число родившихся; число прибывших на постоянное жительство из других населенных пунктов; специальный коэффициент рождаемости. Решение: Коэффициент рождаемости : N - кол-во родившихся, S - численность населения. Средняя численность населения: = =(430/2+430,2+430,3+430,7+430,8/2)/(5-1)= =1721,6/4=430,4 N=430,8-430,0=0,8 тыс. чел. (800 чел.) - За весь 2006 г. n=1000*0,8/430,4=1,859 (чел./тыс. чел.) Коэффициент смертности : M - кол-во умерших. m=1000*8,17/430,4=18,982 (чел./тыс. чел.) - за 2006 г. Коэффициент естественного прироста населения : Kn-m=1,859-18,982=-17,123 (чел./тыс. чел.) Коэффициент механического прироста населения : Коэффициент выбытия населения: =1000*0,57/430,4=1,324 (чел./тыс. чел.) Коэффициент прибытия населения: =0 (В условиях задачи не указано сколько прибыло населения или чему равен Kпр, решение с двумя неизвестными невозможно. Будем считать его равным 0) =0-1,324=-1,324 (чел./тыс. чел.) Коэффициент общего прироста населения: =-17,123+(-1,324)=-18,447 Специальный коэффициент рождаемости: =1000*0,8/(430,4*0,39)= 4,766 Тема 10 Задача 1 Имеются данные на конец года по РФ, млн. чел.: - численность населения - 146,7 - экономически активное население - 66,7 - безработных, всего - 8,9, в том числе зарегистрированных в службе занятости - 1,93. Определить: 1) уровень экономически активного населения; 2) уровень занятости; 3) уровень безработицы; 4) уровень зарегистрированных безработных; 5) коэффициент нагрузки на 1 занятого в экономике. Решение: Коэффициент экономически активного населения: =66,7/146,7=0,45467=45,467% Коэффициент занятости : занятые = экономически активные - безработные =66,7-8,9=57,8 млн. чел. =57,8/66,7=0,8666=86,66% Коэффициент безработицы: =8,9/66,7=0,1334=13,34% Уровень зарегистрированных безработных: зарегистрированные в службе занятости / экономически активные=1,93/66,7 = 0,0289=2,89% Коэффициент нагрузки на одного занятого в экономике - это число незанятых в экономике, приходящееся на одного занятого: S - численность населения. = (146,7-57,8)/57,8=1,538
|