Экономико-математическое моделирование : Математические методы в экономике
Математические методы в экономике
Содержание - Задание 1
- Задание 2
- Список литературы
Задание 1Стоимостной МОБ включает пять отраслей:1. тяжелая промышленность;2. легкая промышленность;3. строительство;4. сельское и лесное хозяйство;5. прочие отрасли.1) Необходимо составить плановый МОБ, если спрос на конечную продукцию на следующий год по всем отраслям увеличится на (4+n)%.2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на (2+n/2)%.3) Определить равновесные цены в предположении (4+n/3)%-го роста заработной платы по каждой отрасли. Проследите эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считайте, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).Таблица 1 - Таблица межотраслевых потоков|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | 1 | 46,07 | 3,28 | 17,64 | 6,19 | 4,82 | | 2 | 3,92 | 38,42 | 0,84 | 0,86 | 2,25 | | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 4 | 0,52 | 27,22 | 1,01 | 16,18 | 0 | | 5 | 16,08 | 10,1 | 4,73 | 0,34 | 0,4 | | | Таблица 2 - Таблица конечных продуктов|
1 | 48,18 | | 2 | 91,16 | | 3 | 43,8 | | 4 | 28,33 | | 5 | 3,04 | | | Таблица 3 - Таблицы стоимости фондов и затрат труда|
Стоимость фондов | 200 | 110 | 130 | 250 | 80 | | Стоимость затрат труда | 100 | 80 | 50 | 35 | 33 | | | Решение:Введем следующие обозначения: - общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли; - объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью (i, j = 1, 2, ... п); - объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления. Тогда Перепишем эту систему уравнений введя коэффициенты прямых затрат . Обозначим Х - вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продута, А = (аij) - матрица прямых затрат, (i, j = 1, 2, ... п). Тогда соотношения баланса перепишутся в матричном виде: Это соотношение называется матричным уравнением Леонтьева.Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании таково вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем последнее уравнение в виде Если то решение задачи межотраслевого баланса записывается Матрица называется матрицей полных затрат.Представим исходные данные задачи в виде одной таблицы - матрицы межотраслевого баланса:|
| ОТРАСЛЬ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Конечный продукт | Валовой продукт | | 1 | тяжелая промышленность | 46,07 | 3,28 | 17,64 | 6,19 | 4,82 | 48,18 | 126,18 | | 2 | легкая промышленность | 3,92 | 38,42 | 0,84 | 0,86 | 2,25 | 91,16 | 137,45 | | 3 | строительство | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 43,8 | 43,8 | | 4 | сельское и лесное хозяйство | 0,52 | 27,22 | 1,01 | 16,18 | 0 | 28,33 | 73,26 | | 5 | прочие отрасли | 16,08 | 10,1 | 4,73 | 0,34 | 0,4 | 3,04 | 34,69 | | | 1) Матричные вычисления произведем с помощью пакета Excel. Итак, матрицы . Матрица полных затрат По условию задачи, спрос по всем отраслям должен увеличиться на 8%, т.е. вектор конечного продукта должен стать . Тогда искомый вектор валового выпуска Составим новую матрицу межотраслевого баланса (с точностью до второго знака после запятой). Для этого воспользуемся формулами:;;;.Промежуточные вычисления (с точностью до 2-го знака после запятой:=.После чего новая матрица межотраслевого баланса будет выглядеть:|
| ОТРАСЛЬ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Конечный продукт | Валовой продукт | | 1 | тяжелая промышленность | 60,438 | 74,404 | 58,72 | 72,679 | 71,33 | 3875,28 | 4212,85 | | 2 | легкая промышленность | 43,375 | 35,122 | 43,712 | 45,307 | 43,227 | 4424,46 | 4635,2 | | 3 | строительство | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3804,54 | 3804,54 | | 4 | сельское и лесное хозяйство | 43,828 | 34,105 | 43,825 | 40,993 | 43,092 | 4380,10 | 4585,94 | | 5 | прочие отрасли | 25,413 | 28,346 | 24,929 | 30,096 | 28,756 | 4350,89 | 4488,43 | | | 2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на 6%, т.е. конечный продукт станет равным .В результате этого изменения эффект распространения будет заключаться в том, что новый вектор валового выпуска будет иметь видДля нахождения эффекта распространения привлечем уравнение для цен:P = AT P + v, откуда P = (E - AT)-1v.Обратная матрица Леонтьева (E - AT)-1 - ценовой матричный мультипликатор - матричный мультипликатор ценового эффекта распространения.Этот мультипликатор эффекта распространения найдем с помощью пакета Excel, сначала транспонируя матрицу А, затем отнимая ее от единичной матрицы и находя обратную матрицу. Проводя эти вычисления, получим:.Этот результат в качестве промежуточного будет использован в следующем пункте при расчете равновесной цены.3) Отношение vj = Vj/Xj - называют долей добавленной стоимости, а вектор v = (v1,…,vn) - вектор долей добавленной стоимости. В матричном виде уравнение для цен будет иметь следующий вид P = AT P + v.Решая уравнение это относительно Р, получим P = (E - AT)-1v.По условию задачи, вектор v = (0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).Тогда, с помощью пакета Excel, найдем равновесные цены:.При этом эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считая, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547) дается мультипликатором эффекта распространения:.Задание 2Условие задания:Имеются данные экономического развития США за 1953-1974 гг.|
Год | Валовой национальный продукт, млрд. долл. | Объем загруженного капитала, млрд. долл | Количество отработанных часов, млрд. час. | | 1953 | 623,6 | 380,53 | 136,07 | | 1954 | 616,1 | 354,20 | 131,12 | | 1955 | 657,5 | 400,66 | 134,16 | | 1956 | 671,6 | 415,15 | 136,04 | | 1957 | 683,8 | 418,83 | 134,77 | | 1958 | 680,9 | 384,87 | 130,44 | | 1959 | 721,7 | 431,04 | 133,87 | | 1960 | 737,2 | 435,65 | 134,99 | | 1961 | 756,6 | 432,28 | 134,25 | | 1962 | 800,3 | 471,65 | 137,36 | | 1963 | 832,5 | 499,75 | 138,72 | | 1964 | 876,4 | 535,09 | 141,00 | | 1965 | 926,3 | 593,96 | 145,39 | | 1966 | 984,4 | 644,26 | 150,88 | | 1967 | 1011,4 | 647,58 | 152,67 | | 1968 | 1058,1 | 628,43 | 155,51 | | 1969 | 1087,6 | 711,58 | 159,20 | | 1970 | 1085,6 | 628,06 | 156,49 | | 1971 | 1122,4 | 696,74 | 155,85 | | 1972 | 1185,9 | 770,96 | 159,56 | | 1973 | 1255,0 | 850,63 | 165,41 | | 1974 | 1248,0 | 848,39 | 165,51 | | | Необходимо определить:1. Параметры А, и степенной производственной функции;2. Расчетные значения ВНП;3. Оценить точность полученной модели;4. Эластичность выпуска и производства;5. Для 1974 года построить изокванту и изоклинали.Решение:1. Определение параметров А, и степенной производственной функции проведем с помощью пакета Excel. Будем искать параметры производственной функции в виде , где , причем и положительные.Сначала исследуем зависимость . С помощью пакета Excel получим:Из соображений примем вид степенной производственной функции:.2. С помощью пакета Excel найдем расчетные значения ВНП:|
Год | Валовой национальный продукт, млрд. долл. | Объем загруженного капитала, млрд. долл | Количество отработанных часов, млрд. час. | Расчет ВНП | отклонение расчета от факта | | 1953 | 623,6 | 380,53 | 136,07 | 855,3352 | 231,7352 | | 1954 | 616,1 | 354,2 | 131,12 | 816,2174 | 200,1174 | | 1955 | 657,5 | 400,66 | 134,16 | 857,6237 | 200,1237 | | 1956 | 671,6 | 415,15 | 136,04 | 874,7891 | 203,1891 | | 1957 | 683,8 | 418,83 | 134,77 | 870,5739 | 186,7739 | | 1958 | 680,9 | 384,87 | 130,44 | 830,7576 | 149,8576 | | 1959 | 721,7 | 431,04 | 133,87 | 872,6536 | 150,9536 | | 1960 | 737,2 | 435,65 | 134,99 | 880,6296 | 143,4296 | | 1961 | 756,6 | 432,28 | 134,25 | 875,189 | 118,589 | | 1962 | 800,3 | 471,65 | 137,36 | 910,9795 | 110,6795 | | 1963 | 832,5 | 499,75 | 138,72 | 931,7497 | 99,24966 | | 1964 | 876,4 | 535,09 | 141 | 960,2843 | 83,88431 | | 1965 | 926,3 | 593,96 | 145,39 | 1009,978 | 83,67786 | | 1966 | 984,4 | 644,26 | 150,88 | 1061,032 | 76,63217 | | 1967 | 1011,4 | 647,58 | 152,67 | 1072,016 | 60,6156 | | 1968 | 1058,1 | 628,43 | 155,51 | 1078,676 | 20,57574 | | 1969 | 1087,6 | 711,58 | 159,2 | 1134,152 | 46,55247 | | 1970 | 1085,6 | 628,06 | 156,49 | 1083,671 | -1,92939 | | 1971 | 1122,4 | 696,74 | 155,85 | 1109,87 | -12,53 | | 1972 | 1185,9 | 770,96 | 159,56 | 1160,042 | -25,8576 | | 1973 | 1255 | 850,63 | 165,41 | 1223,118 | -31,8823 | | 1974 | 1248 | 848,39 | 165,51 | 1222,84 | -25,1598 | | | 3. Оценим точность полученной модели, для этого выполним графическое представление результатов вычислений.Как можно видеть из табличных значений и графического представления, расчетные значения, по крайней мере, повторяют тенденцию фактических значений с ошибкой порядка 7%.4. Оценим эластичность производственной функции по объему загруженного капитала и количеству отработанных часов, т.е. эластичность функции z по переменной х и эластичность функции z по переменной у.В общем виде эластичность степенной производственной функции от двух переменных будет выглядеть следующим образом:;.Для рассматриваемой функции:..Таким образом, ВНП пропорционален коэффициентам и , но не коэффициенту А.5. Для 1974 года построим изокванту и изоклинали.Графическое изображение функции представлено изоквантой. Она подобна кривой безразличия, только отличие состоит в том, что изокванта количественно определена. Объем выпуска, соответствующий конкретной изокванте может быть достигнут при различном сочетании капитала и труда.Итак, для 1974 года уравнение для построения изокванты выглядит:.Отсюда .Изокванта выглядит:Изоклиналь :Изоклиналь :Список литературы1. «Математическая статистика» Л.Н. Павлова, Юнити-Дана, 2003 г., 269с.2. «Теория вероятностей и математической статистики для экономистов», Морошкин В.А., Финансы и статистика, 2004 г., 112с.3. «Система национальных счетов», В.В. Ковалев, Финансы и статистика, 2001 г., 144с.4. Семенов С.Д. «Экономическая теория», Финансы и статистика, 2000 г., 768с.5. «Теория вероятности и математическая статистика. Учебное пособие для ВУЗов» Гмурман В.Е., Высшая школа, 2000г., 479с.
|