Экономико-математическое моделирование : Математические методы и модели
Математические методы и модели
Задача 1 Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации. Выбор варианта осуществляется по последней цифре порядкового номера студента Решение: Построим расчетную таблицу |
N | Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед), X | Основная заработная плата (тыс. ден. ед), Y | XY | X2 | Y2 | | | | | 1 | 3,2 | 6,3 | 20,16 | 10,24 | 39,69 | 6,35 | 0,003 | 10,27 | | 2 | 0,5 | 1,1 | 0,55 | 0,25 | 1,21 | 2,04 | 0,886 | 3,98 | | 3 | 1,2 | 2,9 | 3,48 | 1,44 | 8,41 | 3,16 | 0,067 | 0,04 | | 4 | 0,1 | 2,5 | 0,25 | 0,01 | 6,25 | 1,40 | 1,203 | 0,35 | | 5 | 0,5 | 2,3 | 1,15 | 0,25 | 5,29 | 2,04 | 0,067 | 0,63 | | 6 | 0,6 | 4,7 | 2,82 | 0,36 | 22,09 | 2,20 | 6,244 | 2,58 | | 7 | 0,8 | 2,5 | 2 | 0,64 | 6,25 | 2,52 | 0,000 | 0,35 | | 8 | 1,3 | 3,6 | 4,68 | 1,69 | 12,96 | 3,32 | 0,079 | 0,26 | | 9 | 2,1 | 5 | 10,5 | 4,41 | 25 | 4,60 | 0,164 | 3,63 | | 10 | 0,3 | 0,7 | 0,21 | 0,09 | 0,49 | 1,72 | 1,045 | 5,74 | | 11 | 3,2 | 7 | 22,4 | 10,24 | 49 | 6,35 | 0,421 | 15,25 | | 12 | 0,5 | 1 | 0,5 | 0,25 | 1 | 2,04 | 1,085 | 4,39 | | 13 | 1,4 | 3,1 | 4,34 | 1,96 | 9,61 | 3,48 | 0,143 | 0,00 | | 14 | 1,8 | 2,8 | 5,04 | 3,24 | 7,84 | 4,12 | 1,733 | 0,09 | | 15 | 0,3 | 1,4 | 0,42 | 0,09 | 1,96 | 1,72 | 0,104 | 2,87 | | 16 | 0,4 | 1 | 0,4 | 0,16 | 1 | 1,88 | 0,778 | 4,39 | | 17 | 2,3 | 5,1 | 11,73 | 5,29 | 26,01 | 4,91 | 0,034 | 4,02 | | 18 | 0,1 | 2,6 | 0,26 | 0,01 | 6,76 | 1,40 | 1,433 | 0,25 | | 18 | 1,3 | 3,8 | 4,94 | 1,69 | 14,44 | 3,32 | 0,232 | 0,50 | | 20 | 1,3 | 2,5 | 3,25 | 1,69 | 6,25 | 3,32 | 0,670 | 0,35 | | сумма | 23,2 | 61,9 | 99,08 | 44 | 251,51 | 61,9 | 16,391 | 59,93 | | среднее | | 3,095 | | | | | | | | |
Вычислим коэффициент корреляции по формуле: r где X и Y- текущие значения наблюдаемых величин; N- число наблюдений. Получим: Коэффициент корреляции лежит в пределах 0 / r / 1 . При положительном коэффициенте корреляции наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая. В нашем примере r = 0,852 связь тесная Вычислим уравнение регрессии: - уравнение регрессии Построим корреляционное поле Теснота связи для аппроксимации криволинейных зависимостей определяется при помощи корреляционного отношения r = Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Линия регрессии - аппроксимирующая функция. Чем меньше E, тем точнее выбранная зависимость аппроксимирует существующую зависимость Вычислим точность аппроксимации: где Yi- наблюденное значение зависимой переменной ; - рассчитанное по формуле значение; - среднее значение; Вывод: 1. Между факторами имеется тесная связь. 2. Связь прямая 3. Прямолинейная зависимость лучше отображает связь. Задача 2 2.1 По приведенным ниже данным - матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды, выбрать наиболее предпочтительную стратегию по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа. |
Состояние факторов внешней среды | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | А | 100 | 120 | 130 | 130 | 120 | 110 | | Б | 110 | 90 | 150 | 120 | 120 | 100 | | В | 150 | 150 | 100 | 90 | 100 | 90 | | Г | 130 | 100 | 110 | 120 | 120 | 110 | | Д | 150 | 110 | 110 | 100 | 130 | 150 | | Е | 190 | 90 | 100 | 170 | 120 | 90 | | Ж | 100 | 140 | 140 | 140 | 130 | 100 | | З | 120 | 150 | 130 | 130 | 120 | 90 | | И | 140 | 120 | 130 | 120 | 150 | 100 | | |
Критерий Лапласа. Критерием выбора стратегии выступает максимизации математического ожидания. |
| Состояние факторов внешней среды | М | | Варианты стратегий | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | | | А | 100 | 120 | 130 | 130 | 120 | 110 | 118 | | | Б | 110 | 90 | 150 | 120 | 120 | 100 | 115 | | | В | 150 | 150 | 100 | 90 | 100 | 90 | 113 | | | Г | 130 | 100 | 110 | 120 | 120 | 110 | 115 | | | Д | 150 | 110 | 110 | 100 | 130 | 150 | 125 | | | Е | 190 | 90 | 100 | 170 | 120 | 90 | 127 | | | Ж | 100 | 140 | 140 | 140 | 130 | 100 | 125 | | | З | 120 | 150 | 130 | 130 | 120 | 90 | 123 | | | И | 140 | 120 | 130 | 120 | 150 | 100 | 127 | | |
Вывод: В соответствии с критерием Лапласа стратегии СЕ и СИ характеризуются максимальным математическим ожиданием прибыли. Критерий Вальда В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как |
| Состояние факторов внешней среды | min | | Варианты стратегий | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | | | А | 100 | 120 | 130 | 130 | 120 | 110 | 100 | | | Б | 110 | 90 | 150 | 120 | 120 | 100 | 90 | | | В | 150 | 150 | 100 | 90 | 100 | 90 | 90 | | | Г | 130 | 100 | 110 | 120 | 120 | 110 | 100 | | | Д | 150 | 110 | 110 | 100 | 130 | 150 | 100 | | | Е | 190 | 90 | 100 | 170 | 120 | 90 | 90 | | | Ж | 100 | 140 | 140 | 140 | 130 | 100 | 100 | | | З | 120 | 150 | 130 | 130 | 120 | 90 | 90 | | | И | 140 | 120 | 130 | 120 | 150 | 100 | 100 | | |
W = 100 Вывод: В соответствии с критерием рекомендуемые стратегии СА, СГ, СД, СЖ, СИ гарантируют максимальный результат (100) в самой неблагоприятной ситуации. Критерий Гурвица Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции. В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей , где a- показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0 a1, Вывод: Согласно критерию Гурвица стратегия СЕ обеспечивает максимальное значение линейной комбинации Критерий Сэвиджа Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (Rj) и выигрышем при выбранной стратегии (Si) ; при , где rij - показатель риска; j - максимально возможный выигрыш; x ij - выигрыш при выбранной стратегии На этой основе строят матрицу рисков, которая показывает "сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы". Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации |
| Без риска | С риском | Без риска | С риском | Без риска | С риском | Без риска | С риском | Без риска | С риском | Без риска | С риском | Max rij | | | 1 | | 2 | | 3 | | 4 | | 5 | | 6 | | | | А | 100 | 90 | 120 | 30 | 130 | 20 | 130 | 40 | 120 | 30 | 110 | 40 | 90 | | Б | 110 | 80 | 90 | 60 | 150 | 0 | 120 | 50 | 120 | 30 | 100 | 50 | 80 | | В | 150 | 40 | 150 | 0 | 100 | 50 | 90 | 80 | 100 | 50 | 90 | 60 | 80 | | Г | 130 | 70 | 100 | 50 | 110 | 40 | 120 | 50 | 120 | 30 | 110 | 40 | 70 | | Д | 150 | 40 | 110 | 40 | 110 | 40 | 100 | 70 | 130 | 20 | 150 | 0 | 70 | | Е | 190 | 0 | 90 | 60 | 100 | 50 | 170 | 0 | 120 | 30 | 90 | 40 | 60 | | Ж | 100 | 90 | 140 | 10 | 140 | 10 | 140 | 50 | 130 | 20 | 100 | 50 | 90 | | З | 120 | 70 | 150 | 0 | 130 | 20 | 130 | 40 | 120 | 30 | 90 | 60 | 70 | | И | 140 | 50 | 120 | 30 | 130 | 20 | 120 | 50 | 150 | 0 | 100 | 50 | 50 | | мах | 190 | | 150 | | 150 | | 170 | | 150 | | 150 | | | | |
S = 50 Вывод: В соответствие с критерием рекомендуемая стратегия СИ, выбирая её в самом худшем случаи наше сожаление не превысит 50.д.ед. 2.2 При заданном распределении состояний факторов внешней среды определить стандартные статистические показатели (среднюю ожидаемую прибыль, дисперсию, коэффициент вариации прибыли) и обосновать выбор стратегии по индивидуальному отношению к риску. |
| 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,2 | 0,05 | 0,05 | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | А | 100 | 120 | 130 | 130 | 120 | 110 | | Б | 110 | 90 | 150 | 120 | 120 | 100 | | В | 150 | 150 | 100 | 90 | 100 | 90 | | Г | 130 | 100 | 110 | 120 | 120 | 110 | | Д | 150 | 110 | 110 | 100 | 130 | 150 | | Е | 190 | 90 | 100 | 170 | 120 | 90 | | Ж | 100 | 140 | 140 | 140 | 130 | 100 | | З | 120 | 150 | 130 | 130 | 120 | 90 | | И | 140 | 120 | 130 | 120 | 150 | 100 | | |
Вычислим среднюю ожидаемую прибыль по формуле: МА=100*0,2+120*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+110*0,05=118,5 МБ=110*0,2+90*0,4+150*0,1+120*0,2+120*0,05+100*0,05=108 МВ=150*0,2+150*0,4+100*01+90*0,2+100*0,05+90*0,05=127,5 МГ=130*0,2+100*0,4+110*0,1+120*0,2+120*0,05+110*0,05=112,5 МД=150*0,2+110*0,4+110*0,1+100*0,2+100*0,05+150*0,05=119 МЕ=190*0,2+90*0,4+100*0,1+170*0,2+120*0,05+90*0,05=128,5 МЖ=100*0,2+140*0,4+140*0,1+140*0,2+130*0,05+100*0,05=129,5 МЗ=120*0,2+150*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+90*0,05=133,5 МИ=140*0,2+120*0,4+130*0,1+120*0,2+150*0,05+100*0,05=125,5 Вычислим среднее квадратичное (стандартное) отклонение: где - стандартное отклонение; Ax - результат для вероятности Px; - среднее ожидаемое значение результата; Px - вероятность появления этого результата Коэффициент вариации используют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле: , где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина. |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | м | | А | 100 | 120 | 130 | 130 | 120 | 110 | 118,5 | | Б | 110 | 90 | 150 | 120 | 120 | 100 | 108 | | В | 150 | 150 | 100 | 90 | 100 | 90 | 127,5 | | Г | 130 | 100 | 110 | 120 | 120 | 110 | 112,5 | | Д | 150 | 110 | 110 | 100 | 130 | 150 | 119 | | Е | 190 | 90 | 100 | 170 | 120 | 90 | 128,5 | | Ж | 100 | 140 | 140 | 140 | 130 | 100 | 129,5 | | З | 120 | 150 | 130 | 130 | 120 | 90 | 133,5 | | И | 140 | 120 | 130 | 120 | 150 | 100 | 125,5 | | |
Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений. Построим таблицу |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | м | | [М-];[М+] | V% | | А | 100 | 120 | 130 | 130 | 120 | 110 | 118,5 | 10,61838 | [107,88 ;129,12] | 8,95 | | Б | 110 | 90 | 150 | 120 | 120 | 100 | 108 | 18,60108 | [89,40 ;126,60] | 17,22 | | В | 150 | 150 | 100 | 90 | 100 | 90 | 127,5 | 27,72634 | [99,77 ;155,23] | 21,74 | | Г | 130 | 100 | 110 | 120 | 120 | 110 | 112,5 | 11,77922 | [100,72; 124,28] | 10,46 | | Д | 150 | 110 | 110 | 100 | 130 | 150 | 119 | 18,9473 | [100,05 ;137,95] | 15,92 | | Е | 190 | 90 | 100 | 170 | 120 | 90 | 128,5 | 43,04358 | [85,46 ;171,54] | 33,49 | | Ж | 100 | 140 | 140 | 140 | 130 | 100 | 129,5 | 17,16828 | [112,33 ;146,67] | 13,25 | | З | 120 | 150 | 130 | 130 | 120 | 90 | 133,5 | 15,89811 | [117,60 ;149,40] | 11,9 | | И | 140 | 120 | 130 | 120 | 150 | 100 | 125,5 | 11,16915 | [114,33 ;136,67] | 8,9 | | |
Вывод: на мой взгляд самая оптимальная стратегия СЕ, т.к во время кризиса мы потеряем много прибыли, но в тоже время в благоприятных условиях мы приобретем много прибыли.
|