Экономико-математическое моделирование : Математическая модель системы в переменных пространства состояний
Математическая модель системы в переменных пространства состояний
- 10 - МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫМатематическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид, (2.1.1) (2.1.2)где мерный вектор параметров состояний; мерный вектор управляющих воздействий; мерный вектор возмущающих воздействий; l- мерный вектор выходов; А - матрица состояний системы размерности ; В - матрица управлений размерности ; Г - матрица возмущений размерности ; С - матрица выходов размерности ln; D - матрица компенсаций (обходов) размерности lm.Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:, (2.1.3)где - экспоненциал матрицы А.Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход - выход».Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход - выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. 2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 2.2.1Определить переходные процессы в системе (2.2.1), (2.2.2)под действием ступенчатых воздействий по каналам управления и возмущения .РешениеВ соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме. (2.2.3)Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0=0, представим выражение (2.2.3) в виде. (2.2.4)Для нахождения экспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения , то есть и .Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен. (2.2.5)Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем=.Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход - выход» имеет вид:. УСТОЙЧИВОСТЬОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫУстойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением ( ), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения (3.1.1)Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел лj=лj(A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. Reлj. Если Reлj<0, то система асимптотически устойчива.Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде???n????n-1??????n?????n??0. (3.1.2)Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2)..Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при б0>0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ДI>0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя ГурвицаДn=бnДn-1 (3.1.3)при Дn-1>0 сводится к положительности свободного члена бn характеристического уравнения.3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 3.2.1Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями, (3.2.1). (3.2.2)Решение.Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1), (3.2.3)решение которого дает следующие корни:.Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.Задача 3.2.2Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями, , (3.2.4). (3.2.5)Решение.Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1). (3.2.6)Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:. (3.2.7)Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица. (3.2.8)Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при л3 равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Дi>0 (i=1,2,3), .В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный.Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой. УПРАВЛЯЕМОСТЬОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫУправляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Lc размерности равен n, то естьrankn, (4.1.1)где. (4.1.2)Если rank<n, то система будет частично управляемой, а при rank=0 - полностью неуправляемой.Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по выходам (критерий Калмана): система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости размерности равен l то естьrank=l, (4.1.3)где. (4.1.4)Если rank<l, то система будет частично управляемой по выходам, а при rank=0 - полностью неуправляемой.Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4) соответствует размерности вектора состояний. 4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 4.2.1Определить управляемость динамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями,(4.2.1). (4.2.2)Решение.В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2.Найдем произведение матриц.Следовательно, матрица управляемости имеет вид,и ее ранг rank2, то есть настоящая система полностью управляема по состояниям.Задача 4.2.2Определить управляемость по выходам динамической системы, заданной векторными уравнениями,.Решение.В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2.Найдем произведение матриц..Следовательно, матрица управляемости имеет вид,и ее ранг rank=2, то есть настоящая система полностью управляема по выходам. 5. НАБЛЮДАЕМОСТЬ5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫНаблюдаемость системы (2.1.1), (2.1.2) определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет вполне наблюдаемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости L0 размерности равен n, то естьrankn, (5.1.1)где. (5.1.2)Если rank<n, то система будет не вполне наблюдаемой, а при rank=0 - полностью ненаблюдаемой.5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 5.2.1Определить наблюдаемость динамической системы, заданной векторными уравнениями. Решение.В соответствии с выражением (5.1.2) запишем матрицу наблюдаемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2.Найдем произведение матриц.Следовательно, матрица наблюдаемости имеет вид,и ее ранг rank2, то есть настоящая система полностью наблюдаема.
|
