Экономико-математическое моделирование : Классическое вариационное исчисление. Уравнение Эйлера. Задача вариационного исчисления с подвижными границами

Классическое вариационное исчисление. Уравнение Эйлера. Задача вариационного исчисления с подвижными границами

Найти допустимые экстремали в задаче классического вариационного исчисления:

(a)

Решение:

Составим уравнение Эйлера

;

Теперь считаем производные подынтегральной функции по переменным x,, t.

Подставляем полученные значения в уравнение Эйлера

Мы получили неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка.

Записываем характеристическое уравнение и ищем его корни

Поэтому общее решение ищем в виде

Теперь ищем частное решение:

);

Приравниваем правую и левую части

Находим неизвестные параметры методом неопределенных коэффициентов

Ответ: .

, , ;

Используем формулу:

Решение:

Составим уравнение Эйлера

.

Уравнение Эйлера принимает вид

Мы получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

;

Поэтому общее решение ищем в виде

Подставляем начальные условия:

;

;

;

, ;

Подставляем полученные значения, и получаем следующий ответ:

.

Ответ: .

Задание 2

Найдите допустимые экстремали в задаче вариационного исчисления с подвижными границами:

, ,

Решение:

Составляем уравнение Эйлера

;

;

;

Уравнение Эйлера принимает вид

;

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

;

;

Решим данное уравнение последовательным интегрированием:

;

;

;

Определим неизвестную константу, воспользовавшись начальным условием:

 ;

x (T) =

Ответ:.

Решить задачу оптимального управления в форме Лагранжа:

Решение:

Записываем задачу в форме Лагранжа, для этого производим замену переменных:

Составляем функцию Гамильтона

Управление достигает своего оптимального значения, если функция Гамильтона достигает максимума.

Найдём такое управление, при котором H достигает max, т.к. управление u не имеет ограничений, воспользуемся достаточным признаком max.

= 0

Записываем сопряженную систему:

Записываем условие трансверсальности

Решаем систему уравнений, чтобы определить оптимальное значение управления

=> =>

Получаем однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка

Записываем характеристическое уравнение

Поэтому решение имеет вид:

Чтобы определить неизвестные константы, воспользуемся условием трансверсальности

Т.к. C1 и C2 равны 0, то и ш2 равно 0, значит

Подставим получившееся значение в первую систему и решаем её

Получается однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка

Характеристическое уравнение

Решение имеет следующий вид

Найдём неизвестные константы, воспользуемся начальным условием

Ответ:

Решить задачу оптимального управления в форме Понтрягина:

, , .

Решение:

Приводим задачу к форме Понтрягина, для этого проводим замену переменных

, , , ;

Записываем функцию Гамильтона

H**u

Функция Гамильтона линейна на U, поэтому H достигает максимума при

Найдем :

Получаем:

, , ;

Выполняем условия трансверсальности:

 ;

Вся

Нахожу .

=.

Подставляю начальные условия:

(0) = 0, тогда 0 = U*0 +

Для получения подставляю в уравнение =:

.

Ответ: ;

Решить задачу распределения 5 единиц денежных ресурсов между четырьмя предприятиями.

На будущий период были выделены 5 денежных средств, которые нужно распределить между четырьмя предприятиями, причем каждому предприятию необходимо выделить средства кратно одной денежной единицы. Прибыль от инвестирования средств зависит от количества вложений x в каждое k-e предприятие, равно fk(x) и приведено в таблице. Определить оптимальное распределение средств между предприятиями.

Таблица 1 - Доход и распределение ресурсов

Решение:

Для решения поставленной задачи необходимо заполнить следующую таблицу. Четвертый шаг заполняется на основе первой таблицы, f4(x) переписываем в ц(3), в столбце u*(4) пишем числа от 1 до 5.

Таблица 2

Заполняем её по ходу заполнения следующей таблицы. Столбец f3(u3) в таблице 3 заполняется на основе столбца f3(x) из первой таблицы, заполняем по мере увеличения выделяемых денежных средств. Столбец ц3 заполняем снизу вверх на основе второй таблицы, данный берём из столбца ц(3). Столбец ц(3, х(2)) является суммой предыдущих двух и из него мы выбираем максимальный результат (у нас в таблице выделенным красным), который заносится в таблицу 2 на 3 шаг в столбец ц(2). Так заполняется каждая строка. Для каждого выбранного максимума выбираем соотвествующее ему управление и заносим его во вторую таблицу в столбец u*(3).

Остальные шаги выполняются по аналогии.

Смотрим максимальное значение среди допустимых оптимальных значений и находим соответствующие им управление и определяем поставки.

Выбираем 13.

Третий столбец заполняем по формуле x(n) = x(0+x(n-1)) - un

В процессе решения мы отсеиваем варианты, которые нет смысла рассматривать.