Экономико-математическое моделирование : Економіко-математичне моделювання
Економіко-математичне моделювання
Міністерство освіти й науки України Харківський національний економічний університет Кафедра математики Індивідуальне навчально-дослідницьке завдання з дисципліни «Економіко-математичне моделювання» Перевірила: викладач кафедри Норік Л. А. Виконала: студентка ІІ курсу 1 групи факультету МЕВ Ільченко В.В. Харків, 2009 ЗАВДАННЯ №1 Специфікація економетричної моделі парної регресії Завдання: Побудувати лінійну, степеневу та показникову економетричні моделі за даними, що наведені в таблиці. Оцінити параметри моделі. Зробити економічні висновки. |
Попит, тис.грн | Ціна, грн | | 60,60 | 205,39 | | 40,30 | 206,42 | | 50,20 | 206,23 | | 70,40 | 205,40 | | 50,80 | 206,96 | | 60,40 | 206,54 | | 50,70 | 205,69 | | 60,90 | 207,84 | | 60,60 | 207,09 | | 80,00 | 209,19 | | 80,70 | 206,74 | | 80,00 | 206,84 | | |
1) Побудова лінійної моделі парної регресії Припустимо, що зв'язок - лінійний. Рівняння лінійної регресії має вид: yx=a0+a1*x Побудова рівняння лінійної регресії зводиться до оцінки її параметрів, для якого використовують метод найменших квадратів або користуються вбудованою функцією середовища MS Excel ЛИНЕЙН(). Для цього необхідно: 1. На робочому аркуші сформувати таблицю, що містить вихідні дані. Рис. 1 Вихідні дані 2. Виділяється блок (5 стрічок Х 2 стовпчики) з метою визначення результатів регресійної статистики. 3. За допомогою режиму Вставка викликається функція ЛИНЕЙН(), щаповнюються аргументи та натискається комбінація клавіш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>. В результаті цих дій виводиться регресійна статистика відповідно до схеми. Табл. 1 Схема регресійної статистики функції ЛИНЕЙН() |
Значення коефіцієнту а1 | Значення коефіцієнту а0 | | Середньоквадратичне відхилення а1 | Середньоквадратичне відхилення а0 | | Коефіцієнт детермінації | Середньоквадратичне відхилення у | | F-статистика | Кількість ступенів свободи | | Регресійна сума квадратів | Остаточна сума квадратів | | |
Отримуємо наступні данні Рис. 2 Поточні результати Таким чином теоретичне рівняння лінійної регресії має вигляд: y=-890,82 + 4,61*х Оскільки а1>0, то регресія невід'ємна, тобто збільшення значення х веде до збільшення значення у. Коефіцієнт регресії (а1 ) свідчить, що при збільшенні ціни на 1 одиницю попит збільшиться на 4, 61 одиниць. Коефіцієнт детермінації R2 = 0, 14, тобто варіація результату у на 14% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 86%. Отримані результати моделювання лінійного зв'язку можна встановити, використовуючи графічне зображення. Рис. 3 Графічне зображення Для визначення якості обраної моделі доцільно розрахувати середню помилку апроксимації: Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 17,20%, що вказую на невисоку якість моделі. Рис. 4 Допоміжні розрахунки для обчислення середньої помилки апроксимації. Щоб визначити на скільки відсотків в середньому за сукупністю зміниться результативна ознака від свого середнього значення за умовою зміни пояснюваного фактора на 1% від свого середнього значення обчислюється середній коефіцієнт еластичності: Отже, при збільшенні ціни на товари на 1%, попит на нього збільшується на 15,34% Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення Fтабл відповідного рівня значимості, та фактичне Fфакт: Fфакт=1,587 При ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=10 Fтабл=4,96 Оскільки Fфакт<Fтабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме. 2) Побудова показникової моделі Припустимо, що модель задачі показника, тоді - . Для побудови моделі виконаємо лінеаризацію, за допомогою логарифмування. Прологарифмуємо рівняння, щоб привести його до лінійного виду: , звідки маємо: , де , , Отже здійснено перетворення показникової моделі ло лінійної, параметри якої мозна обчислити за допомогою функції ЛИНЕЙН(). Рис. 5 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння показникової моделі Отже, маємо А1=0,071, А0=-10,63. Теоретичне рівняння регресії: Y=-10,63 +0,071x Виконаємо потенціювання рівняння та запишемо його у вигляді показникової функції: = 0.0000241,074x Коефіцієнт детермінації R2 = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 88%. Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації: Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,978%, що вказую на високу якість моделі. Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення Fтабл відповідного рівня значимості, та фактичне Fфакт: Fфакт=1,379 При ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=10 Fтабл=4,96 Оскільки Fфакт<Fтабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме. 3) Побудова степеневої моделі Припустимо,що модель даної задачі - степенева: . Перетворимо до лінійного вигляду за допомогою логарифмування: . Отже , де , , , . Виконані обчислення на рис.6
Рис. 6 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння степеневої моделі Отже А1= 14,73, А0=-74,43. Теоретичне рівняння регресії: Y=-74,43+14,73х. Виконаємо потенціювання отриманого рівняння, та запишемо його у вигляді степеневої функції: Коефіцієнт детермінації R2 = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, тобто ціни, на долю не врахованих факторів залишається 88%. Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації: Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,98%, що вказую на високу якість моделі. Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення Fтабл відповідного рівня значимості, та фактичне Fфакт: Fфакт=1,37 При ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=10 Fтабл=4,96 Оскільки Fфакт<Fтабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме. Висновок: за величиною середньої помилки апроксимації серед рівнянь моделей більш якісним визначається показникова регресія. ЗАВДАННЯ № 2 Визначення параметрів класичної економетричної моделі множинної регресії Завдання: Побудувати економетричну модель в стандартизованих змінних та натуральних змінних. Обчислити основні множинні характеристики, зробити висновки. Оцінити значущість рівняння регресії за допомогою F-критерію Фішера. Вихідні данні. |
Номер підприємства | Фондоємність | Витрати виробництва на усунення простою, тис.грн | Витрати виробництва на модернізацію, тис.грн | | 1 | 48,0 | 125 | 17,0 | | 2 | 103,0 | 133 | 16,2 | | 3 | 125,0 | 76 | 30,7 | | 4 | 115,0 | 103 | 20,3 | | 5 | 133,0 | 77 | 25,4 | | 6 | 71,0 | 67 | 36,4 | | 7 | 71,0 | 48 | 43,1 | | 8 | 77,0 | 115 | 21,6 | | 9 | 71,0 | 71 | 31,5 | | 10 | 69,0 | 71 | 31,9 | | 11 | 76,0 | 71 | 27,2 | | 12 | 78,0 | 69 | 37,3 | | 13 | 48,0 | 76 | 41,5 | | 14 | 48,0 | 78 | 34,3 | | 15 | 67,0 | 48 | 44,3 | | 16 | 67,0 | 48 | 43,4 | | 17 | 68,0 | 67 | 30,4 | | 18 | 62,0 | 67 | 38,0 | | 19 | 88,0 | 62 | 29,8 | | 20 | 74,0 | 88 | 35,0 | | |
Для побудови рівняння множинної регресії поширеною є лінійна функція: y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn+e На робочому аркуші формуємо таблицю, що містить вихідні данні. Зведену таблицю основних статистичних характеристик отримуємо за допомогою інструменти аналізу даних Описательная статистика.
Рис. 7 Результат використання інструмента Описательная статистика Для побудови рівняння лінійної множинної регресії обчислюємо параметри, за допомогою функції ЛИНЕЙН() Рис. 8 Результат виконання функції ЛИНЕЙН() Таким чином, теоретичне рівняння лінійної множинної регресії в натуральних змінних являє собою: у = 223,59 - 0,70х1 - 2,86х2. Для побудови стандартизованих змінних знайдемо значення ?і за формулою ?і = bi?xi/?y. ?1=-0,70*23,93/23,92=-0,70 ?2=-2,86*8,54/23,92=-1,02 Отже, модель стандартизованих змінних має вигляд ty=-0,70x1-1,02x2. Завдяки тому, що | ?1|<| ?2|, можна стверджувати що витрати, пов'язані з модернізацією встаткування й удосконаленням техніки та технології виробництва, найбільш сильно впливають на фондоємність. Коефіцієнт детермінації R2=0,30, тобто варіація результата на 30% пояснюється варіацією обраних факторів, на долю неврахованих факторів залишається 70%. Знайдемо часткові коефіцієнти еластичності за формулою Эх1=Ьі*(хі/у). Эх1= -0,70* 78/77,95 =-0,70 Эх2= -2,86*31,77/77,95=-1,17 Таким чином можна зробити висновок, що зі збільшенням середніх витрат виробництва, пов'язаних з усуненням всіх видів простою на 1% середнє значення фондоємності зменшиться на 0,70%, та зі збільшенням середньої величини витрат виробництва, пов'язаних з модернізацією встаткування й удосконаленням техніки й технології виробництва на 1% середнє значення фондоємності зменшиться на 1,17%. Оцінимо значимість рівняння регресії за допомогою F-критерію Фішера. Розраховане значення загального F-критерія Фішера F= 3,65 порівнюємо з критичним значенням, яке приведено в таблиці відсоткових значень F-розподілу. Визначимо табличні значення F-критерія Фішера з параметрами К1=m=2 та K2=n-m-1=17 при рівній значимості а=0,05; F(а=0,05)табл=3,59. Оскільки розрахунковий F-критерій Фішера перевищує табличне значення, то можна із упевненістю 95% стверджувати, що рівняння регресії значиме. Отримані результати можна сформулювати на основі застосування інструмента аналізу даних «Регрессия» Рис. 9 Результат використання інструменту Регрессия
|