Экономико-математическое моделирование : Экономико-математическое моделирование
Экономико-математическое моделирование
1. Графы Задание 1.1 1. Охарактеризовать граф. 2. Выписать матрицу смежности графа. 3. Вычислить степени вершин. Решение: Данный граф является неографом, так как его ребра не ориентированные и не имеют начало и конец. Ст. V1 =3 Ст. V2 =3 Ст. V3 =3 Ст. V4 =3 Ст. V5 =2 Ст. V6 =2 Матрица смежности графа |
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Х8 | | V1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | V2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | V3 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | V4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | | V5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | | V6 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | |
Задание 1.2 1. По матрице инцидентности нарисовать граф. 2. Охарактеризовать граф. 3. Назвать специальные вершины графа. 4. Вычислить полустепени вершин. 5. Выписать цикл, цепь, простой цикл, простую цепь. Решение: Данный граф называется орграфом, так как его ребра ориентированы и имеют начало и конец. V4 и V6 - висячие вершины; V5 - изолированная вершина. Полустепень захода: V2 = 1; V3 = 3; V4 = 1; V6 = 1. Полустепень исхода: V1 = 3; V2 = 1; V3 = 2. Цепь: Х1 Х2 Х6 Х3 Х5 Х6 Х3 Простая цепь: Х1 Х2 Х3 Х5 Х3 Цикл: ???? V3 V3 Простой цикл: ???? V3 V3 Задание 1.3 1. Нагрузить граф задания 1.1. согласно матрице длин дуг и нарисовать. 2. По алгоритму окрашивания найти кратчайший путь между вершинами V1 и V6. 3. Построить покрывающее дерево с корнем в вершине V1. |
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | | V1 | | 4 | 6 | 3 | | | | V2 | 4 | | 3 | 2 | | | | V3 | 6 | 3 | | | | 2 | | V4 | 3 | 2 | | | 3 | | | V5 | | | | 3 | | 2 | | V6 | | | 2 | | 0 | | | |
Решение: Окрасила вершину V1. d(V1) = 0, d(x) = для любого x V1 и x = V1. 1. d (V2) = 4 d (V3) = 6 d (V4) = 3 - наименьшее; закрашиваю вершину V4 и дугу (V1, V4) или (V4, V2) y = V4 2. d (V2) = 4 - наименьшее; закрашиваю вершину V2 и дугу (V1, V2) d (V3) = 6 d (V5) = min (6; 3+3) = 6 d (V6) = y = V2 3. d (V3) = 6 - наименьшее; закрашиваю вершину V3 и дугу (V2, V3) d (V5) = 6 d (V6) = y = V3 4. d (V5) = 6 - наименьшее; закрашиваю вершину V5 и дугу (V4, V5) d (V6) = min (8; 6+2) = 8 y = V5 5. d (V6) = 8 - закрашиваю вершину V6 и дугу (V5, V6) Кратчайший путь V1 V3 V6. Покрывающее дерево: 2. Сетевое планирование Задание 2.1 1. Для задачи планирования поставки товаров оптовым покупателям построить сетевой график, привязанный к оси времени, согласно структурно-временной таблицы. Задание конкретного варианта расположено в одной из пяти правых колонок таблицы. |
Содержание работ | Работа | Длитель-ность, ti | | | Коэффициент, сi | Обозначение, аi | Опорная, аj | | | отбор товара | 0,1 | a1 | - | 2 | | подготовка к отправке | 0,2 | a2 | a1 | 3 | | выписка накладных | 0,3 | a3 | a2 | 1 | | определение объема отгрузки | 0,4 | a4 | a3 | 1 | | проверка цен | 0,5 | a5 | a3 | 1 | | оформления счета | 0,6 | a6 | a5 | 1 | | заказ автомашин для перевозки товара | 0,7 | a7 | a4 а6 | 3 | | отправка счета покупателю | 0,8 | a8 | a4 а6 | 1 | | проверка товара по счету | 0,9 | a9 | a7 | 2 | | оплата счета | 1 | a10 | a8 | 12 | | погрузка товара и проверка кол-ва | 1,1 | a11 | a9 а10 | 2 | | перевозка товара | 1,2 | a12 | a11 | 4 | | выгрузка и сверка с документами | 1,3 | a13 | a12 | 4 | | |
2. Вычислить временные параметры сетевой модели. 3. Построить критический путь, вычислить критическое время, нанести критический путь на сетевой график. Решение: tij - время выполнения работ; Tp - ранний срок наступления события; K - номер вершины, при движении из которой было получено значение Tp; Tп - поздний срок наступления события; Rij - полный резерв времени; rij - свободный резерв времени. - критический путь. Резервы нашла по формуле: Rij = - Ti - tij rij = - - tij На критическом пути резервов времени нет. 3. Система массового обслуживания (СМО) Задание 3.1 Решить задачу для СМО с отказами: В вычислительный центр с m ЭВМ поступают заказы на вычислительные работы. Если работают все m ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет часов. Интенсивность потока заявок равна л (1/ч). Найти вероятность отказа Ротк и m3 - среднее число занятых ЭВМ. Решение: Интенсивность потока обслуживаний = = = 0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле р = ; р = = 0,75. Предельные вероятности состояний: р0 = (1 + р + + … + + … + )-1; р0 = (1 + 0,75 + 0,752/ 2! + 0,753 / 3!)-1 = 0,476 (нет ни одной заявки); рк = рк / k! * р0; р3 = (0,753 / 3!) * 0,476 = 0,033 (заняты три ЭВМ). Вероятность отказа (когда заняты три ЭВМ), таким образом, Ротк = р3 = 0,033. Относительная пропускная способность центра: Q = 1 - Ротк ; Q = 1 - 0,033 = 0,967, т. е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок. Абсолютная пропускная способность центра А = л Q; А = 0,25 * 0,967 = 0,242, т. е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки. Среднее число занятых ЭВМ: = А / ; = 0,242 / 0,033 = 0,725, т. е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5 / 3 = 24,2%. Задание 3.2 Решить задачу для СМО с ограниченной длиной очереди: На автозаправочной станции установлены m колонок для выдачи бензина. Около станции находится площадка на L машин для их ожидания в очереди. На станцию прибывает в среднем л машин в минуту. Среднее время заправки одной машины мин. Требуется определить вероятность отказа Ротк и среднюю длину очереди Мож. Решение: = 1 / = 1 мин. Нахожу: р = л / = 2 / 1 = 2, р / m = 2 / 3, тогда р0 = [ + * ]-1 = [1 + 2 + 22 / 2! + 23 / 3! + 24 / 3*3! * ]-1 0.122 Ротк = Pm+L = * p0 = (p/m)L * (pm/m!)*p0 = (2/3)3 * (23/3!) * 0.122 = 0.048; Мож = i = (0.122*23/3!) * [2/3 + 2(2/3)2 + 3*(2/3)3] = 0.35 Таким образом, Ротк = 0,048, Мож = 0,35 машины. 4. Игры Задание 4.1 1. Решить игру в чистых стратегиях. 2. Выписать седловые точки. 3. Вычислить цену игры. |
| В1 | В2 | В3 | В4 | | А1 | 1 | 4 | 1 | 2 | | А2 | 0 | 5 | 0 | 3 | | А3 | 1 | 3 | 1 | 3 | | |
Решение: Седловые точки: (А1,В1); (А3,В1); (А1,В3); (А3,В3). V (цена игры) = 1. Задание 4.2 1. Решить игру. Указание: использовать принцип доминирования. |
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | | А1 | -2 | 1 | 3 | 0 | 1 | | А2 | -3 | -4 | 2 | -1 | -4 | | А3 | 1 | -5 | 6 | 3 | -5 | | А4 | -2 | 1 | 3 | 0 | 1 | | |
Решение: Задание 4.3 1. Решить игру 2 х n графическим методом. Решение: B - верхняя цена игры А = (0,4;0,6) = 1. 5. Список литературы 1. Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. Исследование операций в экономике: Учебн. Пособие для вузов/ Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 2. Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001. 3. Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. пособие. - М.: Дело, 2001. - 464 с. 4. Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. - М.: Дело, 2000. - 440 с. 5. Шапкин А.С., Мазаев Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. - М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков и К", 2004.
|