Экономико-математическое моделирование : Экономико-математическое моделирование
Экономико-математическое моделирование
Задача 1 Производственной функции Y = 40 (KL)0,4, где К - затраты капитала, L - затраты труда, Y - объём выпуска продукции, Кmin = 10, Кmax = 27, Lmin = 13, Lmax = 32, Lбаз = 24, Yбаз = 439, рк = 14, рi = 11, С = 77. Решение 1. Графики 2. а) К = 0,5 (Кmin + Кmax) = 18,5 Y = 40 (18,5 L)0,4 |
L | 13 | 15 | 20 | 25 | 30 | 32 | | Y | 359 | 380 | 426 | 466 | 501 | 514 | | |
б) L = 0,5 (13 + 32) = 22,5 Y = 40 (22,5 К)0,4 |
K | 10 | 15 | 20 | 25 | 27 | | Y | 349 | 411 | 461 | 504 | 519 | | |
2. Функции среднего и предельного продукта а) функции среднего продукта Ак = При L = 22,5 получаем Ак = 139/К0,6 |
К | 10 | 15 | 20 | 25 | 27 | | Ак | 34,9 | 27,4 | 23 | 20,1 | 19,2 | | |
АL = 40 К0,4 / L0,6 При К = 18,5 получаем АL = 128,5 / L0,6 б) Функции предельного продукта Мк = При L = 22,5 получаем Мк = 55,6 / К0,6 МL = При К = 18,5 получаем МL = 5 / L0,6 Средняя производительность ресурса - это отношение значения объёма выпуска к объёму ресурса. Предельная производительность ресурса - это частная эластичность по этому ресурсу. При увеличении ресурса соответствующие величины убывают. В методических указаниях написано, что их графики - гиперболы. Скорее всего, они походят на гиперболы, поскольку в математике под гиперболой понимается график зависимости у = а / х, а не у = а / х. В нашей задаче гиперболами будут изокванты. 3. Изокванты Если у = const, то изоквантой называется линия 40 (КL)0,4 = у или просто KL = (у / 40)2,5 - гипербола. Нам нужно нарисовать их при у = 129,6; 399; 864. Через весь прямоугольник 10 ? К ? 27, 13 ? L ? 32 Проходит только центральная изокванта, а две другие задевают этот прямоугольник только в двух противоположных вершинах. 4. Предельные нормы замещения и эластичности. Эластичность производства RKL = MK / ML = L / K RKL (10; 13) = 1,3; RLK = 1 / RKL RLK (10; 13) = 0,91 RKL (27; 32) = 1,19; RLK (27; 32) = 0,84 Например, RKL (10; 13) = 1,3 означает, что на соответствующей изокванте при уменьшении затрат ресурса К на одну единицу затраты ресурса L должны увеличиться ? на 1,3 единиц. Эластичности Ек = Мк / Ак = 0,4; ЕL = МL / АL = 0,4. Эластичность производства Е = Ек + ЕL = 0,8 При малых изменениях ресурсов (по отдельности) увеличение объёма составит 0,4 увеличения ресурса. 5. Расчёт потребности в ресурсах убаз = 439 Lбаз = 24 А) Определить Кплан по двум условиям: ?Y / Yбаз * 100% = 10% ?L / Lбаз * 100% = 5% Решение. ?у = 0,1 убаз = 43,9 уплан = 482,9 KL = ?L ? 0,05 Lбаз = 24 * 0,05 = 1,2 К = 506,4 / L на изокванте Если L возрастает от 24 до 25,2, то К убывает от 21,1 до 20,1 В) Определить Кплан по двум условиям: ?у / убаз = 0,08 L = Lбаз Решение. ?у = 0,08 * 439 = 35,12 уплан = 474, 12 KL = 483,7 Кплан = 483,7 / 24 = 20,2. 6. Оптимизационная задача рк = 14, рi = 11, С = 77 Y (K,L) = 40 (KL)0,4 > max При условии 14 К + 11 L ? 77. Условный экстремум укажет функция Лагранжа. F = (К, L, ) = 40 (KL)0,4 - (14 К + 11 L - 77) Необходимые условия экстремума принимают вид откуда находим К* = 11 / 4 L* = 7 / 2 Ymax = 99 7. Геометрическая интерпретация KL = (у / 40)2,5 У = 99 L = 9,64 / К К* = 2,75 L* = 3,5 Задача 2 Понадобилась фиктивная работа R нулевой продолжительности Критические пути: 1) V, Q, B, R; 2) V, Q, H, D, R. Стоимость всего комплекса работ при нормальных условиях 1210,5 млн. р. Ткр = 64. Сократить срок работы можно на 4 дня за счёт работ критических путей. Найдём нормы ускорения. Если В и Н сократить на 4 дня каждую, то плана за ускорение 9,6 + 2,5 = 12,1 (млн. руб.) 12,1 * 4 = 48,4 (млн. руб.) Если сократить общую работу Q на 4 дня, то плана за ускорение 11,7 * 4 = 46,8 (млн. руб.) Это выгоднее! Итоговая стоимость всех работ 1210,5 + 46,8 = 1257, 3 (млн. руб.) Задача 3 Оптимизация заказа запасов и их хранения. а = 6900, в = 28 руб., с = 70 руб., d = 3, р% = 11%. Решение. Сh = р / 100 * в = 3,08 1. Оптимальный размер одного запаса Годовая стоимость запасов ТС (560) = с Общая стоимость годового заказа = ТС (560) + ав = 1724,9 + 6900*28 = 194924,9 Стоимость запасов составляет от общей стоимости годового заказа часть: Графики функций: подачи заказа, издержек хранения, общей годовой стоимости запасов изображаем на одном рисунке. 483000 / q - гипербола. 1,54q - прямая линия, ТС (q) = 483000 / q + 1,54q - сложный график |
q | 100 | 500 | 1000 | 2000 | 3000 | | C* | 4830 | 862.5 | 483 | 241.5 | 161 | | | 154 | | | | 4628 | | |
2. Повторение заказов Магазин работает 300 дней в году N = a/q = 6900/560 = 12,32 заказов Интервал повторного заказа t = a/q (лет) = q/a * 300 (дней) = 25 За время поставки реализовано единиц продукции: d*a/300 = 3*6900/300 = 69 Это и есть уровень запасов при повторном заказе 3. Экономия при заказах n = 390 - объём заказываемой партии товара ТС(390) = 483000/390 + 1,5*390 = 1823,46 Если заказы проводить по оптимальному плану q0 = 560, то величина экономии ? = ТС(390) - ТС(560) = 98,6 При этом 4. Скидки при заказах q ? Т = 400, но q ? 2Т = 800 предполагает скидку 2%, q ? 2Т - даёт скидку 3%. Общая годовая стоимость запасов b1 = 28; b2 = 27,44; b3 = 27,16. соответственно при 0 ? q < 400, 400 ? q < 800, 800 ? q < ?. q0 = q0(b) = q0 (b1) = 560 - уже известно q0 (b2) = 565.72 q0 (b3) = 568.63 Точка внутреннего локального минимума придётся на второй участок. Поэтому минимальное значение на первом участке принимается в точке q = 400, (400) = 195023,5. На втором участке минимальное значение принимается в точке 565,72. (565,72) = 191043,6. На третьем участке минимальное значение принимается в точке 800. (800) = 189202, 8. Для точек разрыва, например, (400+0) = 191147,2. Далее, (100) = 4830 + 154 + 193200 = 198184. Задача 4 Линейная корреляция 1. Поле рассеяния Гипотеза: 2. Линейная модель регрессии Вычисляем необходимые суммы: ?х = 29,25 ?у = 23,61 ?х2 = 61,6263 ?у2 = 39,5377 ?ух = 49,0489 n = 15 Решая систему, получаем: а = 0,2948; b = 0,656 = 0,295 + 0,656 х График этой прямой построен на фоне поля рассеяния. 3. Коэффициент парной корреляции Подставляя уже найденные значения для сумм, получаем Значение близко к единице, корреляционная зависимость сильная. Тем не менее проверим значимость этого коэффициента. Сначала вычисляем Согласно теории, дробь tr = ориентирована на рапределение Стьюдента, tr = 7,99. При уровне значимости = 0,05 табличное значение tтабл = 1,987. Так как tr > tтабл, коэффициент считается значимым. Есть ещё коэффициент детерминации Есть и совсем простая формула 4. Значимость уравнения регрессии в целом Рассчитаем значения = 0,295 + 0,656 х для всех 15 значений аргумента. |
1,21 | 1,15 | 1,44 | 1,38 | 1,55 | | 1,47 | 1,06 | 1,33 | 1,76 | 1,60 | | 1,80 | 1,90 | 1,61 | 2,60 | 1,74 | | |
После этого находим дисперсии Согласно теории математической статистики, дробь Ведёт себя как распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы m и n-m-1. У нас n = 15, m = 1. Расчётное значение Fрасч = 1,942*13/0,3920316 = 64,4 Табличное значение при уровне значимости = 0,05 равно Fтабл = 4,67 с большим запасом Fрасч > Fтабл. Значит, вся линейная модель значимая. 5. Точечный и интервальный прогноз По условию хn = 1,99*1,3 = 2,587 По уравнению регрессии находим уn = 1,99. Это точечный прогноз. Для интервального прогноза понадобится = 0,1736554 * 1,3831365 = 0,24. а) tтабл = 1,771 б) = 0,05 tтабл = 2,15 Сначала 0,425 и 1,565 < yn < 2,415 Затем 0,52 и 1,47 < yn < 2,51 При уменьшении уровня значимости рамки доверительного интервала расширились. Какого-то специального экономического смысла у параметров в этой задаче нет. Номинально х - размер ОФ предприятия, у - величина прибыли. В уравнении регрессии коэффициент "b" выступает как эластичность линейной зависимости. И всё. Гораздо более интересный экономический смысл во всех других задачах контрольной работы. Задача 5 Кредит при покупке товара D = 20000, j% = 22%, n = 4 месяца. 1. Структура кредита Ежемесячный платёж Y = Общие расходы S = nY = 4*5231,25 = 20925 Сумма выплаченных процентов J = S - D = 925 (денежных единиц) 2. План погашения кредита D0 = 20000 I1 = D0*j/12=366,67 D1 = D0 - R1, сначала ищем R1 = Y - I1 = 5231,25 - 366,67 = 4864,58 Затем D1 = 15135,42 Повторяем эти действия I2 = D1*j/12 = 277,48 R2 = Y - I2 = 4953,77 D2 = D1 - R2 = 10181,65 Ещё раз повторяем этот цикл I3 = D2 * j/12 = 186,66 R3 = Y - I3 = 5044,59 D3 = D2 - R3 = 5137,06 И последний раз I4 = D3*j/12=94,18 R4 = Y - I4 = 5137,07 - последняя выплата |
Месяц | Остаток долга на начало месяца | Ежемесячные расходы по займу | Проценты за месяц, ден. ед. | Погашение основного долга | | t | Dt-1 | Y | It | Rt | | 1 | 20000 | 5231,25 | 366,67 | 4864,58 | | 2 | 15135,42 | 5231,25 | 277,48 | 4953,77 | | 3 | 10181,65 | 5231,25 | 186,66 | 5044,59 | | 4 | 5137,06 | 5231,25 | 94,18 | 5137,07 | | |
3. Эффективная годовая ставка - это 24,36%. 4. Простая годовая ставка D = 20000, n = 4, j = 0,22 (простая) Задолженность D* Ежемесячные выплаты Yпотр = 5366,67 Сумма выплаченных процентов Iпотр = nYпотр - D = 1466,67 Какова доходность для магазина? Нужно найти ставку iм такую, чтобы 20000 = Это уравнение пятой степени для iм преобразуется к виду 3,7267 iм + Решить его можно без обращения к пакету EXCEL, используя метод итераций, iм = 0,029 (это 2,9%). Доходность составит Iэф (потр) = (1 + iм)12 - 1 = 0,409 В процентах получается 40,9%. 5. Сравнение результатов По первому виду кредита доходность составляет 24,36% - эффективная годовая ставка сложных процентов. По второму виду кредита аналогичная ставка j = 22% одна и та же. Потребительский кредит выгоден магазину. 6. Учёт темпа инфляции h (%) = 2% - ежемесячный темп инфляции, h = 0,02. При первом виде кредита iэф = 0,2436. Значит, (1 + 0,2436) = (1 + iреал)*(1,02)12 Получаем отрицательную доходность iреал = -1,9% При втором виде кредита iэф (потр) = 0,409 Уравнение (1 + 0,409) = (1 + iреал)*(1,02)12 даёт значение iреал (потр) = 1,1% (уже знак плюс) В нашей задаче первый вид кредита приводит, в случае инфляции, к убыткам, а доходность потребительского кредита с учётом инфляции положительна.
|