Экономико-математическое моделирование : Экономико-математические методы
Экономико-математические методы
3 Задача 1В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах. Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1. Таблица 1|
Номер автомобиля i | Цена (тыс.у.е.) yi | Возраст (лет) xi1 | Мощность двигателя (л.с.) xi2 | | 1 | 6,8 | 6,0 | 93 | | 2 | 7,2 | 4,0 | 67 | | 3 | 4,3 | 6,0 | 57 | | 4 | 10,0 | 4,0 | 106 | | 5 | 9,7 | 5,0 | 108 | | 6 | 12,4 | 4,0 | 136 | | 7 | 12,9 | 4,0 | 143 | | 8 | 6,6 | 7,0 | 127 | | 9 | 11,2 | 3,0 | 93 | | 10 | 11,2 | 4,0 | 111 | | 11 | 8,3 | 6,0 | 124 | | 12 | 5,6 | 6,0 | 81 | | 13 | 5,6 | 6,0 | 71 | | 14 | 6,4 | 6,0 | 88 | | 15 | 5,3 | 7,0 | 112 | | 16 | 4,0 | 7,0 | 88 | | |
2. Множественная зависимость С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9. Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели . Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95. 3. Экономическая интерпретация На основе полученных статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя. Расчетная таблица: |
№ | y | X1 | x2 | x12 | x22 | y*x1 | y*x2 | y2 | x1x2 | | 1 | 6,8 | 6 | 93 | 36 | 8649 | 40,8 | 632,4 | 46,2 | 558 | | 2 | 7,2 | 4 | 67 | 16 | 4489 | 28,8 | 482,4 | 51,8 | 268 | | 3 | 4,3 | 6 | 57 | 36 | 3249 | 25,8 | 245,1 | 18,5 | 342 | | 4 | 10,0 | 4 | 106 | 16 | 11236 | 40,0 | 1060,0 | 100,0 | 424 | | 5 | 9,7 | 5 | 108 | 25 | 11664 | 48,5 | 1047,6 | 94,1 | 540 | | 6 | 12,4 | 4 | 136 | 16 | 18496 | 49,6 | 1686,4 | 153,8 | 544 | | 7 | 12,9 | 4 | 143 | 16 | 20449 | 51,6 | 1844,7 | 166,4 | 572 | | 8 | 6,6 | 7 | 127 | 49 | 16129 | 46,2 | 838,2 | 43,6 | 889 | | 9 | 11,2 | 3 | 93 | 9 | 8649 | 33,6 | 1041,6 | 125,4 | 279 | | 10 | 11,2 | 4 | 111 | 16 | 12321 | 44,8 | 1243,2 | 125,4 | 444 | | 11 | 8,3 | 6 | 124 | 36 | 15376 | 49,8 | 1029,2 | 68,9 | 744 | | 12 | 5,6 | 6 | 81 | 36 | 6561 | 33,6 | 453,6 | 31,4 | 486 | | 13 | 5,6 | 6 | 71 | 36 | 5041 | 33,6 | 397,6 | 31,4 | 426 | | 14 | 6,4 | 6 | 88 | 36 | 7744 | 38,4 | 563,2 | 41,0 | 528 | | 15 | 5,3 | 7 | 112 | 49 | 12544 | 37,1 | 593,6 | 28,1 | 784 | | 16 | 4,0 | 7 | 88 | 49 | 7744 | 28,0 | 352,0 | 16,0 | 616 | | Сумма | 127,5 | 85 | 1605 | 477 | 170341 | 630,2 | 13510,8 | 1141,9 | 8444 | | |
Коэффициенты парной корреляции: = = -0,833 = = 0,665 Проверка значимости: (по таблице). = 5,63 > 1,761 = 3,33 > 1,761 Коэффициенты корреляции существенно отличаются от 0. Найдем матрицы: = = Найдем матрицу , обратную к матрице . Определитель |XTX| = 16 * 477 * 170341 + 85 * 8444 * 1605 + 1605 * 85 * 8444 - 1605 * 477 * 1605 - 85 * 85 * 170341 - 16 * 8444 * 8444 = 3692086 Алгебраические дополнения: D11 = (-1)1 + 1 = 477 * 170341 - 84442 = 9951521 и т.д. Матрица алгебраических дополнений = Присоединенная матрица (XTX)* = DT = = D (матрица D симметрична). (XTX)-1 = (XTX)* / |XTX| = = Вектор оценок коэффициентов модели: A = (XTX)-1 (XTY) = = Y = 10,455 - 1,650x1 + 0,063x2 Расчетная таблица: |
№ | y | x1 | x2 | | y - | (y - )2 | y - | (y - )2 | | 1 | 6,8 | 6,0 | 93,0 | 6,38 | 0,42 | 0,179 | -1,2 | 1,4 | | 2 | 7,2 | 4,0 | 67,0 | 8,05 | -0,85 | 0,721 | -0,8 | 0,6 | | 3 | 4,3 | 6,0 | 57,0 | 4,12 | 0,18 | 0,031 | -3,7 | 13,5 | | 4 | 10,0 | 4,0 | 106,0 | 10,49 | -0,49 | 0,241 | 2,0 | 4,1 | | 5 | 9,7 | 5,0 | 108,0 | 8,97 | 0,73 | 0,539 | 1,7 | 3,0 | | 6 | 12,4 | 4,0 | 136,0 | 12,37 | 0,03 | 0,001 | 4,4 | 19,6 | | 7 | 12,9 | 4,0 | 143,0 | 12,81 | 0,09 | 0,009 | 4,9 | 24,3 | | 8 | 6,6 | 7,0 | 127,0 | 6,86 | -0,26 | 0,065 | -1,4 | 1,9 | | 9 | 11,2 | 3,0 | 93,0 | 11,33 | -0,13 | 0,016 | 3,2 | 10,4 | | 10 | 11,2 | 4,0 | 111,0 | 10,80 | 0,40 | 0,157 | 3,2 | 10,4 | | 11 | 8,3 | 6,0 | 124,0 | 8,32 | -0,02 | 0,000 | 0,3 | 0,1 | | 12 | 5,6 | 6,0 | 81,0 | 5,63 | -0,03 | 0,001 | -2,4 | 5,6 | | 13 | 5,6 | 6,0 | 71,0 | 5,00 | 0,60 | 0,361 | -2,4 | 5,6 | | 14 | 6,4 | 6,0 | 88,0 | 6,06 | 0,34 | 0,113 | -1,6 | 2,5 | | 15 | 5,3 | 7,0 | 112,0 | 5,92 | -0,62 | 0,379 | -2,7 | 7,1 | | 16 | 4,0 | 7,0 | 88,0 | 4,41 | -0,41 | 0,171 | -4,0 | 15,8 | | Сумма | 127,5 | | | | | 2,985 | | 125,9 | | | Остаточная дисперсияS2 = ? (yi - i)2 / (n - m - 1) = 2,985 / (16 - 2 - 1) = 0,230Ковариационная матрица:S2 (XTX)-1 = 0,230 * = Стандартные ошибки коэффициентов равны квадратным корням из диагональных элементов ковариационной матрицы:S0 = = 0,787S1 = = 0,096S2 = = 0,005Проверим значимость параметров регрессии.Табличное значениеt1 - б/2, n - 3 = 1,77t0 = |a0| / S0 = 10,455 / 0,787 = 13,3 > 1,77t1 = |a1| / S1 = 1,650 / 0,096 = 17,1 > 1,77t2 = |a2| / S2 = 0,063 / 0,005 = 12,4 > 1,77Все параметры значимы.Коэффициент детерминации = 1 - 2,985 / 125,9 = 0,976Табличное значение критерия ФишераFт = 3,8Расчетное значениеFф = = = 267,7 > 3,8Уравнение значимо.Точечный прогноз:(xp) = 10,455 - 1,650 * 3 + 0,063 * 165 = 15,83 тыс. у.е.Интервальный прогнозКвантиль распределения Стьюдента (по таблице) = t0,975; 13 = 2,16где S = = = 0,479xp (XTX)-1(xp)T = = = 0,633 = 0,479 * = 0,381В,Н = 15,83 ± 2,16 * 0,381 = 15,83 ± 0,68Н = 15,15В = 16,513. Экономическая интерпретация. Между возрастом автомобиля и его ценой существует тесная отрицательная связь (коэффициент корреляции -0,833): при увеличении возраста на 1 год (при фиксированной мощности двигателя) цена падает в среднем на 1,650 тыс. усл. ед. Между мощностью двигателя и ценой автомобиля существует менее тесная положительная связь (коэффициент корреляции 0,665): при увеличении мощности на 1 л.с. (при фиксированном возрасте автомобиля) цена увеличивается в среднем на 0,063 тыс. усл. ед. С вероятностью 0,95 можно утверждать, что цена автомобиля при возрасте 3 года и мощности двигателя 165 л.с. будет находиться в пределах от 15,15 до 16,51 тыс. усл. ед. Задача 3 1. Для регрессионной модели и с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05. 2. Для регрессионной модели проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя: а) парный коэффициент корреляции; б) критерий «хи-квадрат» ч2 на уровне значимости 0,05. Расчетная таблица: |
№ | et | et-1 | et - et-1 | (et - et-1)2 | (et)2 | | 2 | -0,85 | 0,42 | -1,27 | 1,62 | 0,72 | | 3 | 0,18 | -0,85 | 1,03 | 1,05 | 0,03 | | 4 | -0,49 | 0,18 | -0,67 | 0,45 | 0,24 | | 5 | 0,73 | -0,49 | 1,22 | 1,50 | 0,54 | | 6 | 0,03 | 0,73 | -0,70 | 0,49 | 0,00 | | 7 | 0,09 | 0,03 | 0,06 | 0,00 | 0,01 | | 8 | -0,26 | 0,09 | -0,35 | 0,12 | 0,07 | | 9 | -0,13 | -0,26 | 0,13 | 0,02 | 0,02 | | 10 | 0,40 | -0,13 | 0,52 | 0,27 | 0,16 | | 11 | -0,02 | 0,40 | -0,41 | 0,17 | 0,00 | | 12 | -0,03 | -0,02 | -0,01 | 0,00 | 0,00 | | 13 | 0,60 | -0,03 | 0,63 | 0,39 | 0,36 | | 14 | 0,34 | 0,60 | -0,26 | 0,07 | 0,11 | | 15 | -0,62 | 0,34 | -0,95 | 0,91 | 0,38 | | 16 | -0,41 | -0,62 | 0,20 | 0,04 | 0,17 | | Сумма | | | | 7,11 | 2,81 | | |
Статистика Дарбина-Уотсона = 7,11 / 2,81 = 2,53 Табличные значения при n = 16, m = 2 dl = 0,98; du = 1,54 Так как 4 - du < d < 4 - dl, вопрос о наличии автокорреляции остается открытым (область неопределенности критерия). Найдем коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными. r12 = = -0,169 Проверим значимость коэффициента корреляции. = = 0,643 < 1,761 Коэффициент незначим, т.е. мультиколлинеарность не имеет места. Определитель матрицы коэффициентов парной корреляции: Det (r) = = 1 - 0,1692 = 0,971 Табличное значение статистики для df = 1 и б = 0,05 равно ч21;0,05 = 3,84. Фактическое значение статистики = - (16 - 1 - (2 * 2 + 5) / 6) ln 0,971 = 0,39 < 3,84 Мультиколлинеарность не имеет места, т.е. линейной зависимости между объясняющими переменными (возрастом автомобиля и мощностью двигателя) не существует. Это свидетельствует о надежности оценок параметров модели.
|