Экономико-математическое моделирование : Экономико-математические методы
Экономико-математические методы
7 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Контрольная работаПо «Экономико-математическим методам»Фисай А.А.студента2-го курсазаочной формы обученияМосква 2009гВариант 2.№1.Исследовать методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений, в случае совместности системы найти общее решение, некоторое частое небазисное решение, все базисные решения, указав при этом опорные решения:х1+х2-х3+2х4=2-х1+х2-3х3-х4=13х1-х2+5х3+4х4=3.Решение:|
х1 | х2 | х3 | х4 | вi | | 1 | 1 | -1 | 2 | 2 | | -1 | 1 | -3 | -1 | 1 | | | 3 | -1 | 5 | 4 | 3 | | | 1 | 1 | -1 | 2 | 2 | | 0 | 2 | -4 | 1 | 3 | | 0 | -4 | 8 | -2 | -3 | | | 1 | 0 | 1 | | | | | 0 | 1 | -2 | | | | | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | | | +II;• (-3)+III • 2+III; :2Получим эквивалентную систему уравненийПоследнее уравнение системы не имеет решений, исходная система несовместна, т.е. не имеет решений.№2Решить графическим методом следующие задачи линейного программирования: min f(x) = -6x1+9x2х1, х2 ?0.Решение. (*)х1, х2 ?0.Построим граничные прямые(1) х1 0 3 х2 3 2(2) х1 0 1 х2 5 7(3) х1 0 0 х2 0 2Выбираем нужные полуплоскости (смотри (*))Получим область решений Д.Построим =(-6;9); - линия уровня, . Параллельным переносом линии уровня определяем точки, в которых функция достигает минимума. Это все точки луча АВ прямой (3).Задача имеет бесконечное множество решений. При этом значение функции ограничено и для любого X* составляем величину, равную 0.Ответ: (3;2) + (6;4), ; min №3.Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования min f() = - 2x1 - 3x2Решение.f() = - 2x1 - 3x2 + 0х3 + 0х4 +0х5 minxj0, j = |
i | АБ | СБ | В | -2 | -3 | 0 | 0 | 0 | | | | | | | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | | | 12 3 | А3А4 А5 | 00 0 | 159 4 | 31 1 | 33 0 | 10 0 | 01 0 | 00 1 | 53min - | | | m+1 | | 0 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | | | | 12 3 | А3А2 А5 | 0-3 0 | 63 4 | 2? 1 | 01 0 | 10 0 | -1? 0 | 00 1 | 3min9 4 | | | m+1 | | -9 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | | | | 12 3 | А1А2 А5 | -2-3 0 | 32 1 | 10 0 | 0 | | - | 0 | | | m+1 | | -12 | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 | | | Все полученные оценки не положительны. План оптимален.X* = (х1 = 3; х2 = 2)f min = f (X*) = -2 • 3 - 3 • 2 = -12,f min = -12.Ответ: X* = (х1 = 3; х2 = 2);f min = f (X*) = -12.№4.Решить следующие транспортные задачи (здесь А - вектор мощностей поставщиков, В - вектор мощностей потребителей, С - матрица транспортных издержек на единицу груза):А = (300; 350; 160; 200), С = ;В = (400; 400; 200),Решениен1=0 н2=1 н3=-1|
вj aj | 400 | 400 | 200 | | 300 | 4 | 300 1 | 2 | | 350 | 50 3 | 100 4 | 200 2 | | 150 | 150 1 | 3 | 1 | | 200 | 200 1 | 4 | 3 | | | u1 = 0u2 = 3u3 = 1u4 = 1Опорное решение получили по правилу «минимальных издержек». Занятых клеток должно быть m + n - 1 = 4 + 3 - 1 = 6.Определим потенциалы:u1 + н2 = 1; u2 + н1 = 3; u2 + н2 = 4; u2 + н3 = 2; u3 + н1 = 1; u4 + н1 = 1.Пусть u1 = 0, тогда u2 = 3; u1 = 0; u3 = -1; u3 = 1; u4 = 1.Оценки свободных клеток Ѕ11=4-(0+0)>0; Ѕ13=2-(0-1)>0; Ѕ32=3-(1+1)>0;Ѕ33=1-(1-1)>0; Ѕ42=4-(1+1)>0; Ѕ43=3-(1-1)>0.План оптимален, т.к. все оценки положительны. Получим план перевозокX* = ; минимальная стоимость Z min = Z (X*) = 300•1 + 50•3 + 100•4 + •200•2 + + 150•1 + 200•1 =•1600.№5.Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице:|
Тип ресурса | Нормы затрат ресурсов на единицу продукции | Наличие ресурсов | | | 1 | 2 | 3 | 4 | | | СырьеРабочее времяОборудование Прибыль на единицу продукции | 32210 30 | 51414 25 | 2188 8 | 43016 16 | 60400 128 | | | Сформулировать экономико-математическую модель задачи на максимум прибыли и найти оптимальный план выпуска продукции.Решение.Обозначим через х1, х2, х3, х4 объем выпуска каждого из четырех видов продукции. Модель задачи примет вид: max Z = 30х1 + 25х2 + 8х3 + 16х4хj0 (j = ).Перейдем к задаче в каноническом виде:хj0 (j = ).|
i | АБ | СБ | В | 30 | 25 | 8 | 16 | 0 | 0 | 0 | | | | | | | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | А7 | | | 12 3 | А5А6 А7 | 00 0 | 60400 128 | 32210 | 514 14 | 218 8 | 430 16 | 10 0 | 01 0 | 00 1 | 20 12,8 | | | m+1 | | 0 | -30 | -25 | -8 | -16 | 0 | 0 | 0 | | | | min Z (X) = 30х1 + 25х2 + 8х3 + 16х4 + 0х5 +0х6 +0х7 max|
i | АБ | СБ | В | 30 | 25 | 8 | 16 | 0 | 0 | 0 | | | | | | | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | А7 | | | 12 3 | А5А6 А7 | 00 30 | 21,6118,4 12,8 | 00 1 | 0,8-16,8 1,4 | -0,40,4 0,8 | -0,8-5,2 1,6 | 10 0 | 01 0 | -0,3-2,2 0,1 | | | | m+1 | | 384 | 0 | 17 | 16 | 32 | 0 | 0 | 3 | | | | | Теперь все оценки не отрицательны. План оптимален.Получили оптимальный план выпуска продукции X* = (12,8; 0; 0; 0). При этом максимальная прибыль составитmax Z = Z(X*) = 30•12,8 + 25•0 + 8•0 + 16•0 = 384.Ответ: Следует выпускать только продукцию первого вида в количестве 12,8 ед. Максимальная прибыль составит 384 ден. ед.
|