Экономико-математическое моделирование : Экономика предприятия
Экономика предприятия
СОДЕРЖАНИЕ 1. Задача №1 «Планирование производства» 2. Задача №3 «Транспортная задача»3. Задача №4 «Назначение на работы»4. Задача №2 «Планирование портфеля заказов»Задача №1 «Планирование производства» Небольшая фабрика выпускает два типа красок: для внутренних (I) и наружных (Е) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 10 и 16 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в табл. 2.1. Таблица 2.1 Исходные данные задачи о планировании производства красок |
Исходный продукт | Расход исходных продуктов на 1 т краски, т | Максимально возможный запас, т | | | краска Е | краска І | | | А В | 1 2 | 2 4 | 10 16 | | |
Минимальный суточный спрос на краску для внутренних работ составляет 1 т, а для внешних работ 2 т. Суточный спрос на краску i никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски Е и 2000 руб. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным? В нашем случае фабрике необходимо спланировать объем производства красок так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются: Хi -- суточный объем производства краски I и Хе -- суточный объем производства краски Е. Суммарная суточная прибыль от производства Xi краски I и Xe краски Е равна Z = 3000*Хe+ 2000*Xi (2.1) Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений Xi и Xe таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т. е, целевую функцию Z. Перейдем к ограничениям, которые налагаются на Xe и Xi. Объем производства красок не может быть отрицательным, следовательно: Хt, Хi > 0 (2.2) Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно: Хe + 2Xi <= 10 (2.3) 2Xe + Xi <= 16 (2.4) Кроме того, ограничения на величину спроса на краски таковы: Xi-Xe <= 1 (2.5) Xi < 2 (2.6) Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид: максимизировать Z= 300Хe + 2000Xi при следующих ограничениях: Xe+2Xi<= 10 2Xe+Xi<= 16 Xi-Xe<=1 Xi<=2 Xi, Xe>=0 Заметим, что данная модель является линейной, т. к. целевая функция 1-ограничения линейно зависят от переменных. Вводим данные в таблицу Excel. Покажем формулы Решим данную задачу с помощью команды Сервис - Поиск решения Excel. Средство поиска решений является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис, Надстройки, Поиск решения. Для того чтобы получить максимальный доход надо произвести краски І 1 т., а краски Е 6 т. Задача №3 «Транспортная задача» Предположим, что фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы располагаются в А, Б, В, Г с производственными возможностями 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно, соответственно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в 1, 2, 3, 4, 5 с потребностями в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц продукции ежедневно, соответственно. Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, обходится в $0,75 в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день. Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в табл. 2.6. Таблица 2.6 - Транспортные расходы |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | А | 1 | 2 | 7 | 12 | 1 | | Б | 2 | 7 | 9 | 12 | 2 | | В | 3 | 4 | 6 | 4 | 3 | | Г | 7 | 3 | 11 | 3 | 5 | | |
Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы. Поскольку данная модель сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), то в этой модели не надо учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель нужно было бы ввести: В случае перепроизводства -- фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок -- объемам складирования излишков продукции на фабриках В случае дефицита -- фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок -- объемам недопоставок продукции в пункты распределения. Для решения данной задачи построим ее математическую модель. Неизвестными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть Хij -- объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения. Функция цели -- это суммарные транспортные расходы, т. е. Z=cij*xij (2.22) Сij-- стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики j-й центр распределения. Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограничениям: объемы перевозок не могут быть отрицательными; так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, а потребности всех центров распределения должны быть полностью удовлетворены. В результате имеем следующую модель: минимизировать: Z=cij*xij (2.23) при ограничениях: xij= вj, ,j=[1, 5] (2.24) xij=ai, i=[1,4], (2.25) xij>=0, i=[1,4], j= [1,5]. (2.26) где аi -- объем производства на i-й фабрике, вi -- спрос вj-м центре распределения. Ввод данных Формулы Поиск решения
Минимальная сумма за перевозки груза составляет 2125 грн. Задача №4 «Назначение на работы» Четверо рабочих выполнять четыре вида работ. Стоимости выполнения i-м рабочим j-работы приведены в табл. 2.8 Таблица 2.8 - Стоимость выполнения работ |
| Работа 1 | Работа 2 | Работа 3 | Работа 4 | | Рабочий 1 | 1 | 2 | 7 | 12 | | Рабочий 2 | 2 | 7 | 9 | 12 | | Рабочий 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | | Рабочий 4 | 7 | 3 | 11 | 3 | | |
В этой таблице строки соответствуют рабочим, а столбцы -- работам. Необходимо составить план выполнения работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был загружен только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была минимальной. Отметим, что данная задача является сбалансированной, т. е. число работ совпадает с числом рабочих. Если задача не сбалансирована, то перед началом решения ее необходимо сбалансировать, введя недостающее число фиктивных строчек или столбцов с достаточно большими штрафными стоимостями работ. Пусть переменная xij= 1, если i-м рабочим выполняется j-я работа, и хij= 0, если i-м рабочим не выполняется j-я работа. Тогда модель имеет следующий вид: минимизировать: Z=cij*xij (2.27) при ограничениях: xij=1, j=[1,4] (2.28) xij=1, I=[1,4] (2.29) xij=[0,1], I=[1,4], j=[1,4]. (2.30) Ввод данных Формулы Поиск решения Минимальная сумма за работы составляет 13 грн. Задача №2 «Планирование портфеля заказов» Для получения сплавов А и В используются четыре металла I, II, III и IV, требования к содержанию которых в сплавах А и В приведены в табл. 2.3. Таблица 2.3 - Требования к содержанию металлов в состава сплавов |
Сплав | Требования к содержанию металла | | А | Не более 80% металла I | | | Не более 30% металла II | | В | От 40 до 60% металла II | | | Не менее 30% металла III | | | Не более 70% металла IV | | | Характеристики и запасы руд, используемых для производства металлов I, II, III и IV, указаны в табл. 2.4.Таб. 2.4 Характеристики и запасы руд в задаче об определении состава сплавов|
Руда | Максимальный запас, т | Состав, % | Цена, S/т | | | | 1 | 11 | III | IV | Другие компоненты | | | 1 | 1000 | 1 | 3 | 6 | 6 | 10 | 30 | | 2 | 2000 | 2 | 4 | 6 | 3 | 10 | 40 | | 3 | 3000 | 3 | 4 | 3 | 9 | 0 | 50 | | | Цена 1 т. сплава А равна 200 долларов, а 1 т. сплава В -- 210 долларов. Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.Обозначим через х1а, х2а, х3а, х4а и х1в, х2в, х3в, х4в количество I, II, III и IV металлов, используемых для получения сплавов А и В, соответственно. Количество использованной i-я руды обозначим уi I=[1, З].Тогда математическая модель данной задачи имеет вид:максимизировать:Z = 200(х1а+х2а+х3а+х4а) + 210(х1в+х2в+х3в+х4в) -30у1 - 40у2 - - 50у3 (2.7) при ограничениях на состав сплавов (на основании данных из табл.): х1а <=0,8(х1а+х2а+х3а+х4а) (2.8) х2а <= 0,3 (х1а+х2а+х3а+х4а) (2.9) х2в <= 0,6(х1в+х2в+х3в+х4в) (2.10) х2в>=0,4(х1в+х2в+х3в+х4в) (2.11) х3в>=0,3(х1в+х2в+х3в+х4в) (2.12) x4 в <=0,7(х1в+х2в+х3в+х4в) (2.13) на характеристики и состав руды (на основании данных из табл. 1.4): x1a+x1 в <=0,01y1+0,02y2+0,03y3 (2.14) x2a+x2 в <=0,03y1+0,04y2+0,04y3 (2.15) x3a+x3 в <=0,06y1+0,06y2+0,03y3 (2.16) x4a+x4 в <=0,06y1+0,03y2+0,09y3 (2.17) а также на диапазоны использования переменных: xia>=0, xiв >=0, I=[1,4] (2.18) 0<=y1<=1000 (2.19) 0<=y2<=2000 (2.20) 0<=y3<=3000 (2.21) Ввод данных Формулы Поиск решения Сплавы А и В не выгодно производить так, как получаются убытки.ЛИТЕРАТУРА 1. И.Я. Лукасевич, Анализ финансовых операций, Москва: Юнити, 1998. - 400 с. 2. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: Финансы: Издат. об-ние "ЮНИТИ", 1999. 527 с. 3. Джеффри Х.Мур, Лари Р. Уэдерфорд Экономическое моделирование в Microsoft Еxcel, 6-е изд.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 1024 с. 4. И.И. Бажин Информационные системы менеджмента. - М.: ГУ-ВШЭ, 2000. -688с.
|