Экономико-математическое моделирование : Экономическая интерпретация коэффициента регрессии
Экономическая интерпретация коэффициента регрессии
Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово-экономический институт КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по Эконометрике вариант № 6 К.ф. - м.н., доцент кафедры: Василенко В.В. Студент: Чмиль А.А., ФиК, 3 Курс Краснодар, 2009 По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.). |
Xi | Yi | | 33 | 43 | | 17 | 27 | | 23 | 32 | | 17 | 29 | | 36 | 45 | | 25 | 35 | | 39 | 47 | | 20 | 32 | | 13 | 22 | | 12 | 24 | | |
Исходные данные.Табл.1 |
n | Xi | Yi | Yi*Xi | Xi2 | Yi2 | Y(xi) | Yi - Y(xi) | (Yi - Y(xi))2 | A | | 1 | 33 | 43 | 1419 | 1089 | 1849 | 42,23428 | 0,765721183 | 0,5863289 | 1,78% | | 2 | 17 | 27 | 459 | 289 | 729 | 27,69234 | -0,692335546 | 0,4793285 | 2,56% | | 3 | 23 | 32 | 736 | 529 | 1024 | 33,14556 | -1,145564273 | 1,3123175 | 3,58% | | 4 | 17 | 29 | 493 | 289 | 841 | 27,69234 | 1,307664454 | 1,7099863 | 4,51% | | 5 | 36 | 45 | 1620 | 1296 | 2025 | 44,96089 | 0,03910682 | 0,0015293 | 0,09% | | 6 | 25 | 35 | 875 | 625 | 1225 | 34,96331 | 0,036692818 | 0,0013464 | 0,10% | | 7 | 39 | 47 | 1833 | 1521 | 2209 | 47,68751 | -0,687507544 | 0,4726666 | 1,46% | | 8 | 20 | 32 | 640 | 400 | 1024 | 30,41895 | 1,581050091 | 2,4997194 | 4,94% | | 9 | 13 | 22 | 286 | 169 | 484 | 24,05685 | -2,056849728 | 4,2306308 | 9,35% | | 10 | 12 | 24 | 288 | 144 | 576 | 23,14798 | 0,852021726 | 0,725941 | 3,55% | | сумма | 235 | 336 | 8649 | 6351 | 11986 | 336 | 0,00 | 12,019795 | 31,93% | | средняя | 23,5 | 33,6 | 864,9 | 635,1 | 1198,6 | 33,6 | 0,00 | 1,2019795 | 3,19% | | д | 9,102198 | 8,345058 | - | - | - | - | - | - | - | | д2 | 82,85 | 69,64 | - | - | - | - | - | - | - | | |
Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейной регрессии. Табл.2 Задание 1 Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии. После проведенных расчетов линейная модель имеет вид: Y = 12,24152 + 0,908871x , коэффициент регрессии составил 0,908871. Экономический смысл параметра регрессии заключается в следующем: с увеличением капиталовложений на 1 единицу выпуск продукции увеличивается на 0,908871 единиц. Задание 2 Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков. Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная сумма квадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила: Dост = ((Y- Yср.)2 - (Y(xi) - Yср.)2)/ (n - 2) = 1,502474351. График остатков. Рис.1 Задание 3 Проверить выполнение предпосылок МНК. Остатки гомоскедастичны, автокорреляция отсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическое ожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены. Корреляция остатков и переменной Х. Рис 2. Задание 4 Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t - критерия Стьюдента (б = 0,05). Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии: mb = (Dост. / ?(x - xср.) 2 ) Ѕ = 0,042585061 Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии: tb = b / mb = 21,3424949 При б = 0,05 и числе степеней свободы (n - 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическое значение t - критерия больше табличного, то гипотезу о несущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал для коэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Для коэффициента регрессии b границы составят: 0,908871 - 2,3060*0,042585061 ? b ? 0,908871+2,3060*0,042585061 0,81067 ? b ? 1,0070722 Далее определим стандартную ошибку параметра a: ma = (Dост.*( ?x2 / (n*?(x - xср.)2 ))1/2 = 1,073194241 ta = a / ma = 11,4066218 Мы видим, что фактическое значение параметра а больше, чем табличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра а можно отклонить. Доверительный интервал составит: a ± t* ma. Границы параметра составят: 12,24152 ± 2,3060*1,073194241 9,766735 ? a ? 14,716305 Проверим значимость линейного коэффициента корреляции на основе ошибки коэффициента корреляции: mr = ((1 - r2) / (n - 2))1/2 = 0,046448763 Фактическое значение t - критерия Стьюдента определяется: tr = (r / (1 - r2)) * (n - 2)1/2 = 21,3424949 Значение tr фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости б = 0,05 и степени свободы (n - 2), коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной. Задание 5 Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f - критерия Фишера (б = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. R2 = Rxy2 = 0,98274 - детерминация. F = (R2/(1 - R2))*((n - m - 1)/m) = 455,5020887 Fтабл. 5,32 < Fкр. 455,5020887- это говорит о том, что уравнение регрессии статистически значимо. Средняя ошибка аппроксимации А = 3,19%. Это говорит о том, что качество уравнения регрессии хорошее. Расчетные значения отклоняются от фактических на 3,19%. Задание 6 Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от максимального значения. Если прогнозируемое значение Хр = 0,8Хmax = 0,8*39 = 31,2 млн.руб., тогда прогнозное значение объема капиталовложений составит: Yр = 12,24152 + 0,908871*31,2 = 40,598295 млн.руб. Ошибка прогноза составит: myр = Dост.*(1+(1/n)+((xk - xср)2 / ?(x - xср)2 )1/2 = 1,502474351*(1+(1/10)+ ((31,2 - 23,5)2 / 828,50))1/2 = 1,6262596 млн.руб. Предельная ошибка прогноза, которая в 90% случаев не будет превышена, составит: Дyp = tтабл * myр = 2,3060 * 1,6262596 = 3,7501546 Доверительный интервал прогноза: гур = Yр ± Дyp гурmin = 40,598295 - 3,7501546 = 36,848141 млн.руб. гурmax = 40,598295 + 3,7501546 = 44,348449 млн.руб. Среднее значение показателя составит: Yp = (36,848141 + 44,348449) / 2 = 40,598295 млн.руб. Задание 7 Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза График фактических и прогнозируемых параметров. Рис.3 Задание 8 Составить уравнения нелинейной регрессии: · Гиперболической · Степенной · Показательной Построить графики построенных уравнений регрессии. Y(x) = 54,1842 + (-415,755) * 1/x - гиперболическое уравнение регрессии. Y(x) = 4,746556 * X0,625215 - степенное уравнение регрессии. Y(x) = 17,38287 * 1,027093X показательное уравнение регрессии. Графики моделей представлены ниже на рисунках 4,5 и 6. Рис.4 Рис.5 Рис.6 Задание 9 Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициент эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы. Коэффициенты (индексы) детерминации: R2гип = Rxy = 0,869064776 R2степ = Rxy = 0,978207122 R2показ = Rxy = 0,959136358 Коэффициенты эластичности: Эгип = -b / (a * x + b) = 0,484804473 Эстеп = b = 0,625215 Эпоказ = x * lnb = 0,628221 Средние относительные ошибки аппроксимации: А = 1/n * ? |y - yxi| * 100% Агип = 7,26% Астеп = 3,40% Апоказ = 3,82% Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна в экономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибки аппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Это говорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, она предлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений). Список использованной литературы 1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курашева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192.: ил. 2. Эконометрика. Учебник для вузов.; Под ред. чл. - кор. РАН И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344.
|