Экономико-математическое моделирование : Эконометрика
Эконометрика
3 Институт экономики и предпринимательства(ИНЭП)Контрольная работа по дисциплине«Эконометрика»Вариант 1Выполнил: студент группы № Проверил: преподаватель ИНЭП,кандидат технических наукЮ.М. Давыдов г. Лосино-Петровский2008-2009 уч. год1. Цель работыЦель контрольной работы - демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике - как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших квадратов (МНК).2.1 Контрольная задача № 12.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%). Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:Таблица 1|
xi | 32 | 30 | 36 | 40 | 41 | 47 | 56 | 54 | 60 | 55 | 61 | 67 | 69 | 76 | | yi | 20 | 24 | 28 | 30 | 31 | 33 | 34 | 37 | 38 | 40 | 41 | 43 | 45 | 48 | | |
2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР): Y^ = X* A^ (1), где А^ - вектор-столбец параметров регрессии; xi1 - предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1; ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14 (2). Исходные данные представляют в виде матриц. ( 1 32 ) (20 ) ( 1 30) (24 ) ( 1 36) (28 ) ( 1 40 ) (30 ) (1 41 ) (31 ) ( 1 47 ) (33) X = (1 56) Y = (34 ) (1 54) (37 ) (1 60 ) (38 ) (1 55 ) (40 ) ( 1 61 ) (41 ) ( 1 67 ) (43) (1 69 ) (45 ) ( 1 76 ) (48 ) Значение параметров А^ = (а0, а1) T и 2 - нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов. Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х Т. Получим XT* X * A^ = X T * Y , откуда A^ = (XT * X ) -1 *( XT * Y) (3), где (XT * X ) -1 - обратная матрица. 2.1.2. Решение. а) Найдем транспонированную матрицу ХТ : ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) XT = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 ) в) Находим произведение матриц XT *X : ( 14 724 ) XT * X = ( 724 40134) г) Находим произведение матриц XT * Y: ( 492 ) XT * Y = ( 26907 ) д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) -1 : ( 1,064562 -0,0192 ) ( XT * X) -1 = (-0,0192 0,000371) е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) -1 на произведение матриц (XT *Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1)T : ( 7,0361 ) A^ = ( XT * X) -1 * (XT * Y) = ( 0,543501). Уравнение парной регрессии имеет следующий вид: уi^ = 7,0361 + 0,543501* xi1 (4). уi^ (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646. 2.1.3 Оценка качества найденных параметров Для оценки качества параметров A применим коэффициент детерминации R2 . Величина R2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные. Q = ?(yi - y?)2 (5) - общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; QR = ?(y^i - y?)2 (6) - сумма квадратов, обусловленная регрессией; Qе = ?(yi - y^i)2 (7) - остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = QR + Qе (8). Q = 847,714; QR = 795,453; Qе = 52,261. Q = QR + Qе = 795,453 + 52,261 = 847,714. R2 = QR / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383. R2 = 1 - Qe / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383. В нашем примере коэффициент детерминации R2, очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4). 2.2 Контрольная задача № 2 2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы: Х1 - количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га); Х2 - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) . Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах: Таблица 2 |
I (номер района) | yi | хi 1 | хi 2 | | 1 | 9,7 | 0,32 | 0,14 | | 2 | 8,4 | 0,59 | 0,66 | | 3 | 9,3 | 0,3 | 0,31 | | 4 | 9,6 | 0,43 | 0,59 | | 5 | 9,6 | 0,39 | 0,16 | | |
2.2.2. Матричная форма записи ЛММР: Y^ = X* A^ (1), где А^ - вектор-столбец параметров регрессии ; хi 1 , хi 2 - предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2; Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5 (2). Исходные данные представляют в виде матриц. ( 1 0,32 0,14 ) (9,7) ( 1 0,59 0,66 ) ( 8,4 X = ( 1 0,3 0,31 ) Y = (9,3 ) ( 1 0,43 0,59 ) (9,6) (1 0,39 0,16 ) (9,6) Значение параметров А^ = (а0, а1, а 2 ) T и 2 - нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов. Для нахождения параметров A^ применим формулу (3) задачи № 1 A^ = (XT * X ) -1 * XT * (3), где (XT * X ) -1 - обратная матрица. 2.2.3. Решение. а) Найдем транспонированную матрицу ХТ : ( 1 1 1 1 1 ) XT = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 ) ( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13 ). в) Находим произведение матриц XT *X : ( 5 2,11 2,05 ) XT * X = ( 2,11 0,932 0,94 ) ( 2,05 0,94 1,101). г) Находим произведение матриц XT * Y: ( 46,6 ) XT * Y = ( 19,456 ) ( 18,731 ). д) Вычисляем обратную матрицу ( XT * X) -1 : ( 5,482 - 15,244 2,808 ) ( XT * X) -1 = ( -15,244 50,118 -14,805 ) ( 2,808 -14,805 7 ,977 ). е) Умножаем обратную матрицу ( XT * X) -1 на произведение матриц XT * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a 0 , a 1, a 2)T : ( 11, 556 ) A^ = (XT * X) -1 * (XT * Y) = ( -5, 08 ) ( 0, 0219 ) Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид: yi^ = 11,456 - 5,08 * xi1 - 0,0219 * xi2 (4) . 2.2.4. Оценка качества найденных параметров Для оценки качества найденных параметров а^0 , a^1 .a^2 необходимо найти оценку дисперсии по формуле 1 ^2 = ------------ (Y - X * A^)T * (Y - X * A^), k - n - 1 после чего можно найти среднеквадратические ошибки SL по формуле SL = ^vhii , где hii элементы главной диагонали матрицы (XT * X) -1 . А. Произведение матриц X * A^: ( 9,833 ) ( 8,472 ) Y^ =X * A^ = ( 9,536 ) ( 9,283 ) (9,476 ). Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) : ( -0,132 ) ( - 0,072 ) ( Y - X * A^ ) =(-0,036 ) ( 0,116 ) ( 0,0835 ). В. ( Y - X * A^ )T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 ) Г. Произведение ( Y - X * A^ )T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 . С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2 1 1 ^2 = ------------ (Y - X * A^)T *(Y - X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223. k - n - 1 2 ^ = 0,0223 = 0,1493 . Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны: S 0 = 0,0223 * 5,482 = 0,3496 ; S 1 = 0,0223 * 50,118 = 1,057 ; S 2 = 0,0223 * 7,977 = 0,4217 . Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных. 3. Контрольная задача № 3 Оценки параметров трендовой модели. 3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно произвести анализ основной тенденции развития товарооборота. Таблица 3 |
Год | Объем розничного товарооборота, млрд. руб. | Темп роста по годам, % | Абсолютный прирост по годам, млрд. руб. | | 1 | 2 | 3 | 4 | | 1 | 18,4 | - | - | | 2 | 18,9 | 103,5 | 0,5 | | 3 | 19,8 | 105,3 | 0,9 | | 4 | 20,3 | 102,6 | 0,5 | | 5 | 21,1 | 104,4 | 0,8 | | В среднем | 19,7 | 103,9 | 0,67 | | |
3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а0, а1, а2, а3 , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а2 и а3 . Матрица Х размерами 5?4 и вектор-столбец Y размерами 5?1, будут иметь следующий вид: ( 1 1 1 1 ) (1,84E+10 ) ( 1 2 4 8 ) ( 1,89E+10 ) X = ( 1 3 9 27) Y = ( 1, 98E+10) ( 1 4 16 64) (2, 03E+10) ( 1 5 25 125) ( 2,11E+10 ) Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров A и соответственно аппроксимируемые значения Y^: (а0 ) ( 1,79E+10 ) (1, 838E+10 ) (а1 ) ( 3,976E+08 ) ( 1,899E+10 ) A = (а2 ) = ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 ) (а3 ) (- 8,333E+06) ( 2, 039E+10) ( 2, 108E+10). Отрицательное значение параметра а3 = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы. 3.3. Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R2 . Значение коэффициента детерминации R2 = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели yt (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t2 - 0,008333*t3 .
|