Экономико-математическое моделирование : Эконометрические расчеты

Эконометрические расчеты

17

Задание:

Рассчитайте параметры уравнений регрессий и . Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.

Решение

Составим таблицу расчетов для линейной регрессии y = a + bx + е (таблица построена в MS Exсel).

Таблица 1.

Отсюда получаем коэффициенты a и b:

То есть, уравнение линейной регрессии в нашем случае имеет вид:

y = 14,85 + 0,3295•x.

Рассчитаем коэффициент корреляции:

rxy = b•уx / уy = 0,329 • 4,399/3,943 = 0,368

Малое значение коэффициента корреляции означает, что связь между признаком y и фактором x плохая.

Вычислим значение F-критерия Фишера:

и сравним его с табличным при б=0,05, н1 = 1, н2 = 10: Fтабл = 2,228

Поскольку Fтабл > F, то гипотеза H0 о статистической незначимости параметра b принимается.

Средняя ошибка аппроксимации

также выходит за допустимые пределы 8 - 10%, что опять говорит о низкой надежности модели.

Попробуем для сравнения модель y = a + b•vx + е. Для нее таблица параметров имеет вид:

Таблица 2 (начало)

Таблица 2 (окончание)

Здесь мы вводим переменную u = vx и получаем линейную модель относительно x и u:

u = a + b•u + е.

Найдем коэффициенты a и b:

,

Рассчитаем коэффициент корреляции:

ruy = b • уu /уy = 3, 203 • 0,437/ 3,943 = 0,355104

Мы получили значение коэффициента корреляции еще хуже, чем в предыдущем случае.

Проверим значение F-критерия Фишера:

И снова расчетное значение еще хуже.

Средняя о

шибка аппроксимации также оказалась хуже, чем в линейной модели:

Линейная модель оказалась надежнее (хотя тоже неудовлетворительная) и поэтому последующие расчеты мы будем делать для нее.

Рассмотрим гипотезу H0 о статистической незначимости основных параметров модели: H0: {a = b = rxy = 0} и найдем для нее табличное значение распределения Стьюдента:

tтабл (б =0,05, н = 10) = 2,228.

Определим ошибки ma, mb и mr:

Оценим значимость параметров:

ta = a/ma = 7,139/6,27 = 2,368 > tтабл,

tb = b/mb = 3, 202/0,2637 = 1,25 < tтабл

tr = r/mr = 0,368/0,294 = 1,25 < tтабл

Таким образом, параметры модели незначимо отличаются от нуля, и, следовательно, модель нельзя использовать для прогноза.

Чтобы окончательно убедиться в этом, попробуем оценить доверительный интервал прогноза при отклонении хпрог от среднего значения на 5% для доверительной вероятности 0,01. Для

yprog = a + b•xprog = 22,94,my = 4, 193.

При б = 0,01 и n = 10

tтабл = 3,169,tтабл • my =13,29.

Следовательно, доверительным интервалом будет

(22,94 - 13,29, 22,94 +13,29) или 9,656 < yprog < 36,231.

Таким образом, сделанный прогноз абсолютно ненадежен и совершенно неточен.

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение. Линейное уравнение множественной регрессии ищем в виде

y = a + b1•x1 + b2•x2 + е.

Результаты расчетов приведены в табл.3, построенной с помощью MS Exсel.

Таблица 3

Коэффициенты rxx, ryx1 и ryx2 были найдены по формулам:

Через них были найдены коэффициенты нормированного уравнения

y0 = в1•x01 + в2•x02 + е:

 ryx1 - ryx2 • rxx 0,53 - 0,71•0.89

в1 = ---------- = ---------- = - 0,479 ,

1 - r2xx 1 - 0,892

ryx2 - ryx1 • rxx 0,71 - 0,53•0.89

в2 = ---------- = ---------- = 1,136 ,

1 - r2xx 1 - 0,892

а через них - коэффициенты исходного:

b1 = в1 • уy / уx1 = - 0,479 • 1,507 / 29,919 = - 0,024,

b2 = в2 • уy / уx2 = 1,136 • 1,507 / 11,315 = 0,151,

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Решение

В первую очередь определим коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка. Предварительные расчеты производились в MS Excel, результаты приведены в Табл.4. Важнейшие параметры выделены желтым фоном. Здесь авткорреляция порядка один обозначена как корреляция между рядами yt, yt-1, а корреляция порядка 2 - между рядами yt, yt-2.

Таблица 4

Коэффициенты автокорреляции первого (r1) и второго порядка (r2) определяем по формулам:

Результаты не только не подтверждают линейной зависимости (r2 < 0), но говорят о малой зависимости вообще. Это хорошо иллюстрирует график:

На нем заметно сильное колебание в первой половине периода. Тем не менее, из-за отсутствия других разумных альтернатив попробуем линейную зависимость y = a + b•t.

Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл.5.

Таблица 5

Уравнение тренда имеет вид: y = 24,362 - 1,104 •t, что вполне согласуется с графиком.

Расчетное значение критерия Фишера равно Fрасч = 4,9.

Табличное значение Fтабл (б = 0,01, н1 = 1, н2 = 13) = 9,07.

Следовательно, уравнение статистически незначимо и прогноз смысла не имеет. Но при б = 0,05, когда Fтабл = 4,67, прогноз уже можно было бы принять.

Прогнозное значение (при t = 16) yпрог = 6,75.

Доверительный интервал, как и в Задании 1, определялся по формуле

Д yпрог = ± tтабл •my_прог и составил ± 3,012 • 7,572 = ± 22,8.

Это окончательно убеждает нас что аппроксимация линейной зависимостью в данном случае бессмысленна.