Экономико-математическое моделирование : Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
13 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Планирование и прогнозирование в условиях рынка» на тему: Доверительные интервалы прогноза Оценка адекватности и точности моделей Содержание - Глава 1. Теоретическая часть 3
- Глава 2. Практическая часть 9
- Список используемой литературы 13
Глава 1. Теоретическая частьДоверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей1.1 Доверительные интервалы прогнозаЗаключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;2. погрешностью оценивания параметров кривых;3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде: (1.1.),где n - длина временного ряда; L -период упреждения; yn+L -точечный прогноз на момент n+L; ta- значение t-статистики Стьюдента; Sp- средняя квадратическая ошибка прогноза. Предположим, что тренд характеризуется прямой:Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра ао приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1- к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде: (1.2.),где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;t1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;t1 = n + L ;t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n; - порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, Тогда доверительный интервал можно представить в виде: (1.3.),Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= taK . Тогда интервальная оценка будет иметь вид: (1.4.),Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка: (1.5.),или (1.6.),Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением: (1.7.),где yt- фактические значения уровней ряда, - расчетные значения уровней ряда,n- длина временного ряда,k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sy, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравненияРисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного трендаДоверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.Таблица 1.1.Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).|
| Линейный тренд | | Параболический тренд | | Длина ряда (п) | Период упреждения (L) 1 2 3 | длина ряда (п) | период упреждения (L) 1 2 3 | | 7 | 2,6380 2,8748 3,1399 | 7 | 3,948 5,755 8,152 | | 8 | 2,4631 2,6391 2,8361 | 8 | 3,459 4,754 6,461 | | 9 | 2,3422 2,4786 2,6310 | 9 | 3,144 4,124 5,408 | | 10 | 2,2524 2,3614 2,4827 | 10 | 2,926 3,695 4,698 | | 11 | 2,1827 2,2718 2,3706 | 11 | 2,763 3,384 4,189 | | 12 | 2,1274 2,2017 2,2836 | 12 | 2,636 3,148 3,808 | | 13 | 2,0837 2,1463 2,2155 | 13 | 2,536 2,965 3,516 | | 14 | 2,0462 2,1000 2,1590 | 14 | 2,455 2,830 3,286 | | 15 | 2,0153 2,0621 2,1131 | 15 | 2,386 2,701 3,100 | | 16 | 1,9883 2,0292 2,0735 | 16 | 2,330 2,604 2,950 | | 17 | 1,9654 2,0015 2,0406 | 17 | 2,280 2,521 2,823 | | 18 | 1,9455 1,9776 2,0124 | 18 | 2,238 2,451 2,717 | | 19 | 1,9280 1,9568 1,9877 | 19 | 2,201 2,391 2,627 | | 20 | 1,9117 1,9375 1,9654 | 20 | 2,169 2,339 2,549 | | 21 | 1,8975 1,9210 1,9461 | 21 | 2,139 2,293 2,481 | | 22 | 1,8854 1,9066 1,9294 | 22 | 2,113 2,252 2,422 | | 23 | 1,8738 1,8932 1,9140 | 23 | 2,090 2,217 2,371 | | 24 | 1,8631 1,8808 1,8998 | 24 | 2,069 2,185 2,325 | | 25 | 1,8538 1,8701 1,8876 | 25 | 2,049 2,156 2,284 | | | Глава 2. Практическая частьЗадание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.Таблица 1.2. Курс акций фирмы IBM|
t | yt | t | yt | t | yt | | 1 | 510 | 11 | 494 | 21 | 523 | | 2 | 497 | 12 | 499 | 22 | 527 | | 3 | 504 | 13 | 502 | 23 | 523 | | 4 | 510 | 14 | 509 | 24 | 528 | | 5 | 509 | 15 | 525 | 25 | 529 | | 6 | 503 | 16 | 512 | 26 | 538 | | 7 | 500 | 17 | 510 | 27 | 539 | | 8 | 500 | 18 | 506 | 28 | 541 | | 9 | 500 | 19 | 515 | 29 | 543 | | 10 | 495 | 20 | 522 | 30 | 541 | | | 2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а=0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка,где - период упреждения. На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:Рассчитать прогноз курса акций:• на 1 день вперед (=1);• на 2 дня вперед (=2).Решение задания 1.51. Определим Найдем значения экспоненциальной средней при а=0,1.. а=0,1 - по условию;; S1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;; S2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;; S3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.2. а=0,5 - по условию.; S1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;; S2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.Таблица 1.3.Экспоненциальные средние|
t | Экспоненциальная средняя | t | Экспоненциальная средняя | | | а=0,1 | а=0,5 | | а=0,1 | а=0,5 | | 1 | 506,4 | 508 | 16 | 505,7 | 513,3 | | 2 | 505,5 | 502,5 | 17 | 506,1 | 511,7 | | 3 | 505,3 | 503,2 | 18 | 506,1 | 508,8 | | 4 | 505,8 | 506,6 | 19 | 507,0 | 511,9 | | 5 | 506,1 | 507,8 | 20 | 508,5 | 517 | | 6 | 505,8 | 505,4 | 21 | 509,9 | 520 | | 7 | 505,2 | 502,7 | 22 | 511,6 | 523,5 | | 8 | 504,7 | 501,4 | 23 | 512,8 | 523,2 | | 9 | 504,2 | 500,7 | 24 | 514,3 | 525,6 | | 10 | 503,4 | 497,8 | 25 | 515,8 | 527,3 | | 11 | 502,4 | 495,9 | 26 | 518,0 | 532,7 | | 12 | 502,0 | 497,5 | 27 | 520,1 | 525,8 | | 13 | 502,0 | 499,7 | 28 | 522,2 | 538,4 | | 14 | 502,7 | 504,4 | 29 | 524,3 | 540,7 | | 15 | 505,0 | 514,7 | 30 | 525,9 | 540,9 | | | Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А - фактические данные; В - экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С - экспоненциальная средняя при альфа = 0,5При а=0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда. 3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения. Прогноз на 1 день вперед (= 1):(дол.)Прогноз на 2 дня вперед (= 2):(дол.)Список используемой литературы1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. - М.: МЭСИ, 2003. - 52с.2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. - М.: МЭСИ, 1997.
|