Экономико-математическое моделирование : "Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7
"Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7
22 Дискретні динамічні системи Завдання №1 Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням (1.1.0) де с=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Yt, якщо Y0=1 Рішення 1. Варіант початкових даних Y0=1. Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7: > rsolve({y(n)=1/4*y (n_1)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n)); > > R3:=simplify(%); Результат: |
n | Y | | 0 | 1,00 | | 1 | 2,25 | | 2 | 4,56 | | 3 | 9,14 | | 4 | 18,29 | | 5 | 36,57 | | |
Завдання №2 Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6] (1.2.0) де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Yt, якщо Y0=0, Y0=1 Рішення: 1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду xt = F (xt_1, xt-2,…, xt-n), (1.2.1) Характеристичний стан об'єкта xt у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n_го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення xt при t = 0, 1,…, n - 1. Підставляючи початкові значення xn_1,…, x1, x0 і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо xn; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер xn, xn_1,…, x2 x1 і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо xn+1, і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t. У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду xt = a1 xt-1 + a2 xt-2 + f(t) - лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1). 2. Варіант початкових даних Y0=0. Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]: > rsolve({f(n)=(2*f (n_1) - (1*1/4)*f (n_2)+2), f(0)=0}, f(n)); Ш Samuelson_Hiks3:=simplify(%); Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n_1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з'являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n_1), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1). 3. Варіант початкових даних Y0=1. Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7: > rsolve({f(n)=(2*f (n_1) - (1*1/4)*f (n_2)+2), f(0)=1}, f(n)); > Samuelson_Hiks3:=simplify(%); Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n_1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з'являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n_1), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1). 4. Варіант початкових даних Y0=0, Y1=1. Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7: > rsolve({f(n)=(2*f (n_1) - (1*1/4)*f (n_2)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n)); Ш Samuelson_Hiks3:=simplify(%); Завдання №3 Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами (1.3.0) Знайти стаціонарну ціну pD=S(при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції) та з'ясувати чи вона є стійкою. Рішення: 1. Аналіз стійкості рівноважної ціни pD=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями: (1.3.1) виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1]. Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S: (1.3.2) Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як: (1.3.3) З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3): (1.3.4) а оскільки (1.3.5) то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду: (1.3.6) Який перетворюється до наступної форми: (1.3.7) Для приросту ціни ?pi отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв'язку має вигляд [1]: (1.3.8) 2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни PD=S виконується за схемою: (1.3.9) Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення: > solve (- (sqrt(L)*sqrt(L))+sqrt(L)+2=0); тобто p=4. 3. Знаходимо похідні в точці рівноваги р=4: (1.3.10) Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким (1.3.11) Неперервні динамічні системи Завдання №1 Найти розв'язок рівняння Харода-Домара з початковою умовою Y (t=0) =Y0; s, A, і - const; Позначення (згідно з моделлю Харода - Домара роста національного доходу держави у часі) [6]: Y(t) - рівень національного доходу держави у часі; - схильність населення до заощаджень (0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладується в заощадження; t - час; i - коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ?Y(t), тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки; А - рівень незалежних сталих інвестицій Рішення: 1. У загальному вигляді модель економічного зростання складається із системи п'яти рівнянь [6]: 1) формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто випуску продукції за умов повної зайнятості; 2) основна макроекономічна тотожність Yt=Ct+It показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяється в теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірники державних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделях не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших країн світу (тобто вводяться в компоненти С та І); 3) формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має вигляд: Kt=Kt-1+It-Wt, де Kt - запас капіталу наприкінці періоду t; Іt - інвестиції за весь період t; Wt, - амортизація капіталу за період t. Наведена формула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій та зменшується на величину амортизаційних відрахувань; 4) формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд: де - постійна (незмінна) норма амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуття капіталу є пропорційним до величини його запасу; 5) щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від випуску It= s* Yt, де s - норма інвестицій (частка інвестицій у сукупному продукті (доході). Норма інвестицій s збігається з нормою заощадження, оскільки сукупні заощадження St дорівнюють сукупним інвестиціям Іt. Відповідно, Yt=Ct+St=Ct+It. Таким чином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається із системи п'яти наведених рівнянь, які містять сім змінних (Y, K, L, C, I, , s), три із яких задаються екзогенно: — затрати праці L (зростають із постійним темпом n); — норма амортизації основного капіталу ; — норма заощадження s (задається безпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання). Мета дослідників - з'ясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделі економічного зростання (Y, C та І) і який із чинників є визначальним фактором довгострокового економічного зростання. Модель економічного зростання Харода-ДомараЦе найпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40_х рр. Модель описує динаміку доходу (Y), який є сумою споживчих (С) та інвестиційних (І) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистий експорт (NX) дорівнює нулю, а державні витрати (G) в моделі не вирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу. Основні передумови моделі: - постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK; - постійна норма заощадження s = I/Y; - відсутній процес вибуття капіталу W = 0; - інвестиційний лаг дорівнює нулеві, тобто інвестиції миттєво переходять у приріст капіталу. Формально це означає, що dK(t) = I(t); - модель не враховує технічного прогресу; — випуск не залежить від затрат праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом; — використовується виробнича функція Леонтьєва, яка передбачає неможливість взаємозаміни акторів виробництва - праці і капіталу. Припускається, що швидкість доходу пропорційна інвестиціям: dY = MPK * I(t) = MPK * s * Y, а темп приросту доходу dY/Y * dt є постійним і дорівнює s * MPK. Він прямо пропорційний нормі заощаджень та граничній продуктивності капіталу. Інвестиції (І) та споживання (С) в моделі Харода-Домара зростають з таким же постійним темпом (s * MPK). 2. Рішення проводимо в пакеті MAPLE7, використовуючи функцію вирішення диференційного рівняння з початковими умовами Y (t=0)=Y0: > L6:=diff (y(t), t)=(s/i*y(t) - A/i*t); Ш ans1:= dsolve({L6, y(0)=Y0}, y(t)); Таким чином, розв'язком рівняння Харода-Домара у вигляді з початковою умовою Y (t=0) =Y0; s, A, і - const; є функція: Завдання №2 Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами (2.2.0) Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції pD=S(t) - при умові D=S - вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з'ясувати чи вона є стійкою (оцінити рівень динаміки похідної ). Рішення: 1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]: (2.2.1) 2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції: (2.2.2) рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння (2.2.3) яке має наступні початкові умови: (2.2.4) Загальний розв'язок рівнянь (2.2.1) - (2.2.4) має вигляд [1]: (2.2.5) де С1 та С2 - довільні сталі; - корені характеристичного рівняння: (2.2.6) Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані - корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином: 1) Якщо обидва корені - є дійсними від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду: (2.2.7) та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S - PD=S, оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля. 2) Якщо обидва корені - є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S - PD=S, оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до . 3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних: (2.2.8) Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги pD=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках: (2.2.9) тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції: (2.2.10) Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд: (2.2.11) а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють > solve (L*L_7*L_30); Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають різні знаки - рішення рівняння (2.2.10) є нестійким. Завдання №3 Знайти стаціонарні точки динамічної системи (2.3.0) та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні. Рішення: 1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами: (2.3.1) звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги (2.3.2) Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE7 дає наступні 4 пари коренів - стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0): > eqp1:=-x*x+2*x-x*y=0; > eqp2:=-y*y+6*y_2*x*y=0; > > solve({eqp1, eqp2}, {x, y}); (2.3.3) 2. Для дослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x, y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x0, y0 має наступний вигляд [7]: (2.3.4) Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE7 [4]: > DxDt:=-x*x+2*x-x*y; > mtaylor (DxDt, [x=0, y=0], 2); > mtaylor (DxDt, [x=2, y=0], 2); > mtaylor (DxDt, [x=4, y=-2], 2); > mtaylor (DxDt, [x=0, y=6], 2); (2.3.5) > DyDt:=-y*y+6*y_2*x*y; > mtaylor (DyDt, [x=0, y=0], 2); > mtaylor (DyDt, [x=2, y=0], 2); > mtaylor (DyDt, [x=4, y=-2], 2); > mtaylor (DyDt, [x=0, y=6], 2); > (2.3.6) 6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4_х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]: 6.1. 1 пара коренів - x=0, y=0 Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=0) має вигляд: Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю: Звідки характеристичне рівняння Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0, y=0). Пара коренів - x=2, y=0 Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2, y=0) має вигляд: Виконуючи заміну змінних в системі () на отримуємо модифіковану систему рівнянь: Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю: Звідки характеристичне рівняння Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7 > L2:=a*a+0*a_2=0; > > solve(L2); Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=2, y=0). 3 пара коренів - x=4, y=-2 Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=6) має вигляд: Виконуючи заміну змінних в системі () на отримуємо модифіковану систему рівнянь: Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю: Звідки характеристичне рівняння Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7 > solve (L*L+2*L+8); Корені рішення цього рівняння та є комплексні та мають однакові негативні знаки при дійсній частині, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2). Пара коренів - x=0, y=6 Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4, y=-2) має вигляд: Виконуючи заміну змінних в системі () на отримуємо модифіковану систему рівнянь: Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю: Звідки характеристичне рівняння Корені рішення цього рівняння та є дійсними та мають знак (-) при дійсній частині, що відповідає асимптотичній стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2).
|