рефераты
рефераты рефераты
 логин:   
 пароль:  Регистрация 

МЕНЮ
   Архитектура
География
Геодезия
Геология
Геополитика
Государство и право
Гражданское право и процесс
Делопроизводство
Детали машин
Дистанционное образование
Другое
Жилищное право
Журналистика
Компьютерные сети
Конституционное право зарубежныйх стран
Конституционное право России
Краткое содержание произведений
Криминалистика и криминология
Культурология
Литература языковедение
Маркетинг реклама и торговля
Математика
Медицина
Международные отношения и мировая экономика
Менеджмент и трудовые отношения
Музыка
Налоги
Начертательная геометрия
Оккультизм и уфология
Педагогика
Полиграфия
Политология
Право
Предпринимательство
Программирование и комп-ры
Психология - рефераты
Религия - рефераты
Социология - рефераты
Физика - рефераты
Философия - рефераты
Финансы деньги и налоги
Химия
Экология и охрана природы
Экономика и экономическая теория
Экономико-математическое моделирование
Этика и эстетика
Эргономика
Юриспруденция
Языковедение
Литература
Литература зарубежная
Литература русская
Юридпсихология
Историческая личность
Иностранные языки
Эргономика
Языковедение
Реклама
Цифровые устройства
История
Компьютерные науки
Управленческие науки
Психология педагогика
Промышленность производство
Краеведение и этнография
Религия и мифология
Сексология
Информатика программирование
Биология
Физкультура и спорт
Английский язык
Математика
Безопасность жизнедеятельности
Банковское дело
Биржевое дело
Бухгалтерский учет и аудит
Валютные отношения
Ветеринария
Делопроизводство
Кредитование



Главная > Экономико-математическое моделирование > Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций

Экономико-математическое моделирование : Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций

Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций

Московский городской университет управления правительства Москвы

Факультет управления

Кафедра прикладной математики

Реферат

по учебной дисциплине

"
Математические методы исследования систем управления"

На тему: "Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций"

2010

1. Биматричные игры

Абсолютно любая управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами. Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять оптимальное решение в условиях неопределённости.

Для решения такого рода задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны конфликта - игроки, действие игрока - ход, совокупность ходов - стратегия, результат игры - выигрыш.

Обязательным моментом перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей противников и т.п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится.

К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные, биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры.

Игры с фиксированной суммы - игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры.

Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец - стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице - выигрыш игрока 2.)

Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А - может выбрать любую из стратегий А1, …, Аm;

игрок В - любую из стратегий В1, …, Вn;

Если игрок А выбрал стратегию Аi, игрок В - Вj, то в итоге выигрыш игрока А составит аij, игрока В - bij. Выигрыши игроков А и В можно записать в виде двух таблиц.

А=

В=

Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм - биматричным.

2. Состояние равновесия в биматричных матрицах

Решением биматричной игры есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков. Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как один из возможных вариантов - желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна.

Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый - поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй - поиск ситуаций, оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Остановим своё внимание на первом подходе.

В данном подходе используются смешанные стратегии, т.е. случай, когда игроки чередуют свои чистые стратегии с определёнными вероятностями.

Пусть игрок А выбирает стратегию А1, с вероятностью р1, А2 - р2, …, Аm - pm, причём

Игрок В использует стратегию В1 с вероятностью q1, B2 - q2, …, Bn - qn, причём

В качестве критерия "удачности" игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по формулам:

Таким образом, можно сформулировать основное определение:

Распределение вероятностей Р* () и Q () определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства:

Если равновесная ситуация существует, то отклонение от неё невыгодно самому игроку.

Также справедлива теорема Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в смешанных стратегиях.

3. Общий принцип решения биматричных игр

В первое неравенство системы последовательно подставляются все чистые стратегии игрока А, при предположении, что В придерживается своей оптимальной стратегии. Во второе неравенство подставляются все чистые стратегии игрока В, при предположении, что А придерживается своей оптимальной стратегии.

Полученная система m+n неравенств, решение которой дает значение элементов оптимальных смешанных стратегий (P*,Q*) и платежи, получаемые игроками в точке равновесия.

Пример: борьба за рынок.

А=

В=

Решение задачи

vA=-10?1q1+2?1*(1-q1)+(1-p1)q1-(1-p1)(1-q1)=-14?1q1+3?1+2q1-1

vB=5?1q1-2?1*(1-q1)-(1-p1)q1 +(1-p1)(1-q1)=9?1q1-3?1-2q1+1

Пусть

p1=1 тогда vA=2-12q1 -14?1q1+3?1+2q1-1

p1=0 тогда vA=-1+2q1 -14?1q1+3?1+2q1-1

q1=1тогда vB=-1+6?1 9?1q1-3?1-2q1+1

q1=0 тогда vB=1-3?1 9?1q1-3?1-2q1+1

Cоставляем 4 системы, преобразовываем, получаем:

(p1-1)(-14q1+3) 0

p1 (-14q1+3) 0

(q1-1)(9?1-2) 0

q1 (9?1-2) 0

p1=0 следовательно -(-14q1+3) 0 q1 3/14

p1=1 следовательно (-14q1+3)>=0 q1 3/14

0<p1<1 следовательно -(-14q1+3) 0 и (-14q1+3) 0->q1=3/14

q1=0 следовательно p1 2/9

q1=1 следовательно p1 2/9

0<q1< 0-p1=2/9

Строим график по всем p и всем q, получается на пересечении точка p1=2/9, q1=3/14 - решение системы неравенств.

P(2/9;7/9), Q(3/14;11/14)

vA=4/7, vB=1/3

Вывод: 2/9 товара предлагать на первом рынке и 7/9 на втором рынке и тогда минимальный проигрыш -- 4/7. 3/14 -защищать 1-й рынок, 11/14-защищать второй рынок.




Информационная Библиотека
для Вас!



 

 Поиск по порталу:
 

© ИНФОРМАЦИОННАЯ БИБЛИОТЕКА 2010 г.