Экономико-математическое моделирование : Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций
Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций
Московский городской университет управления правительства Москвы Факультет управления Кафедра прикладной математики Рефератпо учебной дисциплине"Математические методы исследования систем управления"На тему: "Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций" 2010 1. Биматричные игры Абсолютно любая управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами. Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять оптимальное решение в условиях неопределённости. Для решения такого рода задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны конфликта - игроки, действие игрока - ход, совокупность ходов - стратегия, результат игры - выигрыш. Обязательным моментом перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей противников и т.п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится. К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные, биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры. Игры с фиксированной суммы - игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры. Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец - стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице - выигрыш игрока 2.) Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения: игрок А - может выбрать любую из стратегий А1, …, Аm; игрок В - любую из стратегий В1, …, Вn; Если игрок А выбрал стратегию Аi, игрок В - Вj, то в итоге выигрыш игрока А составит аij, игрока В - bij. Выигрыши игроков А и В можно записать в виде двух таблиц. А= В= Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм - биматричным. 2. Состояние равновесия в биматричных матрицах Решением биматричной игры есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков. Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как один из возможных вариантов - желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна. Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый - поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй - поиск ситуаций, оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш другого. Остановим своё внимание на первом подходе. В данном подходе используются смешанные стратегии, т.е. случай, когда игроки чередуют свои чистые стратегии с определёнными вероятностями. Пусть игрок А выбирает стратегию А1, с вероятностью р1, А2 - р2, …, Аm - pm, причём Игрок В использует стратегию В1 с вероятностью q1, B2 - q2, …, Bn - qn, причём В качестве критерия "удачности" игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по формулам: Таким образом, можно сформулировать основное определение: Распределение вероятностей Р* () и Q () определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства: Если равновесная ситуация существует, то отклонение от неё невыгодно самому игроку. Также справедлива теорема Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в смешанных стратегиях. 3. Общий принцип решения биматричных игр В первое неравенство системы последовательно подставляются все чистые стратегии игрока А, при предположении, что В придерживается своей оптимальной стратегии. Во второе неравенство подставляются все чистые стратегии игрока В, при предположении, что А придерживается своей оптимальной стратегии. Полученная система m+n неравенств, решение которой дает значение элементов оптимальных смешанных стратегий (P*,Q*) и платежи, получаемые игроками в точке равновесия. Пример: борьба за рынок. А= В= Решение задачи vA=-10?1q1+2?1*(1-q1)+(1-p1)q1-(1-p1)(1-q1)=-14?1q1+3?1+2q1-1 vB=5?1q1-2?1*(1-q1)-(1-p1)q1 +(1-p1)(1-q1)=9?1q1-3?1-2q1+1 Пусть p1=1 тогда vA=2-12q1 -14?1q1+3?1+2q1-1 p1=0 тогда vA=-1+2q1 -14?1q1+3?1+2q1-1 q1=1тогда vB=-1+6?1 9?1q1-3?1-2q1+1 q1=0 тогда vB=1-3?1 9?1q1-3?1-2q1+1 Cоставляем 4 системы, преобразовываем, получаем: (p1-1)(-14q1+3) 0 p1 (-14q1+3) 0 (q1-1)(9?1-2) 0 q1 (9?1-2) 0 p1=0 следовательно -(-14q1+3) 0 q1 3/14 p1=1 следовательно (-14q1+3)>=0 q1 3/14 0<p1<1 следовательно -(-14q1+3) 0 и (-14q1+3) 0->q1=3/14 q1=0 следовательно p1 2/9 q1=1 следовательно p1 2/9 0<q1< 0-p1=2/9 Строим график по всем p и всем q, получается на пересечении точка p1=2/9, q1=3/14 - решение системы неравенств. P(2/9;7/9), Q(3/14;11/14) vA=4/7, vB=1/3 Вывод: 2/9 товара предлагать на первом рынке и 7/9 на втором рынке и тогда минимальный проигрыш -- 4/7. 3/14 -защищать 1-й рынок, 11/14-защищать второй рынок.
|